上海市黄浦区2019届高三数学上学期（1月）期末调研测试试题（含解析）.doc

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1、- 1 -黄浦区 2018 学年度第一学期高三年级期终调研测试数 学 试 卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3本试卷共 21 道试题一、填空题(本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分)考生应在答题卷的相应位置直接填写结果1.不等式 的解集为_【答案】【解析】因为 所以 ，即不等式 的解集为 .2.双曲线 的渐近线方程为_.【答案】【解析】双曲线 中， ，所以双曲线 的

2、渐近线方程为 .故答案为 .3.若复数 ( 为虚数单位)，则 的共轭复数为（） 【答案】【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】若复数 z1 i（ i 为虚数单位） ，则 z2（1 i） 22 i，- 2 -则共轭复数为 2i，故答案为：2 i【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题4.记等差数列 ( )的前 项和为 若 ，则 【答案】【解析】【分析】由 a51，利用等差数列的性质可得 a1+a92 a5再利用求和公式即可得出【详解】 a51， a1+a92 a5则 S9 9a59故答案为：9【点睛】本题考查了等差数列的性质与求和公式，考查了

3、推理能力与计算能力，属于中档题5.若函数 是函数 ( ，且 )的反函数，且 ，则 【答案】log 2x【解析】f(x)log ax，f(2)1，log a21.a2.f(x)log 2x.6.已知 ， ，若 ，则 的最小值为 【答案】【解析】【分析】利用基本不等式 ，可求【详解】 a0， b0， a+b4，又 ，则 a2+b28，即最小值为 8当且仅当 a=b=2 时取得，- 3 -故答案为：8【点睛】本题主要考查了利用基本不等式 ，求解最值的应用，属于中档题7.已知三阶行列式 ，元素 的余子式的值与代数余子式的值之和为 【答案】【解析】【分析】元素 8 的余子式为： 6，元素 8 的代数余子

4、式为：（1） 5 6，由此能求出元素 8 的余子式的值与代数余子式的值之和【详解】三阶行列式 ，元素 8 的余子式为： 6，元素 8 的代数余子式为：（1） 5 6，元素 8 的余子式的值与代数余子式的值之和为：6+60故答案为：0【点睛】本题考查行列式的余子式与代数余子式之和的求法，考查余子式、代数余子式的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.设 ，若 展开式中 的系数为 ，则 【答案】【解析】【分析】把（1+ x） 5按照二项式定理展开，可得 x2的系数，再根据 x2的系数为 10，求得实数 a 的值【详解】（2 ） （1+ x） 5（2 ） （1+5 x+10x2+10x3+5x

5、4+x5） ，故 x2的系数为 20+10a10， a1，故答案为：1【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属- 4 -于基础题9.某地奥运火炬接力传递路线共分 6 段，传递活动分别由 6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种 （用数字作答） 【答案】96 【解析】排列组合应用问题，弄清题意。从特殊位置入手分类和分步完成，从最后一棒分类，甲为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有 ，乙为最后一棒，再考虑第一棒，再其余位置，依次有 ，则有 【此处有视频，请去附件查看】10

6、.已知数列 ( )，若 ， ，则 【答案】【解析】【分析】由已知推导出 = ( ， =1+ （ ） ，从而 - = - ，由此能求出【详解】数列 满足： ， ， （ ）+（ ）+（ ）= + + = = ( ， = ( ；又 +（ ）- 5 -=1+ + + =1+ =1+ （ ） ，即 =1+ （ ） - = - - - ，故答案为：-【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题11.在边长为 的正六边形 中，记以 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 ， ， ， ，若 与 的夹角记为 ，其中 ，且 ，则 的最大值为（ ） 【答案】【解析】【分

7、析】由向量的投影的几何意义有：| |cos ij的几何意义为向量 在向量 方向上的投影，由图可知：在直角三角形 AED 中，向量 在向量 方向上的投影最大，即可得解【详解】由向量的投影的几何意义有：| |cos ij的几何意义为向量 在向量 方向上的投影，由图可知： 在向量 方向上的投影最大，此时三角形 AED 为直角三角形，其中 AD 与 AE 垂直，又正六边形边长为 1，所以AD=2,AE= ,所以 在向量 方向上的投影为 AE= ，故答案为： - 6 -【点睛】本题考查了向量的投影的几何意义，属于中档题12.如图， 、 是过点 夹角为 的两条直线，且与圆心为 ，半径长为 的圆分别相切，设

