(浙江专用)2020版高考数学一轮总复习专题10圆锥曲线与方程10.1椭圆及其性质检测.doc
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1、110.1 椭圆及其性质【真题典例】挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,17椭圆的标准方程向量、最值2016 浙江 ,7椭圆的标准方程双曲线的标准方程、离心率椭圆的定义和标准方程1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程.2015 浙江,19椭圆的定义和标准方程直线与椭圆的位置关系、最值、范围2017 浙江 ,2 椭圆的离心率椭圆的几何性质1.掌握椭圆的简单几何性质.2.理解数形结合的数学思想.2016 浙江,7,19 椭圆的离心率双曲线的离心率、圆、直线与椭圆的位置
2、关系22015 浙江,19,文 15 椭圆的离心率直线与椭圆的位置关系分析解读 1.椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,是高考命题的热点.2.考查椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质.3.考查把几何条件转化为代数形式的能力.4.预计 2020 年高考中,椭圆的考查必不可少,考查仍然集中在椭圆及其标准方程,椭圆的简单几何性质,以及与椭圆有关的综合问题上.破考点【考点集训】考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2018 浙江镇海中学阶段性测试,21)已知椭圆 G: + =1(ab0)的离心率为 ,右焦点为2222 63(2 ,0).斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底作等腰
3、三角形,顶点为 P(-23,2).(1)求椭圆 G 的方程;(2)求PAB 的面积.解析 (1)由已知得 c=2 ,= ,解得 a=2 .又 b2=a2-c2=4,所以椭圆 G 的方程为 + =1.2633 21224(2)设直线 l 的方程为 y=x+m.由 得 4x2+6mx+3m2-12=0.=+,212+24=1,设 A、B 的坐标分别为(x 1,y1),(x2,y2)(x1b0)的离心率为 ,且经过点(3,1).2222 63(1)求椭圆的标准方程;(2)过点 P(6,0)的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,Q 是 x 轴上的点,若ABQ 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,求直线
4、l 的方程.解析 (1)由 e= a2=3b2,设椭圆方程为 + =1,63 23222则 + =1,所以 b2=4,所以椭圆的标准方程为 + =1.3212 21224(2)设 AB 的中点坐标为(x 0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=ty+6,则由 得(t 2+3)y2+12ty+24=0,212+24=1,=+6AB 的中垂线方程为 y+ =-t ,所以 Q ,62+3 (-182+3) (122+3,0)点 Q 到直线 l 的距离为 .(122+3,0)62+12+3|AB|= ,所以 6=2 ,解得 t2=9,所以 t=3.因此直线 l 的方程为 x3y-431
5、+22-62+3 32-66=0.考点二 椭圆的几何性质1.(2018 浙江镇海中学期中,21)已知椭圆 C: + =1(ab0)的四个顶点组成的四边形的面2222积为 2 ,且经过点 .2 (1, 22)(1)求椭圆 C 的方程;(2)若椭圆 C 的下顶点为 P,如图所示,点 M 为直线 x=2 上的一个动点,过椭圆 C 的右焦点 F的直线 l 垂直于 OM,且与椭圆 C 交于 A,B 两点,与 OM 交于点 N,四边形 AMBO 和ONP 的面积分别为 S1,S2.求 S1S2的最大值.4解析 (1)因为 在椭圆 C 上,所以 + =1,又因为椭圆的四个顶点组成的四边形的面积(1, 22)
6、 12 122为 2 ,2所以2a2b=2 ,即 ab= ,2 2解得 a2=2,b2=1,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.22(2)由(1)可知 F(1,0),设 M(2,t),A(x1,y1),B(x2,y2),则当 t0 时,OM:y=x,所以 kAB=-,直线 AB 的方程为 y=- (x-1),即 2x+ty-2=0(t0),由 得(8+t 2)x2-16x+8-2t2=0,=-2(-1),2+22-2=0则 =(-16) 2-4(8+t2)(8-2t2)=8(t4+4t2)0,x1+x2= ,x1x2= ,168+28-228+2AB= = = ,1+28+2 1+42222+
7、48+222(2+4)8+2又 OM= ,所以 S1=OMAB= = ,2+4122+4 22(2+4)8+2 2(2+4)2+48+2由 得 xN= ,=-2(-1),=2, 42+4所以 S2=1 = ,42+422+4所以 S1S2= = = b0)的离心率为 ,点 M(-2,1)是2222 32椭圆内一点,过点 M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线 l1,l2,设 l1与椭圆 C 相交于点A,B,l2与椭圆 C 相交于点 D,E.当 M 恰好为线段 AB 的中点时,|AB|= .10(1)求椭圆 C 的方程;(2)求 的最小值.解析 (1)由题意得 a2=4b2,即椭圆 C: + =1
