[考研类试卷]考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编2及答案与解析.doc

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1、考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设在闭区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x) 0记 S1 ab(x)dx，S 2f(b)(ba)，S3 ，则（A）S 1S 2S3 （B） S2S 3S 1（C） S3S 1S 2 （D）S 2S 1S 3 2 设 ，则（A）I 1I 2 I （B） II 1I 2（C） I2I 1I （D）II 2 I13 设 ，则 I，J ，K 的大小关系是（A）IJK （B） IKJ（C） JIK （D）KJI4 设 Ik 0kex2sinxdx(k1 ，2，3)，则

2、有（A）I 1I 2 I3 （B） I3I 2I 1（C） I2I 3I 1 （D）I 2I 1 I35 设 ，则极限 等于（A）（B）（C）（D）6 设 F(x) x2x esintsintdt，则 F(x)（A）为正常数 （B）为负常数 （C）恒为零 （D）不为常数7 设 ，则当 x0 时，(x)是 (x)的（A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小（C）同阶但不等价的无穷小 （D）等价无穷小8 设函数 f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是（A） 0xf(t2)dt （B） 0xf2(t)dt（C） 0xtf(t)f(t)dt （D） 0xtf(t)f(t)dt9 设函数 F(x) 0xf(

3、t)dt，则（A）x 是函数 F(x)的跳跃间断点（B） x 是函数 F(x)的可去间断点（C） F(x)在 x 处连续但不可导（D）F(x)在 x 处可导二、填空题10 _。11 _。12 _。13 _。14 函数 上的平均值为_15 904*(x3sin 2x)cos2xdx_16 设 f(x)连续，则 _。17 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 ，计算f(x)dx19 计算e 2x(tanx1) 2dx20 求 。21 计算不定积分 。22 求 。23 计算不定积分 (x0)24 如图 132，曲线 C 的方程为 yf(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线

4、 l1 与l2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为 (2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 03 (x2 x)f(x)dx25 设函数 f(x)连续，(x) 01f(xt)dt，且 (A 为常数)，求 (x)，并讨论 (x)在 x0 处的连续性26 设 xOy 平面上有正方形 D(x，y)0x1，0y1)及直线 l： xyt(t0) 若 S(t)表示正方形 D 位于直线 l 左下方部分的面积，试求 0xS(t)dt(x0)。27 设函数 f(x)在0，)上可导，f(0) 0，且其反函数为 g(x)若 0f(x)g(t)dtx 2ex，求 f(x)28

5、设 求函数 F(x) 1 xf(t)dt 的表达式29 设函数 yy(x) 由参数方程 (t1)所确定，求 。30 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，求极限 。31 设 f(x)是区间 上的单调、可导函数，且满足，其中 f1 是 f 的反函数，求 f(x)32 设函数 S(x) 0xcostdt，(1) 当 n 为正整数，且 nx(n1) 时，证明：2nS(x)2(n1)；(2)求 33 设函数 f(x)在0，上连续，且f(x)dx 0， f(x)cosxdx0，试证明：在(0，) 内至少存在两个不同的点 1， 2，使 f(1)f( 0)034 函数 f(x)在0，)上可导，f(0) 1，

6、且满足等式。 (1)求导数 f(x)； (2) 证明：当 x0 时，不等式 ex f(x)1 成立35 设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且 f(x)0若极限存在，证明：(1)在(a ，b)内 f(x)0；(2)在(a，b)内存在点 ，使；(3)在(a ，b)内存在与(2)中 相异的点 ，使 f()(b2a 2)。36 (1)比较 01ln tln(1 t)ndt 与 01t2ln tdt(n1，2，)的大小，说明理由；(2)记 un 01ln tln(1 t)ndt(n1，2，)，求极限 37 计算积分 。考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编 2 答案与