8、圆周上一点 到 、 的距离分别为 、 ，那么 的最小值为（ ） 【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得| OM|2，建立坐标系，分析可得 l1、 l2的关于 y 轴对称，据此设出直线 l1与 l2的方程， P（cos，sin） ，由此表示 2d1+d2，结合三角函数的性质分析可得答案【详解】根据题意， l1、 l2是过点 M 夹角为 的两条直线，且与圆心为 O，半径 r1 的圆分别相切，则| OM|2 r2，如图建立坐标系，以圆心 O 为坐标原点， OM 为 y 轴建立坐标系， M（0，2） ，又由 l1、 l2是过点 M 夹角为 的两条直线，则 l1、 l2的关于 y 轴对称，易得 l1

9、、 l2的倾斜角为 和 ，则设 l1的方程为 y x+2， l2的方程为 y x+2，P 是圆周上的一个动点，设 P（cos，sin） ，- 7 -则 d1 1 ，d2 1 ，则 2d1+d22+（ cossin）+1 （ cos+sin）3 3 sin（ ）3 ；即 2d1+d2的最小值为 3 ；故答案为：3 【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，注意建立坐标系，表示 2d1+d2,属于中等题.二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.设函数 ， “该函数的图像过点 ”是“该函数为幂函数”的（

10、 ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】若函数 f（ x）为幂函数，利用性质可得该函数的图象过点（1，1） 反之不成立即可判断出关系【详解】若函数 f（ x）为幂函数，则该函数的图象过点（1，1） 反之如 y=lnx+1 过（1，1） ，但不是幂函数，所以不成立“该函数的图象过点（1，1） ”是“该函数为幂函数”的必要非充分条件- 8 -故选： B【点睛】本题考查了幂函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14.下列关于函数 与 的命题中正确的是（ ） A. 它们互为反函数 B. 都是增函数

11、C. 都是周期函数 D. 都是奇函数【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数 ysin x 的性质可得 A， B 不正确，反正弦函数不是周期函数得 C 不正确【详解】 ysin x 在 R 内不存在反函数，且不具有单调性，故 A， B 不正确；yarcsin x 不是周期函数，故 C 不正确；故选： D【点睛】本题考查了反函数及函数的性质，属于基础题15.如图，在正方体 的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 异面且夹角成 的直线的条数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把与 A1B 成 60角的异面直线一一列出，即得答案【详解】在正方

12、体 ABCD A1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，- 9 -与直线 A1B 异面且夹角成 60的直线有：AD1， AC， D1B1， B1C，共 4 条故选： B【点睛】本题考查异面直线的定义及判断方法，异面直线成的角的定义，体现了数形结合的数学思想，是基础题16.如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可.【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，A 选项等价于 或 ，表示折线 的全部和双曲线，故错误；B 选项，等价于 或 ，又 表示折线 的全部，故

13、错误；C 选项，等价于 或 ， 表示折线 在双曲线外部（包含有原点）的部分，表示双曲线 - ，符合题中的图象，故 C 正确.- 10 -D 选项，等价于 或 ，表示折线 在双曲线外部（包含有原点）的部分，和 表示双曲线在 x 轴下方的部分，故错误.故选 C.【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于 0 时同时需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤17.如图，一个圆锥形量杯的高为 厘米，其母线与轴的夹角为 （1）求该量杯的侧面积 ；（2）若要在该圆

14、锥形量杯的一条母线 上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少当液体体积是 立方厘米时，刻度的位置 与顶点 之间的距离是多少厘米(精确到 厘米)？【答案】 （1） 平方厘米（2）当 时，刻度的位置 与顶点 之间的距离约为 厘米【解析】【分析】(1)先求得圆锥底面半径 及母线，再利用侧面积公式计算即可(2)设 ，用 x 表示平行于底面的截面半径及顶点到截面的距离，利用体积解得 即可.【详解】(1) 由题设，圆锥底面半径 ，母线 因此，该量杯的侧面积为 平方厘米- 11 -(2)设 ，可得过点 平行于底面的截面半径为 ，顶点 到该截面的距离为 于是 当 时，可解得 因此，刻度的

