黑龙江省双鸭山市第一中学2019届高三数学上学期第一次月考试题理（含解析）.doc

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1、- 1 -双鸭山市第一中学高三（理科）月考数学试题一.选择题：（每题 5 分共 60 分）1.已知全集 UR，集合 A x|x23 x40， B x|2x8，那么集合( UA) B( )A. x|3 x4 B. x|x4 C. x|3 x4 D. x|3 x4【答案】C【解析】【分析】解不等式得出集合 A，B，然后进行补集、交集的运算即可【详解】解 x2-3x-40 得，x-1，或 x4；A=x|x-1，或 x4； UA=x|-1x4；解 2x8 得，x3；B=x|x3；（ UA）B=x|3x4=（3，4故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，以及补集、交集的运算属基础

2、题.2.已知命题 ，命题 ,则（ ）A. 命题 是假命题 B. 命题 是真命题C. 命题 是真命题 D. 命题 是假命题【答案】C【解析】【分析】分别判断命题的真假结合复合命题真假关系进行判断即可【详解】当 x=10 时，x-2=10-2=8，lg10=1，则不等式 x-2lgx 成立，即命题 q 是真命题，当 x=0 时，x 20 不成立，即命题 q 是假命题，则命题 p（q） 是真命题，故选：C- 2 -【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件分别判断命题 p，q 的真假是解决本题的关键3.已知 ，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由诱导公式可求

3、得 ，再由二倍角的余弦公式可求【详解】由 可得 ，则 故选 D.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角的余弦公式的应用，属基础题.4.若实数 满足条件 则 的最大值是（ ）A. -13 B. -1 C. -3 D. 1【答案】B【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，再将目标函数 z=3x-4y 对应的直线进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，可得当 x=y=1 时，z 达到最大值-1【详解】作出不等式组 表示的平面区域，- 3 -得到如图的ABC 及其内部，其中 A（-1，3） ，C（1，1） ，B（3，3） 设 z=F（x，y）=3x-4y，将直线 l：

4、z=3x-4y 进行平移，观察直线在 y 轴上的截距变化，可得当 l 经点 C 时，目标函数 z 达到最大值，z 最大值 =F（1，1）=-1，故选：B.【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题5.函数 其中（ ）的图象如图所示，为了得到 的图象，则只需将 的图象（ ） A. 向右平移 个长度单位B. 向右平移 个长度单位C. 向左平移 个长度单位D. 向左平衡 个长度单位【答案】A【解析】【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 f（x）的解析式，再利用 y=Asin（

5、x+）的图象变换规律，得出结论【详解】由函数 其中（ ）的部分图象可得 A=1，求得 =2再根据五点法作图可得 ， 故把 的图象向右平移 个长度单位，可得 的图象，- 4 -故选：A【点睛】本题主要考查由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题6.若 ，则向量 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】如图所示，由于两个非零向量 ，利用向量的数量积可知 ， ，由|得出 与 的关系，代入夹角公式即可【详解】 |， 即 ， 设向量 与 的夹角为 ，则 = 故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，求出 与 的关系是

6、关键7.用数学归纳法证明： （ ）能被 整除从假设 成立 到 成立时，被整除式应为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由于当 n=k+1 时，x 2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，从而得到结论- 5 -【详解】由于当 n=k+1 时，x 2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，故选：C【点睛】本题考查用数学归纳法证明数学命题，注意式子的结构特征，以及从 n=k 到 n=k+1项的变化8.已知 x0， y0，若 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )A. m4 或 m2 B. m2 或 m4 C. 2m4 D. 4m2【答案】D【解析】【分析】先利用

7、基本不等式求得 的最小值，然后根据 恒成立，求得 m2+2m8，进而求得 m 的范围【详解】由基本不等式可得 2 ，若 恒成立，则使 8m 2+2m 恒成立，m 2+2m8，求得-4m2故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题9.在 中，若 ，则 面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析： ，又 ，而 ，因此面积的最大值为考点：向量的运算，基本不等式- 6 -10. 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由于 F（x）=x+sinx 为 f（x）=1+cosx 的一个原函数即 F

