数方程2_3双曲线的参数方程抛物线的参数方程讲义(含解析)新人教A版选修4_4.doc
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1、12-3 双曲线的参数方程 抛物线的参数方程1双曲线的参数方程(1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线 1 的参数方程是Error!规定参数 的x2a2 y2b2取值范围为0,2)且 , . 2 32(2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线 1 的参数方程是Error!y2a2 x2b22抛物线的参数方程(1)抛物线 y22 px 的参数方程为 Error!tR. (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数双曲线、抛物线参数方程的基本问题例 1 (1)双曲线Error!( 为参数)的焦点坐标是_(2)将方程Error!化为普通方程是_思路点拨 (1)可先将
2、方程化为普通方程求解;(2)利用代入法消去 t.解析 (1)将Error!化为 1,y236 x212可知双曲线焦点在 y 轴上,且 c 4 ,36 12 3故焦点坐标是(0,4 )3(2)由 y tan 2t,1 cos 2t1 cos 2t 2sin2t2cos2t将 tan t x 代入上式,得 y x2即为所求方程答案 (1)(0,4 ) (2) y x23(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程,特别是将参数方程化为普通方程,还要明确参数的意义(2)对双曲线的参数方程,如果 x 对应的参数形式是 sec ,则焦点在 x 轴上;如果y 对应的参数形式是 sec ,则焦点在
3、y 轴上21若点 P(3, m)在以点 F 为焦点的抛物线Error!( t 为参数)上,则| PF|等于( )A2 B3C4 D5解析:选 C 抛物线的普通方程为 y24 x,准线为 x1,| PF|为 P(3, m)到准线x1 的距离,即为 4.2如果双曲线Error!( 为参数)上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么 P 到它的左焦点距离是_解析:由双曲线参数方程可知 a1,故 P 到它左焦点的距离| PF|10 或| PF|6.答案:10 或 6双曲线、抛物线参数方程的应用例 2 设直线 AB 过双曲线 1( a0, b0)的中心 O,与双曲线交于 A, B 两点,x2a2 y2b
4、2P 是双曲线上的任意一点求证:直线 PA, PB 斜率的乘积为定值思路点拨 先用双曲线的参数方程表示点 A, B, P 的坐标,再证 kPAkPB定值证明 如图所示,设 P , A , btan .直线 AB 过原点 O,(acos , btan ) acos A, B 两点的坐标关于原点对称,则 B ,(acos , btan )故 kPAkPB b(tan tan )a( 1cos 1cos )b(tan tan )a( 1cos 1cos )b2(tan2 tan2 )a2( 1cos2 1cos2 )b2(sin2 cos2 cos2 sin2 )a2(cos2 cos2 )b2(1
5、 cos2 )cos2 cos2 (1 cos2 )a2(cos2 cos2 ) ,为定值b2a2在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时,常根据需要引入一个中间变量即参数(将 x, y 表示成关于参数的函数),这种方法是参数法,而涉及曲线上的点的坐标时,可根据曲线的参数方程表示点的坐标33过点 A(1,0)的直线 l 与抛物线 y28 x 交于 M、 N 两点,求线段 MN 的中点的轨迹方程解:法一:设抛物线的参数方程为Error!( t 为参数),可设 M(8t ,8 t1), N(8t ,8 t2),21 2则 kMN .8t2 8t18t2 8t21 1t1 t2又设 MN 的中点为
6、 P(x, y),则Error! kAP ,4(t1 t2)4(toal(2,1) toal(2,2) 1由 kMN kAP,知 t1t2 ,18又Error!则 y216( t t 2 t1t2)16 4( x1)21 2 (x4 14)所求轨迹方程为 y24( x1)法二:设 M(x1, y1), N(x2, y2),由 M, N 在抛物线 y28 x 上知Error!两式相减得 y y 8( x1 x2),21 2即( y1 y2)(y1 y2)8( x1 x2), .y1 y2x1 x2 8y1 y2设线段 MN 的中点为 P(x, y), y1 y22 y.由 kPA ,又 k MN
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