2019年高中数学第7章计数原理7.2排列讲义（含解析）湘教版选修2_3.doc

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1、172 排 列第一课时 排列与排列数公式及简单应用读教材填要点1排列从 n 个不同元素中取出 m(m n)个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个排列用符号 A 表示排列的个数时，有mnA n(n1)( n2)( n m1)mn2排列数的相关公式 n！123 n,0！1.A n(n1)( n2)( n m1) .mnn！ n m ！小问题大思维1北京上海，上海北京的车票是同一个排列吗？提示：由于北京上海、上海北京的车票都与顺序有关，所以不是同一个排列2如何判断一个具体问题是不是排列问题？提示：判断一个具体问题是不是排列问题，就是看从 n 个不同元素中取

2、出 m(m n)个元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列3你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗？它们有什么区别？提示：“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列” ，它不是一个数，而是具体的一件事 “排列数”是指“从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列的个数” ，它是一个数排列的概念例 1 判断下列问题是否是排列问题：(1)某班共有 50 名同学，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从 2,3,5,7,9 中任取两数分别作对数的底数和真数，有多少不同对数值

3、？(3)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(4)从集合 M1,2，9中，任取相异的两个元素作为 a， b，可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程 1?x2a2 y2b22解 (1)是选出的 2 人，担任正、副班长任意，与顺序有关，所以该问题是排列问题(2)是显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序有关(3)是任取两个数组成点的坐标，横、纵坐标的顺序不同，即为不同的坐标，与顺序有关(4)不是焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、 b 必有 ab， a、 b 的大小一定排列的特点是“先取后排” ，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再

4、按一定顺序把这 m 个元素排成一列因此，判断一个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排列问题，无关则不是排列问题1判断下列问题是不是排列问题，并说明理由(1)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做加法，有多少种不同的结果？(2)从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法，有多少种不同的结果？(3)会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排 3 位客人入座，又有多少种方法？解：(1)不是排列问题；(2)是排列问题理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两元素的位置无关，但做除法时，两元素谁做除数，谁做被除数不一样，此

5、时与位置有关，故做加法不是排列问题，做除法是排列问题(3)第一问不是，第二问是理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关选出 3 个座位与顺序无关， “入座”问题同“排队” ，与顺序有关，故选 3 个座位安排3 位客人入座是排列问题用列举法求简单的排列问题例 2 (1)从 1,2,3,4 四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从 4 个元素 a， b， c， d 中任取 3 个元素的所有排列解 (1)由题意作“树形图” ，如下故组成的所有两位数为 12,

6、13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有 12 个(2)由题意作“树形图” ，如下3故所有的排列为：abc， abd， acb， acd， adb， adc， bac， bad， bca， bcd， bda， bdc， cab， cad， cba， cbd， cda， cdb， dab， dac， dba， dbc， dca， dcb.“树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时在具体操作中，先将元素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列2写出 A， B，

7、C， D 四名同学站成一排照相， A 不站在两端的所有可能站法解：如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD， BADC， BCAD， BDAC， CABD， CADB， CBAD， CDAB， DABC， DACB， DBAC， DCAB，共 12种与排列数公式有关的计算或证明问题例 3 (1)计算 ；2A58 7A48A8 A59(2)求证：A mA A .mn 1 m 1n mn解(1) 2A58 7A48A8 A59 287654 787658765432 98765 1.8765 8 78765 24 9(2)证明：A mA m mn 1 m 1n n 1 ！ n 1 m ！ n

8、1 ！ n m ！ n 1 ！ n m m n m ！ A .n！ n m ！ mn4若 A (55 n)(56 n)(69 n)(nN 且 n55)，求 q 的值qp解：55 n,56 n，69 n 中的最大数为 69 n，且共有 69 n(55 n)115 个，(55 n)(56 n)(69 n)A ，1569 n p69 n， q15.对排列数公式的理解应注意以下两点：(1)排列数公式中连乘积的特点是：第一个因数是 n，后面每一个因数都比它前面一个因数少 1，最后一个因数是 n m1，共有 m 个因数相乘(2)一般来说，在直接进行具体计算时，选用连乘积形式较好；当对含有字母的排列数的式子