7、解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 分析 根据 f(x)及其导函数的符号，可知曲线的单凋性与凹凸性，再利用其几何意义即可推导出相关的不等式 详解 由 f(x)0，f(x)0，f“(x)0知，曲线 yf(x)在a，6上单调减少且是凹曲线弧，于是有 f(x)f(b) ， f(x)f(a) ，axb。从而 S1 af(x)dxf(b)(ba)S 2，s 1 af(x)dx 。即 S2S 1S 3，故应选(D) 评注 本题也可直接根据几何直观引出结论：S 1，S 2，S 3 分别为如图131 所示的面积，显然有 S2S 1S 3。【知识模

8、块】 一元函数积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 分析 直接计算 I1，I 2 是困难的，可应用不等式 tanx，x0 详解 因为当 x0 时，有 tanxx 于是 ，从而有 ，可见有 I1I 2 且，可排除(A) ， (C)，(D)，故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 B【试题解析】 分析 用定积分比较大小的性质详解在 上，sinxcosxcotx且 lnx 是增函数，则在 上，lnsinxlncosxlncotx，且它们不恒等由定积分的保号性。故应选(B)【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 分析 此题考查定积分的基本性质和换元积分 详解

9、由Ik 0kex2sinxdx 有： I 2I 1 2ex2sinxdx0， 即 I2I 1； I3I 2 3ex2sinxdx0， 即 I3I 2； I3I 1 3ex2sinxdx 2ex2sinxdx 23ex2sinxdx 2ex2sinxdx 2ex2sin(y)d(y) 2ex2sinxdx 2ex2sinydy 2(e2x2 )ex2sinxdx0， 即 I1I 3 由上知，I2I 1I 3故应选 (D)【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 分析 先用换元法计算积分，再求极限详解 因为 ，可见 。评注 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个

10、知识点，但定积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 分析 被积函数以 2 为周期，利用周期函数的积分性质进行计算详解 由于 esintsint 是以 2 为周期的，因此 F(x) x2x esintsintdt 02xesintsintdt 02esintdcost0 02esintcos2tesintdt0。故应选(A) 评注 四个选项均与 F(x)是否为常数有关，可考虑对 F(x)求导，看其导数是否为零： F(x) ( x2x esintsintdt)e sin(x2) sin(x2)e sinxsin

11、x0，于是 F(x)C，从而有 F(x)F(0) 02esintsintdt 0esintsintdt 02esintsintdt，而，可见 F(x) 0(esinte sint )sintdt 0esint (e2sint1)sintdt0得正确选项(A) 【知识模块】 一元函数积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 分析 本题相当于求极限 ，再根据此极限值进行判断即可 详解 因为 ， 故(x)是 (x)的同阶但不等价的无穷小量，故应选 (C) 评注 无穷小量的比较是高等数学中的一个重要的知识点，也是常考题型之一这类问题本质上均可转化为极限的计算，因此只要熟练掌握了有关极限的计算方法，应该可

12、以轻松求解不过，这类问题也可反过来考查，即已知无穷小量的比较结果，反求有关参数或进行其他的相关计算，这时就变为求极限的逆问题【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 D【试题解析】 分析 利用奇偶函数的定义和定积分的性质即得 详解 设 F(x) 0xtf(f)f(t)dt，则 F(x) 0x tf(t)f(t)dt， 令 ut，则当 t0 时，u0，当 tx 时，u x，于是 F(x) 0x(u)f(u)f(u)d(u) 0xuf(u)f(u)du 0xtf(t)f( t)dtF(x) 即 F(x)为偶函数，故应选(D) 评注 1类似可得 0xtf(f)f(t)df 和 0xf2(t)df

13、 为奇函数，而 0xf(t2)df 的奇偶性不定 评注 2 对于选择题，也可取 f(x)1，f(x) x，用排除法找到答案 评注 3 f(t)dt 的奇偶性与 f(x)的奇偶性的关系是： 若 f(x)为奇函数，则 0xf(t)dt 为偶函数；若 f(x)为偶函数，则 0xf(t)dt 为奇函数【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 C【试题解析】 详解 当 0x 时，F(x) 0xf(t)dt 0xsintdt1cosx，当 x2时，F(x) 0xf(t)dt 0sintdt x2dt2(1 x) ， 于是，所以 F(x)在 x 处连续 易得 F (7r)0，F ()2，即 F(x)在

