吉林省长春市第十一高中2018_2019学年高一数学上学期期末考试试题理（含解析）.doc

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1、- 1 -长春市第十一高中 2018-2019 学年度高一上学期期末考试数学试题（理科）第卷（共 48 分）一.选择题：本题共 12 小题，每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设 P 是ABC 所在平面内的一点， ，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量的加减法运算化简即可得解.【详解】 ,移项得 【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，属于基础题.2.设函数 ，xR，则 f（x）是（ ）A. 最小正周期为 的偶函数 B. 最小正周期为 的奇函数C. 最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为 的奇函数【答案】B【

2、解析】,故选 B3.函数 在区间 上的所有零点之和等于（ ）A. -2 B. 0 C. 3 D. 2【答案】C【解析】分析：首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.详解：函数 的零点满足： ，解得： ，取 可得函数在区间 上的零点为： ，- 2 -则所有零点之和为 .本题选择 C 选项.点睛：本题主要考查三角函数的性质，函数零点的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知 是以 为圆心的圆上的动点，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量投影的几何意义得到结果即可.【详解】由 A， B 是以 O 为圆心的圆上的动点，且 ，根据向量的点

3、积运算得到 | | |cos ，由向量的投影以及圆中垂径定理得到：| |cos 即 OB 在 AB 方向上的投影，等于 AB 的一半，故得到 | | |cos .故选：A【点睛】本题考查向量的数量积公式的应用，以及向量投影的应用平面向量数量积公式的应用主要有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.5.函数 的最大值为（ ）A. 2 B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】根据两角和的正弦公式得到函数的解析式，结合函数的性质得到结果.【详

4、解】函数 根据两角和的正弦公式得到- 3 -，因为 x 根据正弦函数的性质得到最大值为 .故答案为：B.【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和的正弦公式的应用，以及函数的图像的性质的应用，题型较为基础.6.函数 的图像大致为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解： 为奇函数，舍去 A,舍去 D;，所以舍去 C；因此选 B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判

5、断图象的循环往复 - 4 -7.为了得到函数 的图象，只需将函数 图象上所有的点（ ）A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 个单位长度C. 向左平行移动 个单位长度 D. 向右平行移动 个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式将函数 变为正弦函数，再减去 得到 .【详解】函数 又故将函数 图像上的点向右平移 个单位得到 。故答案为：B.【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对x 本身进行加减和伸缩.8.实数 满足 ，则下列关系正确的是( ）A. B.

6、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据指数和对数的运算公式得到【详解】 = 故 A 正确.故 B 不正确；故 C，D 不正确.- 5 -故答案为：A.【点睛】这个题目考查了指数和对数的公式的互化，以及换底公式的应用，较为简单.9.函数 的部分图象如图所示，则 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求得函数的解析式，然后求解 的值即可.【详解】由函数的最小值可知： ，函数的周期： ，则 ，当 时， ，据此可得： ，令 可得： ，则函数的解析式为： ，.本题选择 D 选项.【点睛】已知 f(x) Asin(x )(A0， 0)的部分图象求其解析式时， A 比较容易

7、看图得出，困难的是求待定系数 和 ，常用如下两种方法：(1)由 即可求出 ；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x 0 0(或 x 0 )，即可求出 .(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和 ，若对 A， 的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.- 6 -10.已知函数 ，且 ，则 （ ）A. 3 B. C. 9 D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的奇偶性以及已知条件转化求解即可【详解】函数 g（ x） ax3+btanx 是奇函数，且 ,因为函数 f（ x） ax3

8、+btanx+6（ a， bR） ，且 ，可得 3，则 g（ ）+63+69故选： C【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力已知函数解析式求函数值，可以直接将变量直接代入解析式从而得到函数值，直接代入较为繁琐的题目，可以考虑函数的奇偶性的应用，利用部分具有奇偶性的特点进行求解，就如这个题目.11.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 ，当 时, ,则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，因为 ，则 ，所以函数 表示以 为周期的周期函数，又因为 为奇函数，所以 ，所以 ， ，所以 ，故选 B.12.已知函数 ，若 存在四个互不相等的实数根，则实数

9、的取值范围为（ ）- 7 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】令 ，则 ，由题意， 有两个不同的解， 有两个不相等的实根，由图可知， 得 或 ，所以 和 各有两个解。当 有两个解时，则 ，当 有两个解时，则 或 ，综上， 的取值范围是 ，故选 D。点睛：本题考查函数性质的应用。本题为嵌套函数的应用，一般的，我们应用整体思想解决问题，所以令 ，则 ，由题意， 有两个不同的解， 有两个不相等的实根，再结合图象逐步分析，解得答案。第卷（共 82 分）二.填空题：本题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.13.已知点 P(tan ，cos )在第三象限，则角 的终边在第_象限【答案】二【

10、解析】试题分析：由点 P（tan，cos）在第三象限，得到 tan0，cos0，从而得到 所在的象限解：因为点 P（tan，cos）在第三象限，所以，tan0，cos0，则角 的终边在第二象限，故答案为：二- 8 -点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号14.在ABC 中，已知 CB8，CA5，ABC 的面积为 12，则 cos2C_.【答案】【解析】试题分析：在三角形 中，因为 ，所以 ，从而，故答案填 .考点：1、三角形的面积；2、二倍角公式.15.在正方形 ABCD 中,E 是线段 CD 的中点,若 ,则 _.【答案】【解析】由图可知， ，所以)所以 ，