9、进行变形、解方程或论证时，采用阶乘形式较好3(1)用 A 的形式表示 (x2， xN )；mn x 1 ！ x 2 ！(2)解关于 x 的方程 A 140A .42x 1 3x(3)解不等式：A 6A .x9 x 29解：(1)法一：A x(x1)( x2)( x3)( x4)( x5)( x6)( x5)( x6)A7x，5x 89. x 5 x 6 A5x A5xA5xA 0，( x5)( x6)90.5x故 x4(舍去)， x15.法二：由 89，得 A 90A ，A7x A5xA5x 7x 5x即 90 .x！ x 7 ！ x！ x 5 ！ x！0， ，1 x 7 ！ 90 x 5 x

10、 6 x 7 ！( x5)( x6)90.解得 x4(舍去)， x15.(2)原不等式即 ，9！ 9 x ！ 69！ 9 x 2 ！由排列数定义知Error!2 x9， xN .9化简得(11 x)(10 x)6， x221 x1040，即( x8)( x13)0， x13.又 2 x9， xN ，2 x8， xN .故 x2,3,4,5,6,7.第二课时 排列数的综合应用特殊元素(或位置)的排列问题例 1 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最

11、左端，乙不在最右端；(4)全体站成两排，前排 3 人，后排 4 人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有 2 名男生丙和丁因个子高要排在后排解 (1)(特殊元素优先法)先考虑甲有 A 种方案，再考虑其余六人全排列，故 NA13A 2 160(种)136(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有 A 种方案，再安排其余 5 人全排列，故2NA A 240(种)2 5(3)法一：(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类 甲在最右端有 N1A (种)，6第二类 甲不在最右端时，甲有 A 个位置可选，15而乙也有 A 个位置，而其余全排列 A ，15 5有 N2A A A ，15155故 N N1

12、N2A A A A 3 720(种)6 15155法二：(间接法)：无限制条件的排列数共有 A ，而甲在左端或乙在右端的排法都有 A ，且甲在左端且乙7 6在右端的排法有 A ，5故 NA 2A A 3 720(种)7 6 5法三：(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步对于左端除甲外有 A 种排法，16余下六个位置全排有 A ，6但减去乙在最右端的排法 A A 种，155故 NA A A A 3 720(种)166 155(4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前 3 个位置，男生丙、丁要排在10后 4 个位置，因此先排女生甲、乙有 A 种方法，23再排男生丙、丁有 A 种方法，2

13、4最后把剩余的 3 名同学排好有 A 种方法3故 NA A A 432(种)23 24 3排列问题的实质是“元素”占“位置”的问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不能排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置总的来说，解决这类问题有直接法和间接法两种，具体分析时可以按位置来分析，也可以先考虑特殊元素，各种方法可以相互验证1用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是 5 的六位数；(3)不大于 4 310 的四位偶数解：(1)第一步，排个位

14、，有 A 种排法；13第二步，排十万位，有 A 种排法；14第三步，排其他位，有 A 种排法4故共有 A A A 288 个六位奇数13144(2)法一：(直接法)十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同，因此需分两类第一类，当个位排 0 时，有 A 个；5第二类，当个位不排 0 时，有 A A A 个14144故符合题意的六位数共有 A A A A 504(个)5 14144法二：(排除法)0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数，这两类排列中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况故符合题意的六位数共有 A 2A A 504(个)6 5 4(3)分三种情况，具

15、体如下：当千位上排 1,3 时，有 A A A 个121324当千位上排 2 时，有 A A 个1224当千位上排 4 时，形如 40，42的各有 A 个；13形如 41的有 A A 个；1213形如 43的只有 4 310 和 4 302 这两个数11故共有 A A A A A 2A A A 2110(个)121324 1224 13 1213捆绑法处理相邻问题例 2 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)全体站成一排，男、女各站在一起；(2)全体站成一排，男生必须排在一起；(3)全体站成一排，甲、乙中间必须有 2 人解 (1)男生必须站在一起，是男生的