8、（x）=f（x） ，根据微积分基本定理即可求出值【详解】（x+sinx）=1+cosx， 故选：D【点睛】本题考查定积分的计算，是一道中档题11.已知 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数，设 ， ，则 的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： 是定义在 上的偶函数，且在 上是增函数， 在 上是减函数，则 ，且 ，且 ，而 ，故即考点：偶函数，函数的单调性，- 7 -12.已知函数 ，若 恒成立，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析： ，若 ，则 的最小值为，当 时， ，得 ，此时若 ，则 ，函数 单调递增，当 时， ，不可能恒

9、有若 ，则得极小值点 ，由 ，得现求 的最大值，由 ，得极大值点极大值 ，故 最大值是 ，答案为 D.考点：利用导数求函数的最值.二、填空题（每题 5 分共 20 分）13.设 x,y 满足约束条件 则 的最大值为_【答案】80【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=（x+1） 2+y2表示（-1，0）到可行域的距离的平方，只需求出（-1，0）到可行域的距离的最大值即- 8 -【详解】 根据约束条件画出可行域z=（x+1） 2+y2表示（-1，0）到可行域内的点的距离的平方当在区域内点 A 时，距离最大由 ，可得 A（3 ，8）此时最大距离 .故答案为：80【点睛】本

10、题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题14.已知数列 中， ，且数列 为等差数列，则 _.【答案】【解析】试题分析：由题意得:考点：等差数列通项15. _【答案】【解析】【分析】根据函数的定积分的公式以及定积分的几何意义，即可得到函数的定积分的值【详解】因为 ，- 9 -又 的几何意义表示为 对应上半圆的面积，即 ，所以 ，故答案为 【点睛】本题主要考查了函数的定积分的计算问题，其中熟记定积分的计算公式，找出被积函数的原函数，以及定积分的几何意义是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力16.给出下列四个命题： 中， 是 成立的充要条件； 当 时，有 ；已知 是等差

11、数列 的前 n 项和，若 ，则 ；若函数 为 上的奇函数，则函数 的图象一定关于点 成中心对称其中所有正确命题的序号为_【答案】【解析】【分析】由题意可知，在三角形中，ABab，由正弦定理可得： ，因此absinAsinB，即可判断出正误；当 1x0 时，lnx0，即可判断出正误；等差数列a n的前 n 项和，若 S7S 5，则 S7-S5=a6+a70，S 9-S3=3（a 6+a7） ，即可判断出正误；若函数 为 R 上的奇函数，则 ，因此函数 y=f（x）的图象一定关于点 F( ，0)成中心对称，即可判断出正误【详解】由题意可知，在三角形中，ABab，由正弦定理可得： ，因此absinA

12、sinB，因此ABC 中，AB 是 sinAsinB 成立的充要条件，正确；- 10 -当 1x0 时，lnx0，所以不一定大于等于 2，不成立；等差数列a n的前 n 项和，若 S7S 5，则 S7-S5=a6+a70，S 9-S3=a4+a5+a9=3（a 6+a7）0，因此 S9S 3，正确；若函数 为 R 上的奇函数，则 ，因此函数 y=f（x）的图象一定关于点 F( ，0)成中心对称， ，因此不正确综上只有正确故答案为：【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、正弦定理、对数函数的性质、基本不等式的性质、等差数列的性质、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三.解答题 17.

13、在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ， .(1)求 的面积；（2）若 、 的值.【答案】(1)2;(2)a=2 , 【解析】【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得 sinA、cosA 的值，再利用两个向量数量积的定义，求得 ABAC 的值，再利用三角形面积公式，求得ABC 的面积（2）由题意利用余弦定理求得 a 的值，再利用正弦定理求得 sinB 的值【详解】(1) ,而 又 ， ， (2) 而 ，- 11 -， ,又 ，【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两个向量数量积的定义，三角形面积公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题18.已知函数 的

14、最大值为 （1）求常数 的值； （2）求函数 的单调递增区间； （3）若将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的最大值和最小值【答案】(1) ;(2) 函数的单调递增区间 ;(3) 取最大值 ,取最小值-3.【解析】试题分析：(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到 的形式，在计算所求.（2）利用正弦函数的最值，求在 的最值.(3)求三角函数的最小正周期一般化成 ， ， 形式，利用周期公式即可.(4)求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成 形式，再的单调区间，只需把 看作一个整体代入 相应的单调区间，注意先把 化为正数,这是容易出错的地方.试题解析：解：（1），