11、故 ，即 ，即得16.定义：关于 的两个不等式 和 的解集分别为 和 ，则称这两个不等式为相连不等式如果不等式 与不等式 为相连不等式，且 ，则 _【答案】【解析】- 9 -试题分析：设 的解集为 ， 的解集为 ，由二次方程根与系数的关系可得 ，考点：三个二次关系及三角函数化简点评：二次不等式的解的边界值等于与之对应的二次方程的根，本题由不等式的解转化为方程的根，进而利用根与系数的关系找到有关于 的关系式三.解答题：本题共 6 小题,共 66 分.17.已知向量 的夹角为 .（1）求 ；（2）若 ，求 的值.【答案】 （1）-12；（2）12.【解析】【分析】(1)按照向量的点积公式得到 ，再

12、由向量运算的分配律得到结果；（2）根据向量垂直得到 ，按照运算公式展开得到结果即可.【详解】 （1）由题意得 ，（2） ， ， ， ，【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.18.已知 ,(1)求 的值；(2)求 的值；- 10 -(3)求 的值.【答案】(1) ;(2)4;(3) .【解析】【分析】（1）根据同角函数关系得到正弦值，结合余弦值得到正切值；（2）根据诱导公式化简，上下同除余弦值即可；（3）结合两角和的正弦公式

13、和二倍角公式可得到结果.【详解】 （1） ， , （2） .（3） = ，根据二倍角公式得到 ; 。代入上式得到 = .【点睛】这个题目考查了三角函数的同角三角函数的诱导公式和弦化切的应用，以及二倍角公式的应用，利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式 .19.已知 A(2,0)，B(0,2)， ，O 为坐标原点（1） ，求 sin 2 的值；（2）若 ，且 ( ,0)，求 与 的夹角【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：(1) 先根据向量数量积得 sin cos 值，再平方得结果，(2)先根据向量的模得cos

14、 ，即得 C 点坐标，再根据向量夹角公式求结果.详解：(1) (cos ，sin)(2,0)(cos 2，sin )，(cos ，sin )(0,2)(cos ，sin 2)，cos (cos 2)sin (sin 2)cos 22cos sin 22sin 12(sin cos )- 11 -sin cos ，12sin cos ，sin 2 1 .(2) (2,0)， (cos ，sin )， (2cos ，sin )，| | ，所以 44cos cos 2sin 27，4cos 2，即 cos .0， ，又 (0,2)， ，cos ， ， ， .点睛：向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识

15、都可以与三角函数进行交汇.对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系” ，通过解三角求得结果.20.已知函数 为偶函数（1）求实数 的值；（2）记集合 ， ，判断 与 的关系；（3）当 时，若函数 值域为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】试题分析：（1）由 恒成立，可得 恒成立，进而得实数 的值；（2）化简集合 ， 得 ；（3）先判定 的单调性，再求出 时 的范围，与 等价即可求出实数 的值.试题解析：（1） 为偶函数 ，.- 12 -（2）由（1）可知： ，当 时， ；当 时， .， .（3） .在 上单调递增， ，为 的两个根，又

16、由题意可知： ，且.考点：1、函数的奇偶性及值域；2、对数的运算.21.已知函数 .（1）求 的值；（2）若函数 在区间 是单调递增函数，求实数 的取值范围；（3）若关于 的方程 在区间 内有两个实数根 ，记 ，求实数 的取值范围 .【答案】 （） （） （）【解析】分析：(1)先根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数，再代入求 的值；(2)根据正弦函数性质确定单调性递增区间，再根据区间之间包含关系列不等式，解得实数 的取值范围；(3)先根据正弦函数图像确定 a 的取值范围，再根据对称性得 ，最后代入求实数 的取值范围.详解： （）- 13 -（）由 ，得 ， 在区间 上是增函数当 时，

17、在区间 上是增函数若函数 在区间 上是单调递增函数，则 ，解得（）方程 在区间 内有两实数根 等价于直线 与曲线有两个交点.当 时，由（ ）知 在 上是增函数，在 上是减函数，且， ， ，即实数 的取值范围是函数 的图像关于 对称 ，实数 的取值范围为 .点睛:函数 的性质(1) .(2)周期(3)由 求对称轴，最大值对应自变量满足 ，最小值对应自变量满足 ，- 14 -(4)由 求增区间;由 求减区间22.（附加题，本小题满分 10 分，该题计入总分）已知函数 ，若在区间 内有且仅有一个 ，使得 成立，则称函数 具有性质 （1）若 ，判断 是否具有性质 ，说明理由；（2）若函数 具有性质 ，

18、试求实数 的取值范围【答案】 （） 具有性质 ; （） 或 或【解析】试题分析：（） 具有性质 若存在 ，使得 ，解方程求出方程的根，即可证得；（）依题意，若函数 具有性质 ，即方程在 上有且只有一个实根设 ，即在 上有且只有一个零点讨论 的取值范围，结合零点存在定理，即可得到 的范围试题解析：（） 具有性质 依题意，若存在 ，使 ，则 时有 ，即 ， 由于 ，所以 又因为区间 内有且仅有一个 ，使 成立，所以 具有性质 5 分（）依题意，若函数 具有性质 ，即方程 在 上有且只有一个实根设 ，即 在 上有且只有一个零点解法一：（1）当 时，即 时，可得 在 上为增函数，只需 解得 交集得 （2）当 时，即 时，若使函数 在 上有且只有一个零点，需考虑以- 15 -下 3 种情况：（） 时， 在 上有且只有一个零点，符合题意（）当 即 时，需 解得 交集得 （）当 时，即 时，需 解得 交集得 （3）当 时，即 时，可得 在 上为减函数只需 解得 交集得 综上所述，若函数 具有性质 ，实数 的取值范围是 或 或 14 分解法二：依题意，（1）由 得， ，解得 或 同时需要考虑以下三种情况：（2）由 解得 （3）由 解得 不等式组无解（4）由 解得 解得 综上所述，若函数 具有性质 ，实数 的取值范围是 或或 14 分考点：1零点存在定理；2分类讨论的思想- 16 -