16、全排列，有 A 种排法，女生必须站在一起，3是女生的全排列，有 A 种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有 A 种排法，由分步4 2乘法计数原理知，共有 NA A A 288(种)排法3 4 2(2)把所有男生视为一个元素，与 4 名女生组成 5 个元素全排列，故NA A 720(种)3 5(3)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全排列，故N(A A )A 960(种)25 2 4保持例题条件不变，若全体站成一排，则男生甲与男生乙之间至少有 3 人的方法有多少种？解：甲、乙两人中间无人的排法种数N1A A 1 440(种)，6 2甲、乙两人中间有 1 人的排法种数N2(A

17、A )A 1 200(种)，15 2 5甲、乙两人中间有 2 人的排法种数N3(A A )A 960(种)25 2 4故甲、乙两人中间至少有 3 人的排法种数 NA N1 N2 N31 440(种)7对于某些元素“相邻”的排列问题，一般采用“捆绑法” ，即先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再将这若干个元素内部全排列2张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，求这 6 人入园顺序排法的种数解：因为两个小孩要排在一起，所以可把两个小孩视为一个元素与两位妈妈一起排列，有 A A 12

18、种排法又因为两位爸爸必须排列两端，有 A 2 种排法32 2故这 6 人入园顺序的排法有 A A A 62224 种32212插空法处理不相邻问题例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单(1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？(2)歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解 (1)先排歌唱节目有 A 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个空位，从中选 4 个5放入舞蹈节目，共有 A 种方法，所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 A A 43 20046 5 46种方法(2)先排舞蹈节目有 A 种方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位，恰好供 5 个4歌唱节目放入所

19、以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 A A 2 880 种方法4 5(1)某些元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称为“插空法” ，即“不相邻元素插空法” (2)应用插空法要注意以下几个方面：确定好哪些是要插入的元素；数清可插入的位置；搞清插入时是否有顺序3某次文艺晚会上共演出 8 个节目，其中 2 个唱歌、3 个舞蹈、3 个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台；(2)2 个唱歌节目互不相邻；(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻解：(1)先排唱歌节目有 A 种排法，再排其他节目有 A

20、种排法，所以共有 A A 1 2 6 2 6440(种)排法(2)先排 3 个舞蹈节目，3 个曲艺节目有 A 种排法，再从其中 7 个空(包括两端)中选62 个排唱歌节目，有 A 种插入方法，所以共有 A A 30 240(种)排法27 6 27(3)把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素，与 3 个曲艺节目排列共 A 种排法，再将 34个舞蹈节目插入，共有 A 种插入方法，最后将 2 个唱歌节目互换位置，有 A 种排法，故35 2所求排法共有 A A A 2 880(种)排法.4 35 2解题高手 多解题用 0 到 9 这十个数字，可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解 法一：当个位上排 0

21、时，千位、百位、十位上可以从余下的九个数字中任选 3个来排列，故有 A 个；39当个位上在“2,4,6,8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任意选一个，百位、十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按分步乘法计数原理有13A A A 个14 18 28没有重复数字的四位偶数有A A A A 5041 7922 296(个)39 14 18 28法二：当个位数字排 0 时，同解法一有 A 个；当个位数字是 2、4、6、8 之一时，千39位、百位、十位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列中减去千位数是“0”的排列数，得A (A A )个14 39 28没有重复数字的四位偶数有A

22、 A (A A )5041 7922 296(个)39 14 39 28法三：千位数从 1,3,5,7,9 中任选一个，个位数上从 0、2、4、6、8 中任选一个，百位、十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 A A A 个；15 15 28千位数从 2、4、6、8 中任选一个，个位数从余下的四个偶数中任选一个(包括 0 在内)，百位、十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 A A A 个14 14 28没有重复数字的四位偶数有 A A A A A A 41 A 2 296(个)15 15 28 14 14 28 28法四：将没有重复数字的四位数划分为两类：四位奇数和四位偶数没有重复数字