14、x 处的左、右导数存在但不相等，故不可导故选(C)【知识模块】 一元函数积分学二、填空题10 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 利用定积分定义求极限详解故应填【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】 应填。【试题解析】 分析 被积函数中含有根式，利用变量代换去掉根式，再积分即可详解 1。详解2 。详解 3 。评注 被积函数中含有 时，一般先配方，再积分【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 应填cotxlnsinxcotxxC【试题解析】 分析 利用分部积分法即可详解 lnsinxd(cotx)cotx.Insinxcot 2xdx cotx.lnsinx(csc 2x1)d

15、x cotx.lnsinxcotxxC【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 此类有理函数的不定积分直接用凑微分法即可注意分母不能分解因式，因此这个有理函数不能再分解为更简单的形式详解。评注 一般情形有公式：。【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 本题考查函数平均值的概念，要求知道函数平均值的定义公式： ，因此，本质上是一个定积分的计算问题详解 因为函数yf(x)在区间a，b上的平均值为 ，故所求平均值为 评注 因有相当一部分考生不熟悉平均值的概念，导致无法解答本题类似大纲要求的概念，如弧长、曲率等在复习时也值得注意【知识模

16、块】 一元函数积分学15 【正确答案】 应填【试题解析】 分析 积分区间为对称区间，首先想到被积函数的奇偶性，尽量用奇偶函数在对称区间上的性质简化计算过程详解评注 若 f(x)为连续函数，则 2a af(x)dx 0af(x)f(x)dx【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 应填 xf(x2)【试题解析】 分析 本题是变上限的积分求导问题，关键是将被积函数中的 x 换到积分号外或积分上、下限中去，这可通过变量代换 ux 2t 2 实现 详解 作变量代换 ux 2t 2，则 。 评注 一般地，对变限积分 a(x)b(x)f(x，t)dt，应先作变量代换 u(x,t) ，将 x 换到积分

17、号外或积分上、下限中去，再用求导公式 。【知识模块】 一元函数积分学17 【正确答案】 应填 。【试题解析】 分析 将分母配方后利用凑微分法积分详解评注 对函数 的积分，一般先配方，再进行计算【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 设 lnxt，则 xe t，于是 e x ln(1e 2)xln(1e x)C【试题解析】 分析 由于 f(x)的表达式未知，因此应先求出 f(x)的表达式，再根据被积函数的形式，通过分部积分求解即可评注 本题主要考查函数的概念及不定积分的凑微分法和分部积分法【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 详

18、解 1e2x(tanx1) 2dxe 2x(tanx2tanx1)dxe 2x(secZx2tanx)dx e 2xd(tanx)2e 2xtaMnxdx e 2xtanxe 2x.2.tanxdxe 2xtanxdx e 2xtanxC详解 2e2x(tanx1) 2dx【试题解析】 分析 被积函数为幂函数与三角函数的乘积，采用分部积分法，将三角函数看作出评注 在求积分时，往往会出现某些复杂的积分重复出现的情况，要么可以消去，要么为所求积分，所以不要苛求每一部分都积出【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 设 xtant，则 dxsec 2tdt。【试题解析】 本题为常规不定积分问题

19、，含有形如 的根式，应作三角代换 xtant【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 详解 1 设 xtant ，则 ，又 etsintdte tdcost(e tcostetcostdt) e tcoste tsintetsintdt，故。因此。详解 2 直接用分部积分法：，移项整理得 。【试题解析】 分析 被积函数含有根号 ，应作代换 xtant ，或被积函数含有反三角函数 arctanx，同样可考虑作变换 arctanxt，即 xtant 评注 本题的关键是含有反三角函数，作代换 arctanxt 或 xtant【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 详解 1令，因此 因此

