福建省永春县第一中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题理（含解析）.doc

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1、- 1 -福建省永春县第一中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.1.用反证法证明:“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( )A. a,b,c 都是偶数B. a,b,c 都是奇数C. a,b,c 中至少有两个偶数D. a,b,c 中都是奇数或至少有两个偶数【答案】D【解析】自然数 a,b,c 的奇偶性有四种情形：三个都是奇数；一个奇数

2、两个偶数；两个奇数一个偶数；三个都是偶数故否定“自然数 a,b,c 中恰有一个是偶数”时的反设为“a,b,c 中都是奇数或至少两个偶数” 选 D2.2.下面是关于复数 的四个命题： ：|z|=2， ：z 2=2i， ：z 的共轭复数为 ，：z 的虚部为 1，其中真命题为（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：复数 z=1+i，再利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出真假【详解】复数 .： ，故是假命题；： ，是真命题；- 2 -： 的共轭复数为 ，故是假命题；： 的虚部为 1，是真命题.故选 B.【点睛】本题考查了复数

3、的运算法则、复数的模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义、命题的真假判定，注意概念的掌握以及计算的准确性3.3.我国古代有着辉煌的数学研究成果 周髀算经 、 九章算术 、 海岛算经 、 孙子算经缉古算经等 10 部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期某中学拟从这 10 部名著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的 2 部名著中至少有 1 部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】从 10 部名著中选择 2 部名著的方法数为 45，所选的 2 部都为魏晋南北朝时期的名著的方

4、法数为 21，只有 1 部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为 21，于是事件“所选的 2 部名著中至少有 1 部是魏晋南北朝时期的名著”的概率 P .故选：A4.4.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（ ）- 3 -A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，得到函数的单调性以及函数的极值，然后判断选项即可【详解】由 的图象可知，当 ，或 时， ，故函数 是增函数，时，函数 是减函数，是函数的极大值点， 是函数的极小值点所以函数 的图象只能是故选【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题，解题的关键是利用导函数

5、看正负，原函数看增减。5.5.在平面几何里有射影定理：设三角形 ABC 的两边 AB AC， D 是 A 点在 BC 上的射影，则AB2=BDBC拓展到空间，在四面体 A BCD 中， AD面 ABC，点 O 是 A 在面 BCD 内的射影，且 O 在 BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，若 中， ， 是垂足，则 ，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥中， 面 ， 面 ， 为垂足，

6、则 .- 4 -【详解】由已知在平面几何中， 若 中， ， ， 是垂足，则.可以类比这一性质，推理出：若三棱锥 中， 面 ， 面 ， 为垂足，如图所示：则 故选 A.【点睛】本题主要考查类比推理.类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类对象上去，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 6.6.已知 ， ， ， ， ，则推测 （ ）A. 1033 B. 199 C. 109 D. 29【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析三个式子，可得 成立，进而根据 ，

7、可得 ，的值，从而可得 .【详解】根据题意，对于第一个式子 ，有 ；对于第二个式子 ，有 ；对于第三个式子 ，有 ；- 5 -分析可得，有 .若 ，则 ， .故选 C.【点睛】本题考查归纳推理的应用，属于中档题. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列，等比数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.7.7.已知 是 上的单调增函数，则 的取值范围是（ ）A. 1 b 2 B. 1 b 2 C. b 2 或 b 2 D. b 1 或

8、b 2【答案】A【解析】【分析】利用三次函数 的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于 0 即可解决问题【详解】函数是 上的单调增函数 在 上恒成立 ，即 .故选 A.【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上 （或 ） （在该区间的任意子区间都不恒等于 0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式 来进行求解.- 6 -8.8.用数学归纳法证明 ，从 到 ，左边需要增乘的代数式为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：当 时，原式是 ，当 时，变为，所以增乘的代数式是 ，故应选.考

9、点：1、数学归纳法.9. 2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（ ）A. 36 B. 42 C. 48 D. 60【答案】C【解析】试题分析：从 3 名女生中任取 2 人“捆”在一起记作 A， （A 共有 C32A22=6 种不同排法） ，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在 A、B 之间（若甲在 A、B两端则为使 A、B 不相邻，只有把男生乙排在 A、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有 62=12 种排法（A 左 B 右和 A 右 B 左）最后再在排好的三个元素中选出四

10、个位置插入乙，共有 124=48 种不同排法故选 C考点：排列、组合及简单计数问题10.10.设函数 在区间（ a， b）上的导函数为 ， 在区间（ a， b）上的导函数为，若在区间（ a， b）上 ，则称函数 在区间（ a， b）上为“凹函数” ，已知在区间（1，3）上为“凹函数” ，则实数 m 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 7 -函数在区间 上为“凹函数” ，所以 ，即对函数 二次求导，分离参数，求参数的最值即可【详解】函数在区间 上为“凹函数” 在 上恒成立，即 在 上恒成立. 在 上为单调增函数故选 D.【点睛】本题考查函数的导数与不等式恒成立