23、的四位数有( A A )个，其中四位奇数有 A (A A )个410 39 15 39 28没有重复数字的四位偶数有 A A A (A A )410 39 15 39 2810 A A 5 A 5 A 4 A 5 A 36 A 5 A 41 A 2 296(个)39 39 39 28 39 28 28 28 281 A， B， C， D， E 五人并排站成一排，如果 A， B 必须相邻且 B 在 A 的右边，那么不同的排法有( )A60 种 B48 种 C36 种 D24 种解析：选 D 把 A， B 视为一人，且 B 排在 A 的右边，则本题相当于 4 人的全排列，故有 A 24 种排法42

24、在数字 1、2、3 与符号、五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )A6 B12 C18 D24解析：选 B 符号、只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有 A A 12 种3 23从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有( )A300 种 B240 种C144 种 D96 种解析：选 B 第一步先从剩余 4 人中选一个人去巴黎游览共有 4 种方法；第二步从剩14余 5 人中选 3 人去另外三个城市有 A 种方法由分步乘法计数原理，共有 4A 2

25、40(种)不35 35同选择方案4我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5 架歼15 飞机准备着舰如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A12 种 B18 种C24 种 D48 种解析：选 C 把甲、乙看作 1 个元素和另一飞机全排列，调整甲、乙，共有 A A 种2 2方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的 3 个空位中，有 A 种方法，23由分步乘法计数原理可得总的方法种数为 A A A 24.2 2 235记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有_种解析

26、：先将 5 名志愿者排好，有 A 种排法，再将 2 位老人“捆绑”起来插入中间的间5隔，有 A A ，由分步乘法计数原理知，共有 A A A 960 种14 2 5 142答案：9606从 5 名短跑运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果 A 不能跑第一棒，那么有多少种不同的参赛方法？解：法一：当 A 被选上时，共有 A A 72(种)方法，其中 A 表示 A 从除去第一棒13 34 13的其他三棒中任选一棒；A 表示再从剩下 4 人中任选 3 人安排在其他三棒34当 A 没有被选上时，其他四人都被选上且没有限制，此时有 A 种方法4故共有 A A A 96(种)参赛方法13 34

27、 4法二：接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图，第一个框图不能填 A，有 4 种填法，其他三个框图共有 A 种填法，故共有 4A 96(种)参赛方法34 34法三：(间接法)先不考虑 A 是否跑第一棒，共有 A 120(种)方法其中 A 在第一棒45时共有 A 种方法，故共有 A A 96(种)参赛方法34 45 34一、选择题1从 5 本不同的书中选两本送给 2 名同学，每人一本，给法共有( )A5 种 B10 种C20 种 D60 种解析：选 C 从 5 本不同的书中选两本送给 2 名同学，共有 A 20 种不同的方法252由 1,4,5， x 这四个数字组成无重复数字的四位数，若所有四

28、位数的各位上的数字15之和为 288，则 x 等于( )A2 B3C6 D8解析：选 A 经分析可知 x0，所以这四个数字可组成 A 24(个)无重复数字的四位4数，所以(145 x)24288，所以 x2.3航天员在进行一项太空实验时，先后要实施 6 个程序，其中程序 B 和 C 都与程序 D不相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A216 种 B288 种C180 种 D144 种解析：选 B 当 B， C 相邻，且与 D 不相邻时，有 A A A 144 种方法；当 B， C 不相3242邻，且都与 D 不相邻时，有 A A 144 种方法，故共有 288 种编排方法3344现从甲、乙、丙

29、、丁、戌 5 名同学中选四位安排参加志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作有一人参加甲不会开车、乙不会翻译，但都能从事其他三项工作，而丙丁戌能胜任全部四项工作，则不同安排方案的种类是( )A108 B78C72 D60解析：选 B 分两种情况，乙开车和乙不开车当乙开车时，甲、丙、丁、戌可胜任其余岗位即有 A 种安排方案；当乙不开车时，开车人选有 3 种可能，翻译人选为除乙外的剩34余 3 人，最后还剩 3 人安排两个岗位，有 A 安排方法，故乙不开车时有 33A 54，23 23则故有 A 5478 种不同方案34二、填空题5由数字 1,2,3,4,5 五个数可以