8、,24222设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4).由 作差得,(x 1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0.21+421=42,22+422=42又当 M(-2,1)为线段 AB 的中点时,x 1+x2=-4,y1+y2=2,AB 的斜率 k= =.1-21-2由 消去 y 得,x 2+4x+8-2b2=0.242+22=1,=12+2则|AB|= |x1-x2|= = .1+21+1416-4(8-22) 10解得 b2=3,于是椭圆 C 的方程为 + =1.212236(2)设直线 AB:y=k(x+2)+1,由 消去 y 得,2
9、12+23=1,=(+2)+1(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-12=0.于是 x1+x2= ,x1x2= .-8(2+1)1+424(2+1)2-121+42 =( + )( + )= + =(-2-x1,1-y1)(2+x2,y2-1)+(-2-x4,1-y4)(2+x3,y3-1).(-2-x 1,1-y1)(2+x2,y2-1)=-(1+k2)(2+x1)(2+x2)=-(1+k2)4+2(x1+x2)+x1x2= .4(1+2)1+42同理可得(-2-x 4,1-y4)(2+x3,y3-1)= .4(1+2)4+2 =4(1+k2) = = ,当 k=1 时取
10、 (11+42+14+2)20(1+2)2(1+42)(4+2)20(1+2)2(1+42+4+22 )2165等号.综上, 的最小值为 .165炼技法【方法集训】方法 求椭圆离心率(范围)的常用方法1.(2018 浙江宁波高三上学期期末,4)已知焦点在 y 轴上的椭圆 + =1 的离心率为,则实数24 2m 等于( ) A.3 B. C.5 D.165 163答案 D 2.(2018 浙江镇海中学 5 月模拟,8)设椭圆 C: + =1(ab0) 的右焦点为 F,椭圆 C 上的两2222点 A,B 关于原点对称,且满足 =0,|FB|FA|2|FB|,则椭圆 C 的离心率的取值范围是( )7
11、A. B.22, 53 53,1)C. D. -1,1)22, 3-13答案 A 过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点一 椭圆的定义和标准方程(2018 浙江,17,4 分)已知点 P(0,1),椭圆 +y2=m(m1)上两点 A,B 满足 =2 ,则当 m= 24时,点 B 横坐标的绝对值最大. 答案 5考点二 椭圆的几何性质1.(2017 浙江,2,4 分)椭圆 + =1 的离心率是( ) 29 24A. B. C. D.133 53答案 B 2.(2016 浙江,19,15 分)如图,设椭圆 +y2=1(a1).22(1)求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长(用 a,k
12、表示);(2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析 (1)设直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段为 AP,由 得(1+a 2k2)x2+2a2kx=0,=+1,22+2=1故 x1=0,x2=- .221+228因此|AP|= |x1-x2|= .1+222|1+22 1+2(2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个,由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点 P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线 AP,AQ 的斜率分别为 k1,k2,且 k1,k20,k1k 2.由(1)知,|AP|= ,|AQ|= ,22|1| 1+211+22122|
13、2| 1+221+222故 = ,22|1| 1+211+22122|2| 1+221+222所以( - )1+ + +a2(2-a2) =0.2122 2122 2122由 k1k 2,k1,k20 得 1+ + +a2(2-a2) =0,2122 2122因此 =1+a2(a2-2),(121+1)(122+1)因为式关于 k1,k2的方程有解的充要条件是 1+a2(a2-2)1,所以 a .2因此,任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 10,42将 AB 中点 M 代入直线方程 y=mx+,(22+2,22+2)解得 b=- .2+222由得 m .63
14、 63(2)令 t= ,1(- 62,0) (0, 62)则|AB|= ,2+1-24+22+322+12且 O 到直线 AB 的距离为 d= .2+122+1设AOB 的面积为 S(t),所以 S(t)= |AB|d= .12 -2(2-12)2+2 22当且仅当 t2=时,等号成立.故AOB 面积的最大值为 .22B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点一 椭圆的定义和标准方程1.(2014 辽宁,15,5 分)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对29 24称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|= . 答案 1
15、2102.(2018 天津文,19,14 分)设椭圆 + =1(ab0)的右顶点为 A,上顶点为 B.已知椭圆的离2222心率为 ,|AB|= .5313(1)求椭圆的方程;(2)设直线 l:y=kx(kx10,点 Q 的坐标为(-x 1,-y1).由BPM 的面积是BPQ 面积的 2 倍,可得|PM|=2|PQ|,从而 x2-x1=2x1-(-x1),即 x2=5x1.易知直线 AB 的方程为 2x+3y=6,由方程组 消去 y,可得 x2= .由方程组2+3=6,=, 63+2消去 y,可得 x1= .29+24=1,=, 692+4由 x2=5x1,可得 =5(3k+2),两边平方,整理
