湖南省师大附中2019届高三数学月考试题(七)理.doc
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1、1湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(七)数 学(理科)时量:120 分钟 满分:150 分一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知复数 za (aR),若 z 为纯虚数,则|a2i|(B)10i3 iA5 B. C2 D.5 3【解析】因为 zai(3i)a13i 为纯虚数,则 a1,所以|a2i| a2 4,选 B.52下列说法错误的是(B)A在回归模型中,预报变量 y 的值不能由解释变量 x 唯一确定B若变量 x,y 满足关系 y0.1x1,且变量 y 与 z 正相关,则 x 与 z 也正相关C在残差图中,残
2、差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高D以模型 yce kx去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 zln y,将其变换后得到线性方程 z0.3x4,则 ce 4,k0.3【解析】对于 A,在回归模型中,预报变量 y 的值由解释变量 x 和随机误差 e 共同确定,即 x 只能解释部分 y 的变化,所以 A 正确;对于 B,由回归方程知变量 y 与 z 正相关,则 x与 z 负相关,所以 B 错误;对于 C,在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,C 正确;由回归分析的意义知 D 正确故选 B.3函数 f(x) (其中 e 为自然对数的底数)的图象大致为
3、(A)ex 1x( 1 ex)【解析】当 x0 时,e x1,则 f(x)0;(x, y) (x, y)yx 3P3: D,xy0,b0)的右焦点为 F,直线 l 为双曲线 C 的一条渐近线,x2a2 y2b2点 F 关于直线 l 的对称点为 P,若点 P 在双曲线 C 的左支上,则双曲线 C 的离心率为_ _5【解析】如图,设直线 l 与线段 PF 的交点为 A,因为点 P 与 F 关于直线 l 对称,则lPF,且 A 为 PF 的中点,所以|AF|b,|OA|a,|PF|2|AF|2b.设双曲线的左焦点为 E,因为 O 为 EF 的中点,则|PE|2|AO|2a,据双曲线定义,有|PF|P
4、E|2a,则 2b2a2a,即 b2a.所以 e .1 (ba)2 515对于大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如图的方式“分裂” 仿此,若 m3的“分裂”中最小的数是 211,则 m 的值为_15_【解析】2213,2 335,2 479,3 2135,3 37911,3 4252729.不难得出规律,2 n可以表示为两个连续奇数之和;3 n可以表示为三个连续奇数之和;5 n可以表示为五个连续奇数之和;m 3的可以表示为 m 个连续奇数之和,即 2112132112(m1)m 3,m 3m 2210m0,因为 m0,所以 m15.16设 a 为整数,若对任意的 x(0,),不等式
5、 e a恒成立,则 a 的最大值ex 3x是_1_【解析】令 f(x) (x0),则 f(x) .ex 3x ex(x 1) 3x令 g(x)e x 3(x0),则 g(x)xe x0,所以 g(x)在(0,)上单调递增(x 1)因为 g(1)30,则 g(x)在(1,2)内只有一个零点设 g(t)0,则 et .当 x(0,t)时,g(x)0,从而 f(x)0,f(x)单调递增,所以 f(x)min e t.et 3t 3t 1由题意知 eae t,即 at.因为 t(1,2),a 为整数,所以 a 的最大值为 1.三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721
6、题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:共 60 分17(本小题满分 12 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 acos Bbcos A2ccos C.(1)求角 C 的大小;(2)若ABC 的周长为 3,求ABC 的内切圆面积 S 的最大值【解析】(1)由已知,sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos C,(2 分) 即 sin(AB)2sin Ccos C,因为 sin(AB)sin C0,则 cos C ,(4 分)12又 C(0,),所以 C .(5 分) 3(2)设ABC 的内切圆半径
7、为 R,则 absin 3R,则 R ab,(6 分)12 3 12 36由余弦定理,得 a2b 2ab(3ab) 2,化简得 3ab2(ab),(8 分)因为 ab2 ,则 3ab4 ,解得 3 或 1,(10 分)ab ab ab ab若 3,则 a,b 至少有一个不小于 3,这与ABC 的周长为 3 矛盾;(11 分)ab若 1,则当 ab1c 时,R 取最大值 .ab36所以ABC 的内切圆面积的最大值为 Smax .(12 分)(36)2 1218(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,且ABC60,BM平面ABCD,BMDN,BM2DN,点 E 是线段
8、 MN 上任意一点(1)证明:平面 EAC平面 BMND;(2)若AEC 的最大值是 ,求三棱锥 MNAC 的体积23【解析】(1)因为 BM平面 ABCD,则 ACBM.(2 分)又四边形 ABCD 是菱形,则 ACBD,所以 AC平面 BMND. (4 分)因为 AC 在平面 EAC 内,所以平面 EAC平面 BMND.(5 分)(2)设 AC 与 BD 的交点为 O,连结 EO. 因为 AC平面 BMND,则 ACOE,又 O 为 AC 的中点,则 AECE,所以 cosAEC 1 ,AEC(0,)2AE2 AC22AE2 2AE27当 AE 最短时AEC 最大,此时 AEMN,CEMN
9、,AEC ,AE .(7 分)23 233取 MN 的中点 H,分别以直线 OA,OB,OH 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设NDa,则点 A(1,0,0),N(0, ,a),M(0, ,2a), (1, ,a),3 3 AN 3(1, ,2a)AM 3设平面 AMN 的法向量 n1(x,y,z),则 n1AM x 3y 2az 0,n1AN x 3y az 0, )取 z1,则 n1 ,(3a2, 3a6, 1)同理求得平面 CMN 的法向量 n2 .(3a2, 3a6, 1)因为AEC 是二面角 AMNC 的平面角,则23|cosAEC| ,解得 a 或 a (舍去)(10
10、 分)| 9a24 3a236 1|9a24 3a236 1 12 1510 62因为 MN ,AE ,S EAC AE2sin ,a2 BD2320 12 91510 233 12 23 12 43 32 33则 VMNAC V MEAC V NEAC SEAC MN .(12 分)13 351019(本小题满分 12 分)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中,有 6 位参赛选手(1 号至 6 号)登台演出,由现场的 100 位同学投票选出最受欢迎的歌手,各位同学须彼此独立地在投票器上选出 3 位候选人,其中甲同学是 1 号选手的同班同学,必选 1 号,另在 2 号至 6 号选手中随机选 2
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