20、 详解 2 令 arcsinext ，则 xln sint ， 【试题解析】 分析 被积函数为反三角函数与幂函数的乘积，常采用分部积分法，将反三角函数看作 u，再考虑用换元法另外，也可直接用换元法 评注 1 被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换 评注 2用分部积分公式时，一般对数函数、反三角函数应保留下来作为 u，而其余部分可考虑“凑”成 dv 的形式【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 令 原式【试题解析】 分析 作替换 ，再用分部积分法【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 由题设图形知

21、，f(0)0，f(0)2，f(3)2，f(3)2，f“(3)0 由分部积分公式，知 03(x2x)f(x) 03(x2x)df“(x) (x x)f“(x) 03 03(x)(2x1)dx 03(2x1)df(x) (2x1)f(x) 032 03f(x)dx 162f(3) f(0)20【试题解析】 分析 题设图形相当于已知 f(x)在 x0 的函数值与导数值，在x3 处的函数值及一阶、二阶导数值评注 本题 f(x)在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出，题型比较新颖，综合考查了导数的儿何意义和定积分的汁算另外，值得注意的是，当被积函数含有抽象函数的导数时，一般优先考虑用分部积分法【知识

22、模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 当 x0 时，即又从而 (x)在x0 处连续【试题解析】 分析 通过变换将 (x)变为变上限积分，求出 (x)后再讨论 (x)在 x0 处的连续性【知识模块】 一元函数积分学26 【正确答案】 根据题设，有 可见，当 0x1 时， 当 1x2 时， 当x2 时， 故有 【试题解析】 分析 首先根据，的不同取值，求出 S(t)的表达式，然后再根据 x 的取值情况计算定积分 0xS(t)dt(x0) 评注 分段函数的积分问题，应根据不同区间段上的函数表达式，利用积分的可加性分段进行积分。【知识模块】 一元函数积分学27 【正确答案】 等式 0f(x)g(t

23、)dte 2ex 两边对 x 求导得 gf(x)f(x)2xe xx 0ex因gf(x)x，故 xf(x)2xe xx 2ex当 x0 时， f(x)2e xxe x，积分得 f(x) (x1)exC 由于 f(x)在 x0 处连续，故由 ，得 C1因此 f(x)(x1)ex1【试题解析】 含有变限的定积分当然想到先对其求导，注意 f(x)的反函数为 g(x)，因此有 gf(x)x求导后转化为微分方程，解此方程即可【知识模块】 一元函数积分学28 【正确答案】 当1x0 时，有 ；当 0x1 时，有 所以【试题解析】 分析 由 f(x)的定义，分段积分即可 评注 分段函数求积分一般应根据积分可

24、加性分段分别求积分【知识模块】 一元函数积分学29 【正确答案】 由 ，得，所以当 x9 时，由 x12t 2 及t1 得 t2，故 。【试题解析】 分析 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可注意当 x9 时，可相应地确定参数的取值【知识模块】 一元函数积分学30 【正确答案】 .【试题解析】 分析 此类未定式极限，典型方法是用洛必塔法则，但分子分母求导前应先变形评注 1 本题综合考查了变限积分求导、洛必塔法则，被积函数中包含变量 T，应设法将 x 提到积分号外或积分上、下限中去，其关键是先作变量代换 uxt评注 2 一般来说，被积函数的中间变量是非积分变量时均应先考虑换

