[专升本类试卷]专升本高等数学二（多元函数微分学）模拟试卷1及答案与解析.doc

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1、专升本高等数学二（多元函数微分学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 函数 z=f(x,y)在点(x 0,y0)处的两个偏导数 存在是它在该点处可微的 ( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）无关条件2 设函数 f(x， y)=xy+(x 一 1)tan ，则 fy(1，0)= ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）不存在3 设二元函数 z=x2y+xsiny，则 = ( )（A）2xy+siny（B） x2+xcosy（C） 2xy+xsiny（D）x 2y+siny4 设函数 z=xy2+ = ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）一 15 设 z=ln(x3+y3)

2、，则 dz (1，1) = ( )（A）dx+dy（B） (dx+dy)（C） (dxdy)（D）2(dx+dy)6 设 f(x，y)在点(a，b)处有偏导数，则 = ( )（A）0（B） 2fx(a，b)（C） fx(a，b)（D）f y(a，b)7 在曲线 x=t，y= 一 t2 ，z=t 3 的所有切线中，与平面 x+2y+z=4 平行的切线 ( )（A）只有 1 条（B）只有 2 条（C）至少有 3 条（D）不存在8 函数 z=x3+y3 一 6xy 的驻点为 ( )（A）(0 ，0)和(1，1)（B） (k，k)kR（C） (0，0) 和(2 ，2)（D）无穷多个9 二元函数 z=x

3、3 一 y3+3x2+3y2 一 9x 的极小值点为 ( )（A）(1 ，0)（B） (1，2)（C） (一 3，0)（D）(一 3，2)10 设 z=x3 一 3xy，则它在点(1，0)处 ( )（A）取得极大值（B）取得极小值（C）无极值（D）无法判定二、填空题11 设 f(x，y)=ln(y+ )，则 fy(1，1)=_ 12 设 f(x，y)= f(x，y)=_13 设函数 z=3x+y2，则 dz=_14 设 z=f(x2+y2， )可微，则 =_15 设 =x3+2y2+xy，x=sint，y=e t，则 =_16 设 z= =_17 曲线 x=2t2+7t，y=4t 一 2，z=

4、5t 2+4t 在点(一 5，一 6，1)处的切线方程为_18 函数 z=xy(9 一 xy)的极值点是_19 设 f(x+y， )=x2 一 y2(x0)，求 f(x，y)20 计算极限 21 设 z= 22 设 z= ，求 dz23 z=f(x，e x，sinx)，求 24 设 z=x3f(xy， )，f 具有连续的二阶偏导数，求 24 设函数 f()在(0，+)内具有二阶导数，且 z= 满足等式 =025 验证 f()+ =0；26 若 f(1)=0，f (1)=1，求函数 f()的表达式27 设 x 是 x，y 的函数，且 xy=xf(z)+y(z)，xf (z)+y(z)0，证明：x

5、 一 (z)=y 一 f(z) 28 设 z= +(x 一 1)ylnx，其中 f 是任意的二次可微函数，求证： x2 =(x+1)y29 求曲线 ，z=t 2 过点 ( ，2，1)的切线方程及法平面方程 30 求空间曲线 ：x= 0tecosd，y=2sint+cost， z=1+e3t 在 t=0 处的切线方程和法平面方程31 求曲面 z= +y2 平行于平面 2x+2yz=0 的切平面方程32 求函数 f(x，y)=e 2x(x+y2+2y)的极值33 某工厂生产某产品需两种原料 A、B，且产品的产量 z 与所需 A 原料数 x 及 B原料数 y 的关系式为：z=x 2+8xy+7y2已

6、知 A 原料的单价为 1 万元吨，B 原料的单价为 2 万元吨现有 100 万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大?专升本高等数学二（多元函数微分学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 对于多元函数，可微必可偏导，而可偏导不一定可微，故可偏导是可微的必要条件【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(1，y)=y ，故 fy(1，0)=f (1，y) y=0=1【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 z=x2y+xsiny，所以 =2xy+siny【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析

7、】 因 z=xy2+ ，从而 z (x，1) =x+ex，于是 =1+e0=2【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 ，还可由一阶全微分形式不变性得 dz= (3x2dx3y 2dy)，所以 dz (1，1) = (dxdy)【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 =fx(a，b)f x(a，b)=2f x(a，b)【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 对应于 t0 处曲线切线的方向向量为 =(1，一 2t0，3t 02)，该切线与平面 x+2y+z=4 平行 与该平面的法向量 n=(1，2，1)垂直 t0=1 或 t0= ，

8、所以 =(1，一 2，3)或 = ，故只有两条，答案选 B【知识模块】 多元函数积分学8 【正确答案】 C【试题解析】 =3x26y， =3y26x， 解得 x=2，y=2 或 x=0，y=0【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 A【试题解析】 因 z=x3 一 y3+3x2+3y2 一 9x，于是 得驻点(3，0)，(3，2)，(1，0)，(1，2)对于点(一 3，0)，A=一 18+6=一 12，B=0 ，C=6 ，B 2 一AC=720，故此点不是极值点对于点(3，2)，A=一 12，B=0，C=一 12+6=一6，B 2 一 AC=一 720，故此点为极大值点对于点(1，0)