16、得 18k2+25k+8=0,解得 k=-或 k=-.92+4当 k=-时,x 2=-9b0)的离心率2222为 ,且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.22(1)求椭圆的标准方程;11(2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P,C,若PC=2AB,求直线 AB 的方程.解析 (1)由题意,得= 且 c+ =3,22 2解得 a= ,c=1,则 b=1,2所以椭圆的标准方程为 +y2=1.22(2)当 ABx 轴时,AB= ,又 CP=3,不合题意.2当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-1),A(x
17、1,y1),B(x2,y2),将 AB 的方程代入椭圆方程,得(1+2k 2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则 x1,2= ,C 的坐标22 2(1+2)1+22为 ,且 AB= = = .(221+22,-1+22) (2-1)2+(2-1)2 (1+2)(2-1)222(1+2)1+22若 k=0,则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,与左准线平行,不合题意.从而 k0,故直线 PC 的方程为 y+ =- ,1+221(- 221+22)则 P 点的坐标为 ,(-2, 52+2(1+22)从而 PC= .2(32+1) 1+2|(1+22)因为 PC=2AB,所以 = ,2(32+1
18、) 1+2|(1+22)42(1+2)1+22解得 k=1.此时直线 AB 方程为 y=x-1 或 y=-x+1.评析 本题在考查椭圆基本性质与标准方程的同时,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系和方程思想.124.(2015 安徽,20,13 分)设椭圆 E 的方程为 + =1(ab0),点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为2222(a,0),点 B 的坐标为(0,b),点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 .510(1)求 E 的离心率 e;(2)设点 C 的坐标为(0,-b),N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为,求E 的方
19、程.解析 (1)由题设条件知,点 M 的坐标为 ,(23,13)又 kOM= ,从而 = .510 2 510进而 a= b,c= =2b.故 e= .5 2-2255(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线 AB 的方程为 +=1,点 N 的坐标为 ,设5 ( 52,-12)点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ,则线段 NS 的中点 T 的坐标为 .(1,72) ( 54+12,-14+74)又点 T 在直线 AB 上,且 kNSkAB=-1,从而有 + =1, = ,解得 b=3,所以54+125-14+7472+121- 52 5a=3 ,故椭圆 E 的方程为 + =1.
20、524529考点二 椭圆的几何性质1.(2018 课标全国文,4,5 分)已知椭圆 C: + =1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( ) 2224A. B. C. D.22 223答案 C 2.(2018 课标全国理,12,5 分)已知 F1,F2是椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C2222的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 的直线上,PF 1F2为等腰三角形,F 1F2P=120,则 C 的离36心率为( )A. B. C. D.13答案 D 3.(2017 课标全国文,12,5 分)设 A,B 是椭圆 C: + =1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M2
21、3 2满足AMB=120,则 m 的取值范围是( )A.(0,19,+) B.(0, 9,+)3C.(0,14,+) D.(0, 4,+)3答案 A 4.(2018 北京理,14,5 分)已知椭圆 M: + =1(ab0),双曲线 N: - =1.若双曲线 N 的两22222222条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆 M 的离心率为 ;双曲线 N 的离心率为 . 答案 -1;235.(2016 江苏,10,5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F 是椭圆 + =1(ab0)的右焦点,2222直线 y=与椭圆交于 B,C 两点,且BFC=90,
22、则该椭圆的离心率是 . 答案 636.(2017 天津文,20,14 分)已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F(-c,0),右顶点为 A,点 E2222的坐标为(0,c),EFA 的面积为 .22(1)求椭圆的离心率;(2)设点 Q 在线段 AE 上,|FQ|=c,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P,点 M,N 在 x 轴上,PMQN,且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c,四边形 PQNM 的面积为 3c.(i)求直线 FP 的斜率;(ii)求椭圆的方程.解析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和方程思想.考查运算求解能力,以及
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