25、元即对变限积分 a(x)b(x)f(x，t)dt，一般应先作变量代换 u(x，t)，然后再进行相关的讨论评注 3 本题容易出现的错误是：在利用一次洛必塔法则后，继续用洛必塔法则错误的原因：f(x)未必可导【知识模块】 一元函数积分学31 【正确答案】 等式两端先对 x 求导，得 ，即 。于是。利用已知等式知 f(0)0，于是 C0，故 f(x)ln(sinxcosx)【试题解析】 分析 等式两端先对 x 求导，再积分即可【知识模块】 一元函数积分学32 【正确答案】 (1)nx(n1) 时，注意到被积函数是非负的，于是有 0ncosxdxS(x) 0(n1) cosxdx又因为cosx是以 为

26、周期的甬数，存每个周期上积分值相等，所以 0ncosxdxn 0cosxdx2n， 0(n1)cosxdx(n 1) 0cosxdx2(n1)因此当 nx(n1) 时，有 2nS(x)2(n1) (2)由(1)知，当 nx(n1) 时，有 ，当 x时，有 n，根据夹逼定理得 。【试题解析】 分析 求解本题的关键是注意到被积函数cost是以 为周期的周期函数，从而在每个以 为长度的区间上的积分相等，这样利用积分的可加性可将积分区间分解为以 为长度的区间，进而得到所需的不等式利用(1)中得到的不等式和夹逼定理即可求(2)中的极限 评注 若 f(x)是周期为 T 的周期函数，即f(xT)f(x) ，

27、则 aaT f(x)dx 0Tf(x)dx。【知识模块】 一元函数积分学33 【正确答案】 详解 1 令 F(x) 0xf(t)dt，则有 F(0)F()0又因为 0 0f(x)cosxdx 0F(x) F(x)cosx 0 0F(x)sinsxdx 0F(x)sinxdx 令 G(x) 0xF(t)sintdt，则 G(0)G()0，于是，对 G(x)在0，上使用拉格朗日中值定理知，存在 (0，) ，使 F()sin 0 因为当E(0，) ，sin0，所以有 F()0这样就证明了 F(0)F()F()0 再对 F(x)在区间0， ， 上分别用罗尔中值定理，知至少存在 1(0，) ， 2(，)

28、，使 F( 1)F( 2)0， 即 f( 1)f( 2)0 详解 2 反证法：令 F(x) 0xf(t)dt则有 F(0)F()0由罗尔定理知，存在1(0， )，使 F(1)f()0 假设在(0，)内 f(x)0 仅有一个实根 x 1，则由0f(x)dx0 可知， f(x)在(0， 1)内与( 1，) 内异号，不妨设在 (0， 1)内 f(x0，在(1，)内 f(x)0于是再由 0f(x)dx0 与 0f(x)cosxdx 及 cosx 盯在0，上的单调性知： 与 0f(x)cosxdx 及 cosx 盯在0，上的单调性知： 0 0f(x)(cosxcos 1)dx 01f(x)(cosxco

29、s1)dx 1f(x)(cosxcos 1)dx0， 矛盾从而推知，在(0，)内除 1 外，f(x)0 至少还有另一个实根 2，故知存在实根 1， 2(0，)， 12，使 f(1)f( 2)0【试题解析】 分析 本题直接用连续函数的介值定理是困难的，可考虑作辅助函数 F(x) 0xf(t)dt，显然有 F(0)F()0，但要最终证明结论，还需另找 F(x)的一个零点，这当然要由第二个条件 0f(x)cosxdx0 来实现为了使其与 F(x)联系起来，可将其变换为 0 0f(x)cosxdx 0F(x)，再通过分部积分和微分中值定理或积分巾值定理就可达到目的 评注 1 证明 f(x)有是个零点的

30、一个有效的方法是证明它的原函数有 k1 个零点 F(x) 0xf(t)dt 是多次考到的一个特殊的原函数，应当引起注意 评注 2 详解 1 中的 和详解 2 中的 1 均可由积分中值定理得到，请读者自己思考 积分中值定理：设 f(x)在a ，b 上连续，则至少存在一点 (a，b)，使 abf(x)dx f()(ba) 评注 3 证明介值问题，一般有两种情形： 1要证的结论与某函数在某一点的函数值 f()有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理； 2要证的结论与某函数在某一的导数值 f()(或更高阶导数值)有关，则应考虑用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式) 但是根