15、由 ，解得- 12 -，所以函数的单调递增区间将 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，当 时， ， 取最大值当 时， ， 取最小值-3.考点：（1）求三角函数的单调区间；（2）求三角函数在闭区间上的最值.19.已知数列 与 ，若 且对任意正整数 满足 数列 的前 项和（1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和【答案】(1) , ;(2) .【解析】【分析】（1）由已知可得数列a n是公差为 2 的等差数列，由等差数列的通项公式求 an；把 an代入Sn=n2+an利用 Sn-Sn-1=bn（n2）求通项公式；（2）首先求出 T1，当 n2 时，由裂项相消法求数列 的前 n 项和

16、 Tn【详解】 （1）由题意知数列 是公差为 2 的等差数列 又因为 所以 当 时， ； - 13 -当 时， 对 不成立所以，数列 的通项公式: （2） 时，时，所以仍然适合上式综上， -【点睛】本题考查了求数列的通项公式，训练了裂项法求数列的和，是中档题20.设函数 .(1)若 ，求 的单调区间；(2)若当 时 恒成立，求 的取值范围【答案】(1) f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加;(2) a 的取值范围为(， .【解析】【分析】(1)a0 时， f(x)e x1 x， f( x)e x1.分别令 f( x)0可求 的单调区间；(2 求导得到) f( x)e x12 ax.由

17、(1)知 ex1 x，当且仅当 x0 时等号成立故问题转化为 f( x) x2 ax(12 a)x，从而对 12 a 的符号进行讨论即可得出结果.【详解】(1) a0 时， f(x)e x1 x， f( x)e x1.当 x(，0)时， f( x)0.故 f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加(2)f( x)e x12 ax.由(1)知 ex1 x，当且仅当 x0 时等号成立故 f( x) x2 ax(12 a)x，从而当 12 a0，即 a 时， f( x)0( x0)，而 f(0)0，于是- 14 -当 x0 时， f(x)0.由 ex1 x(x0)得 e x1 x(x0)，从而当

18、 a 时， f( x)ex12 a(e x1)e x(ex1)(e x2 a)，故当 x(0，ln2 a)时， f( x)0，而 f(0)0，于是当 x(0，ln2 a)时， f(x)0，综上可得 a 的取值范围为(， 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.21.已知数列a n满足 ，且 (1)求证：数列 是等差数列，并求出数列 的通项公式；(2)求数列 的前 项和 .【答案】(1) an(2 n1)2 n1 ;(2) Sn(2 n3)2 n3.【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义，判断数列 是等差数列，并写出它的通项公式以及a n的通项公式；（2）根据数列a n的前 n 项和

19、定义，利用错位相减法求出 Sn；【详解】(1)证明：因为 an2 an1 2 n，所以 1，即 1，所以数列 是等差数列，且公差 d1，其首项 ，所以 ( n1)1 n ，解得 an 2n(2 n1)2 n1 . (2)Sn12 032 152 2(2 n1)2 n1 ，2Sn12 132 252 3(2 n3)2 n1 (2 n1)2 n，得 Sn12 022 122 222 n1 (2 n1)2 n1 (2 n1)2 n(32 n)2n3.所以 Sn(2 n3)2 n3.【点睛】本题考查了等差与等比数列的定义、通项公式与前 n 项和公式的应用问题，也考查了错位相减法求数列的个项和的问题，是

20、综合性题目22.已知函数 （ 为无理数， ）- 15 -（1）求函数 在点 处的切线方程； （2）设实数 ，求函数 在 上的最小值； （3）若 为正整数，且 对任意 恒成立，求 的最大值【答案】(1)切线方程为： ；（2） , ;(3)k 的最大值是 3.【解析】试题分析：（1）求导，求出函数 在点 处的切线斜率，由点斜式求出切线方程；（2）研究数 在 上的单调性即可求出 在 上的最小值；（3）由题意分离变量 对任意 恒成立，即 即可，构造函数，研究 的性质，求出其最小值即可试题解析： 得定义域为 又故函数 在点 处的切线方程为 即（2） ，令 得 ，当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增.当 时， 在 单调递增，当 时，得（3） 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立令令 在 上单调递增。所以 存在唯一零点 ，即 。当 时， ；当 时， ；- 16 - 在 时单调递减；在 时，单调递增；由题意 ，又因为 ，所以考点：原来导数研究函数的性质，切线方程等