9、，A=12， B=0，C=6，B 2 一 AC=一 720，故此点为极小值点对于点(1，2)，A=12， B=0，C=一 6，B 2 一 AC=720，故此点不是极值点【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 C【试题解析】 =一 10，显然点(1，0)不是驻点，故在此处无极值【知识模块】 多元函数积分学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 f(x，y)= 令 x=1，y=1，得 fy(1，1)= 也可将 x=1 代入 f中得 f(1，y)=ln(y )，再求 fy，然后令 y=1 就得所要求的结果【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 因为(1，0)是 f(

10、x，y)定义域内的点，所以 f(x，y)在(1，0)连续，故【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 3dx+2ydy【试题解析】 因为 z=3x+y2，所以 =2y，则 dz=3dx+2ydy【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 2yf 1 f2【试题解析】 =f12y+ 【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 5【试题解析】 =(3x2+y)cost+(4y+x)e t，当 t=0 时，x=0 ，y=1，故=1+4=5【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 【试题解析】 由 z= 【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 【试题解析】 点(一 5，一

11、6，1)对应的 t 值为 t=一 1，则切线的方向向量为(x (t)，y(t)，z (t) t=1 =(4t+7， 4，10t+4) t=1 =(3，4，一 6)，故切线方程为 【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 (3，3)【试题解析】 =y(9 一 xy)一 xy， =x(9 一 xy)一 xy， 对于点(0，0)，A=0， B=9，C=0，=81 0，不是极值点；对于点(9，0)，A=0，B= 一 9，C=一18，=81 0，不是极值点；对于点(0，9)，A=一 18，B= 一 9，C=0 ，=81 0，不是极值点；对于点(3，3)，A=一 6，B=一 3，C=一 6，=一 2

12、70，A 0，故为极大值点【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 f(x+y， )=(xy)(x+y)=(x+y)2 故 f(x，y)=x 2 (y一1)【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 因为 x0，y0 时，(x+y)0， 1，所以 =0【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 所以 dz= (3x2+y2)dx+2xydy也可用一阶全微分的形式不变性解为【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 令 =ex， =sinx，则 z=f(x，) ，于是【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 =x4f1+x2

13、f2， =x4(xf11+ f12)+x2(xf21+ f22)=x5f11+2x3f12+xf22， =4x3f1+x4(yf11一 f12)+2xf2+x2(yf12一 f22)=4x3f1+2xf2+x4yf11一 yf22【知识模块】 多元函数积分学【知识模块】 多元函数积分学25 【正确答案】 求二元复合函数 z= 的二阶偏导数 中必然包含 f()及 f()，将 的表达式代入等式 =0 中，就能找出 f()与 f()的关系式，由题意可知= ，则【知识模块】 多元函数积分学26 【正确答案】 在方程 f()+ =0 中，令 f()=g()，则 f()=g()，方程变为g()+ =0，这

14、是可分离变量微分方程，解得 g()= ，即 f()= ，由初始条件 f(1)=1 C1=1，所以 f()= ，两边积分得 f()=ln+C2，由初始条件 f(1)=0 C2=0，所以 f()=ln【知识模块】 多元函数积分学27 【正确答案】 令 F(x，y，z)=xyxf(z) 一 y(z)，则 Fx=y 一 f(z)，F y=x 一 (z)，Fz=一 xf(z)一 y(z)，【知识模块】 多元函数积分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学29 【正确答案】 x (t)= ，y (t)= ，z (t)=2t该点为 t=1 时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为 s=( ，一

15、1，2、) 所求切线方程为： 法平面方程为： 一(y 一 2)+2(z 一 1)=0，即 2x 一 8y+16z 一 1=0【知识模块】 多元函数积分学30 【正确答案】 当 t=0 时， x=0，y=1，z=2，x =etcost，y =2costsint，z =3e3t，则x(0)=1，y (0)=2，z (0)=3，于是，切线方程为： ，法平面方程为：x+2(y 一 1)+3(z 一 2)=0，即 x+2y+3z 一 8=0【知识模块】 多元函数积分学31 【正确答案】 设切点为 P(x0,y0,z0)，曲面 z= +y2 在 P 点的法向量为(x0，2y 0，一 1)，所给平面的法向量

16、为(2，2，一 1)，由题设条件有 +y02，由此得切点坐标为 x0=2，y 0=1，z 0=3于是所求切平面方程为 2(x 一 2)+2(y 一 1)一(z一 3)=0，即 2x+2yz 一 3=0【知识模块】 多元函数积分学32 【正确答案】 =2e2x(x+y2+2y)+e2x=e2x(1+2x+2y2+4y)， =e2x(2y+2)=2e2x(y+1)， 而 =2e2x(1+2x+4y+2y2)+2e2x=e2x(4+4x+8y+4y2)，=4e2x(y+1)，所以点 =2e因此 f(x，y)在点( ，一 1)处=一 4e20，且A0，故 f(x，y)在点( ，一 1)取得极小值，且极小值为 e【知识模块】 多元函数积分学33 【正确答案】 由题意知，即求函数 z=x2+8xy+7y2，在条件 x+2y=100 条件下的条件极值 化条件极值为无条件极值 将条件 x+2y=100 代入函数 z=x2+8xy+7y2有： z=(100 一 2y)2+8(1002y)y+7y 2=10000+400y 一 5y2， z(y)=400 一 10y，令 y=0 得 y=40(吨)； 又 z(y)=一 100， y=40(吨)时，z 最大，此时，x=100 2y=20(吨)， 当 x=20 吨，y=40 吨时，才能使该产品产量最大【知识模块】 多元函数积分学