11、问题的解法，关键是要理解题目所给信息（新定义）. 不等式恒成立问题常见方法： 分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可） ； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或 恒成立； 讨论参数.11.11.已知函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时，有 成立，则不等式 的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 ，- 8 -则 ,即 x0 时 是增函数，当 x1 时, g(x)g(1)=0,此时 f(x)0；00；x0 等价为 或 ，即 x1 或 x0 的解集是(,1)(1,+)，本题选择 A 选项.12.12.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 使得 ，则 的取值范围是（

12、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 g(x)=ex(2x1)，y=ax a，由题意知存在唯一的整数 x0使得 g(x0)在直线 y=axa 的下方，g(x)=e x(2x1)+2ex=ex(2x+1)，当 时,g(x)0，当 时,g(x)取最小值 ，当 x=0 时,g(0)=1,当 x=1 时,g(1)=e0，- 9 -直线 y=axa 恒过定点(1,0)且斜率为 a，故ag(0)=1 且 g(1)=3e1aa,解得 本题选择 D 选项.视频二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把正确答案填在答题卡中横线上）13.13. _【答案】 【解析】【分析】根据定

13、积分的计算法则和定积分的几何意义计算即可【详解】 表示以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的一半，即 ；故答案为 .【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.当利用定积分不能直接求解时，一般要注意被积函数的几何意义，利用几何图形计算其面积，从而得到定积分的值.14.14.用 0，1，2，3，4 这五个数字可以组成_个重复数字的四位奇数【答案】36【解析】【分析】根据题意，分 3 步进行分析：、在 1、3 中任选一个，安排在个位，、0 不能在首位，则需要在剩下的 3 个数字中任选 1 个，、在剩下的 3 个数字中任选 2 个，安排在其他 2 个数位，分别求出每一步的情况数目，由分步计数

14、原理计算可得答案- 10 -【详解】根据题意，分 3 步进行分析：要求四位数为奇数，其末位数字为 1、3，有 2 种情况；0 不能在首位，则需要在剩下的 3 个数字中任选 1 个，有 3 种情况；在剩下的 3 个数字中任选 2 个，安排在其他 2 个数位，有 种情况；则一共有 236=36 种情况，即有 36 个四位奇数.故答案为 36【点睛】本题考查分步计数原理的应用，注意 0 不能在首位以及末位数学必须为奇数解答排列、组合应用题要从“分析” 、 “分辨” 、 “分类” 、 “分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素” ，哪些是“位置” ；(2)“分辨”就是辨别

15、是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决15.15.已知 的展开式中 x3项的系数为 25，则实数 =_【答案】3【解析】【分析】利用多项式的乘法法则得到 系数由三部分组成， 利用二项展开式的通项公式求出各项的系数，列出方程求出 的值【详解】 的展开式中 系数是 . 系数为 25故答案为 3.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可.(2

16、)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最后求出其参数.16.16.设过曲线 （ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总有过曲线- 11 -上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为 【答案】 .【解析】试题分析：设曲线 上的切点为 ,曲线 上一点为 .因 ,故直线 的斜率分别为,由于 ,因此 ,即,也即 .又因为 ,所以 ,由于存在 使得 ,因此 且 ,所以,所以 .考点：导数的几何意义及不等式恒成立和存在成立问题的求解思路【易错点晴】本题考查的是存在性命题与全称命题成立的前提下参数的取值范围问题.解答时先求导将切线的斜率表示出

17、来,再借助题设中提供的两切线的位置关系,将其数量化,最后再依据恒成立和存在等信息的理解和处理,从而使问题获解.本题在解答时最为容易出错的地方有两处:其一是将切点设为一个；其二是将存在问题当做任意问题来处理.视频三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.17.如图，梯形 中， .(1)若 ，求 的长；(2)若 ，求 的面积.【答案】(1) 8；(2) - 12 -【解析】【分析】（1）由同角三角形函数的关系求出 ，结合 ，在 中，由正弦定理即可求出 的长；（2）在 中，利用余弦定理求得 ，结合 利用（1）的结论，根据三角形的面积公式即可结

18、果.【详解】(1)因为 ，所以 为钝角，且 ， ， 因为 ，所以 . 在 中，由 ，解得 . (2)因为 ，所以 ，故 ， . 在 中， ，整理得 ，解得 ， 所以 .【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18.18.数列 的前 项和为 ，已知 ， 成等比数列.（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ， 求数列 的前 项和 .- 13 -【答案】

19、(1) ；(2) .【解析】试题分析：（1）因为 ，变形后为 也即是 ，所以是一个等差数列且公差为 2，再利用 成等比数列可以得到 ，所以 的通项为.（2）计算可得 ，它是等差数列和等比数列的乘积，用错位相减法求其前 项和.解析：（1）因为 ，所以 ，故数列 是公差为 的等差数列；又 成等比数列，所以 ，解得 ，故 .（2）由（1）可得： ，故 ，又 ，由错位相减法得： ，整理得： .19.19.已知函数 （ ）（1）讨论函数 的单调性；（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围【答案】(1)当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在上单调递增；(2) .【解析】【分析】（1）求出导函