30、组成比 20 000 大且百位数字不是 3 的没有重复数字的五位数有_个解析：当万位数字为 3 时，有 A 种情况；当万位数字不是 3 时，有 A A A 种情况，4 13133故共有 A A A A 78 个4 13133答案：786有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组则不同的选法共有_种解析：从 6 名男医生中选出 2 名有 C 种选法，从 5 名女医生中选出 1 名有 C 种选法，26 15由分步乘法计数原理得不同的选法共有 C C 75(种)26 15答案：75 种73 个人坐 8 个位置，要求每个人的左右都有空位，有_种坐法16解析：第

31、一步：摆 5 个空位置，；第二步：3 个人带上凳子插入 5 个空位置之间的四个空，有 A 24(种)插法，故有 24 种不同坐法解此类问题主要用“插空法”34答案：248在某艺术馆中展出 5 件艺术作品，其中不同的书法作品 2 件，不同的绘画作品 2 件，标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品排成一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则展出这 5 件作品的不同方案有_种解析：把 2 件书法作品当作一个元素，与其他 3 件艺术品进行全排列，有 2A 48 种4方案其中，2 件绘画作品相邻，有 22A 24 种方案，则该艺术馆展出这 5 件作品的不3同方案有 4824

32、24 种答案：24三、解答题93 个女生和 5 个男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有多少种不同排法？(2)如果女生互不相邻，有多少种不同排法？(3)如果女生不站两端，有多少种不同排法？(4)如果甲排在乙的前面，有多少种不同排法？解：(1)(捆绑法)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有 6 个元素，排成一排有 A 种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有 A 种排法，6 3因此共有 A A 4 320 种不同排法6 3(2)(插空法)先排 5 个男生，有 A 种排法，这 5 个男生之间和两端有 6 个位置，从中5选取 3 个位置排女生，有 A 种排法，因此共有

33、 A A 14 400 种不同排法36 5 36(3)法一：(位置分析法)，因为两端不排女生，只能从 5 个男生中选 2 人排列，有 A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A 种排法，因此共有 A A 14 400 种不同排25 6 25 6法法二：(元素分析法)从中间 6 个位置选 3 个安排女生，有 A 种排法，其余位置无限制，36有 A 种排法，因此共有 A A 14 400 种不同排法5 36 5法三：(间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A 种不同的排法，从中扣除女生排8在首位的 A A 种排法和女生排在末位的 A A 种排法，但这样两端都是女生的排法在13 7 13 7扣

34、除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需要回来一次，由于两端都是女生有 A A 种不同的排法，所以共有23 6A 2A A A A 14 400 种不同的排法8 137 236(4)不考虑限制共有 A 种排法中，那么在这 A 种排法中，包含甲和乙的所有排列法有8 817A 种，由于甲在乙的前面，只占其中一类，因此甲排在乙的前面的所有不同排法有 20 2A8A2160 种10用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的 4 位数(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个不同的四位偶数？(3)在所有的四位数中按从小到大的顺序排成一个数列，则第

35、 85 个数为多少？解：(1)(直接法)A A 300(个)15 35(间接法)A A 300(个)46 35(2)(直接法)因为 0 为特殊元素，故先考虑 0.若 0 在个位有 A 个；0 不在个位时，从352,4 中选一个放在个位，再从余下的四个数中选一个放在首位，有 A A A ，故有12 14 24A A A A 156(个)35 12 14 24(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有 A A ，13 35其中第一位是 0 的有 A A 个12 24故适合题意的数有 A A A A 156(个)13 35 1224(3)1 在首位的数有 A 60(个)352 在首位且 0 在第二位的数有 A 12(个)242 在首位且 1 在第二位的数有 A 12(个)24以上四位数共有 84 个，故第 85 个数是 2 301.