15、位置 与顶点 之间的距离约为 厘米【点睛】本题考查了圆锥侧面积及体积的求法，考查了运算能力，属于基础题.18.已知函数 ， （1）求函数 的单调递减区间；（2）在 中，若 ，且 ， ，求 外接圆半径的长【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）利用倍角公式降幂，再化为 ，由复合函数的单调性求函数 y f（ x）的单调递减区间；（2）由 f（ A） f（ B） ，且 A B，求得 A+B ，得 C ，结合 c AB ，再由正弦定理求得 ABC 外接圆半径的长【详解】(1) 函数 由 ，得 由正弦函数的单调性可知，当 ，即 时，函数 递减所以，函数 ， 的单调递减区间是 (2)函数 在 中，因

16、为 ， ，所以 ， 由 ，及 ，得 ，- 12 -解得 ，于是 设三角形的外接圆半径长为 ，因为 ，所以 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用及单调性，考查了考查三角形的解法，是中档题19.已知函数 ，其中 、 （1）当 ， 时，求满足 的 的值；（2）若 为奇函数且非偶函数，求 与 的关系式【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意，当 a6， b0 时， f（ x） ，若 f（| x|）2 x，则 2x，解可得x 的值，即可得答案；（2）根据题意，由奇函数的定义可得 f（ x）+ f（ x）0，即（ b）+（ b）0，变形分析可得 a、 b 的关系，即可得答案【详解】(1)

17、由题设， ， 当 时， ，解得 ；当 时， ，方程无解因此，满足 的 的值为 (2)当 时， 为偶函数，不合题意；当 时， 的定义域为 由题设，对定义域中的任意 ， 恒成立，- 13 -由 ，整理可得 因此， （ ） 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，涉及函数值的计算，属于基础题20.已知椭圆 ： （1）若抛物线 的焦点与 的焦点重合，求 的标准方程；（2）若 的上顶点 、右焦点 及 轴上一点 构成直角三角形，求点 的坐标；（3）若 为 的中心， 为 上一点(非 的顶点)，过 的左顶点 ，作 ， 交 轴于点，交 于点 ，求证： 【答案】 （1）抛物线 的标准方程为 和 （2） 或 （3）见解

18、析【解析】【分析】（1）根据椭圆的方程和抛物线的性质即可求出；（2）按哪个角为直角进行分类，结合数量积为 0，计算得到 M 的坐标.（3）由 B（3，0） ， BQ OP，设直线 BQ 的方程为 x my3，直线 OP 的方程为 x my，分别于椭圆的方程联立，求出点 Q， N， P 的坐标，再根据向量的运算即可证明.【详解】(1) 椭圆 的焦点坐标为 和 ，抛物线 的标准方程为 和(2)设点 的坐标为 ， 的上顶点 的坐标为 ，右焦点 的坐标为 当 为直角顶点时，点 的坐标为 ；- 14 -当 为直角顶点时， ， ，由 ，解得 ，点 的坐标为 因此，点 的坐标为 或 (3)设直线 的方程为

19、( )，直线 的方程为 于是点 ， 的坐标 ， 为方程组 的实数解，解得点 的坐标为 点 ， 的坐标 ， 为方程组 的实数解，解得点 的坐标为又点 的坐标为 于是 ， ， ，即 ，得证【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，向量的运算，考查计算能力，属于中档题21.给定整数 ( )，设集合 ，记集合 （1）若 ，求集合 ；- 15 -（2）若 构成以 为首项， ( )为公差的等差数列，求证：集合 中的元素个数为；（3）若 构成以 为首项， 为公比的等比数列，求集合 中元素的个数及所有元素之和【答案】 （1） （2）见解析（3）【解析】【分析】（1）由新定义和集合的列举

20、法，可得所求集合；（2）运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数；（3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论【详解】 （1）因为 ，当 时， (2) 因为 构成以 为首项， ( )为公差的等差数列，所以有 ()，以及 ( )此时，集合 中的元素有以下大小关系：因此，集合 中含有 个元素(3)由题设， 设集合 ， 先证 中的元素个数为 ，即从集合 中任取两个元素，它们的和互不相同不妨设 ，于是 显然 假设 ，可得 ，即- 16 -因为 ， ，所以 ，又 ，于是，等式 不成立因此， 同理可证 再证 不妨设 ，于是 显然 ， 假设 ，可得 ，即 ，因为 ，所以 ，又 ，于是 ，等式 不成立因此， 由，得 ，且 此时，集合 中的元素个数为 集合 中所有元素的和为 【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式及求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题- 17 -