20、数，通过当 时，当 时，判断导函数的符号，然后判断函数的单调性；（2）通过当 时，当 时，当 时，分别求解判断求解函数的最小值，推出 的取值- 14 -范围【详解】 （1） ， 当 0 时， ， 0 恒成立， 在定义域（0，+）上单调递增 当 0 时，令 =0，得 x= ，x0， 0 得 x ； 0 得 0x ， 在（0， a）上单调递减，在（ a，+）上单调递增 （2）当 =0 时， 0 恒成立； 当 0 时，当 x0 时， ， 0 不成立；当 0 时，由（1）可知 f（x） min=f（ ）= ln ，由 f（ ）= ln 0 得 1ln 0. （0，e 综上所述， 的取值范围是0，e【点

21、睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想.在求导后，一般要进行通分和因式分解，而分式的分母一般都不用考虑，另外要注意在定义域内研究单调性. 对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.20.20.如图, 是平行四边形，已知 ， ,平面 平面.（1）证明： ；（2）若 ，求平面 与平面 所成二面角的平面角的余弦值- 15 -【答案】(1)见

22、解析;(2) .【解析】【分析】（1）推导出 ，取 BC 的中点 F，连结 EF ，可推出 ，从而 平面 ，进而 ，由此得到 平面 ，从而 ；（2）以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，以过点 且与 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 与平面 所成二面角的余弦值【详解】 （1） 是平行四边形，且 ，故 ，即 取 BC 的中点 F，连结 EF. 又平面 平面 平面 平面 平面 平面 ， 平面 （2） ,由（）得 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴,建立空间直角坐标系(如图)，则 设平面 的法向量为 ，则 ，即 得平面 的一个法向量为 由（1）知 平面 ，所以可设

23、平面 的法向量为 - 16 -设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，则 即平面 与平面 所成二面角的平面角的余弦值为 . 【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论21.21.已知椭圆的两焦点为 ， ，离心率 .（1）求此椭圆的方程；（2）设直线 ： ，若 与此椭圆相交于 ， 两点，且 等于椭圆的短轴长，求 的值；（3）以此椭圆的上顶点 为直角顶点作椭圆的内接

24、等腰直角三角形 ，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题设条件椭圆的两焦点为 ， ，离心率 ，求出 ， 两参数的值，即可求得椭圆的方程；（2）根据直线 与此椭圆相交于 ， 两点，且 等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数 的值首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程，即可求解；（3）先假设能构成等腰直角三角形 ，其中 ，由题意可知，直角边 ， 不可能垂直或平行于 轴，故可设 边所在直线的方程为 （不妨设 ） ，则 边所在直线的方程为 ，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别

25、解出 ， 两点的坐标，用坐标表示出两线段 ， 的长度，由两者相等建立方程求参数 ，由- 17 -解的个数判断三角形的个数即可【详解】 （1）设椭圆方程为 ，则 ， ，所求椭圆方程为 . （2）由 ，消去 y，得 ，则 得 （*）设 ，则 ， ，解得. ，满足（*） (3)设能构成等腰直角三角形 ，其中 ，由题意可知，直角边 ， 不可能垂直或平行于 轴，故可设 边所在直线的方程为 （不妨设 ） ，则 边所在直线的方程为 .由 ，得 A用 代替上式中的 k，得 ，由 ，得- 18 -k0， 解得 或 ，故存在三个内接等腰直角三角形.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆

26、锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长 与 相等，由此关系得到斜率 所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于 的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重22.22.已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 垂直（其中 为自然对数的底数） （1）求 的解析式及单调减区间； （2）若函数 无零点，求 的取值范围【答案】(1)见解析;(2) 或 .【解析】【分析】（1）先求出函数的导数，求得切线

27、的斜率，由两直线垂直的条件，可得 ，求得 的解析式，可得导数，令导数小于 0，可得减区间；（2）先求得 ，要使函数 无零点，即要在 内无解，亦即要 在 内无解.构造函数 ，对其求导，然后对 进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到 的取值范围.【详解】(1) ， 又由题意有： ，故 . 此时， ，由 或 ，所以函数 的单调减区间为 和 . - 19 -(2) ，且定义域为 ，要函数 无零点，即要 在 内无解，亦即要 在内无解. 构造函数 . 当 时， 在 内恒成立，所以函数 在 内单调递减， 在内也单调递减. 又 ，所以在 内无零点，在 内也无零点，故满足条件；当 时， 若 ，则

28、函数 在 内单调递减，在 内也单调递减，在 内单调递增. 又 ，所以在 内无零点；易知 ，而 ，故在 内有一个零点，所以不满足条件；若 ，则函数 在 内单调递减，在 内单调递增. 又 ，所以时， 恒成立，故无零点，满足条件； 10 分若 ，则函数 在 内单调递减，在 内单调递增，在 内也单调递增. 又，所以在 及 内均无零点. 又易知 ，而 ，又易证当 时， ，所以函数 在 内有一零点，故不满足条件. 综上可得： 的取值范围为： 或 .【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，- 20 -而错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等