31、据( axf(t)dt)f(x)知，若要证的结论与导数无关，用连续函数的介值定理又解决不了时，也可考虑用上述变限的定积分所构造的辅助函数，通过微分中值定理进行证明这是一个例外的隐含情形，应当引起注意【知识模块】 一元函数积分学34 【正确答案】 详解 1(1)根据题设，有 (x1)f(x)(x1)f(x) 0xf(x)dt0，上式两边对 x 求导，得 (x1)f“(x)(x2)f(x)，即 。两边积分，得 lnf(x)xln(x1)lnC，即有 。在题设等式中令x0，得 f(0)f(0)0，又 f(0)1，于是 f(0)1，代入 f(x)的表达式，得C 1，故有 (2)当 x0 时，f(x)0

32、，即 f(x)单调减少，又 f(0)1，所以 f(x)f(0)1设 (x)f(x)e x ，则 (0)0，(x)f(x) e x。当 x0 时，(x)0，即 (x)单调增加，因而 (x)(0)0，即有 f(x)e x综上所述，当 x0 时，成立不等式 ex f(x)1 详解 2(1)解法同详解1(2)由于 f(x)f(0) 0xf(t)dt ，由于当 t0 时，于是由定积分的性质得，因此，当 x0 时，有 ex f(x)1【试题解析】 分析 含有变限的定积分问题，一般都是先求导，引出一微分方程本题若直接求导不能消去积分，因此应先乘以 x1，再求导(2)中不等式的证明需要利用(1)中的结果，引进

33、适当的辅助函数后，用单调性即可完成证明 评注 1将方程 化为(1x)f(x)(1x)f(x) 0xf(t)dt0 的目的是通过求导能消去变限积分 0xf(t)dt，应注意掌握这种技巧评注 2 如果已知 f(x)的表达式或具有某种性质，但不能通过不定积分求出f(x) 的表达式，则可通过变限积分建立 f(x)与 f(x)之间的联系，即有 f(x)f(a) axf(t)dx【知识模块】 一元函数积分学35 【正确答案】 详解 1(1)因为 f(x)在a，b 上连续，且 存在，故，又 f(x)0，于是 f(x)在(a，b)内单调增加，故 f(x)f(a)0，x (a，b) (2)设 F(x)x 2，g

34、(x) axf(t)dt(axb)，则 g(x)f(x)0，故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，于是在(a ，b) 内存在点 ，使(3)因f()f()f(0)f()(a) ，在a ， 上应用拉格朗日中值定理，知在(a，)内存在一点 ，使 f()f()(a) ，从而由(2)的结论得 ，即有 。详解 2(1)同详解 1 (2)设 F(x)x 2abf(t)dt(b 2a 2)ax1f(t)dt ，因 f(x)在a ，b上连续，在(a，b)内可导，所以 F(x)在a， b上连续，在(a，b)内可导，且 F(x)2x axf(x)dt(b 2a 2)f(x)， F(a)a 2abf(t)dt(

35、b 2a 2)aaf(t)dta 2abf(t)dt， F(b)b 2abf(t)dt(b 2a 2)abf(t)dta 2abf(t)dt，由罗尔定理知，在(a，b)内存在点 ，使 F()2 abf(t)dt(b 2a) 2f()0，即(3)由(1) ，(2)知， F() F(a)2( a) abf(t)dt(b 2a 2)f()，对 F(x)在a ，上应用拉格朗日中值定理，知至少存在一点 (a，) ，使f()f()(a)，从而【试题解析】 分析 (1)由 存在知，f(a) 0，利用单调性即可证明f(x)0(2)要证的结论显含 f(a)，f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值

36、定理的形式进行证明(3)注意利用(2) 的结论证明即可此题也可用罗尔定理证明评注 证明(3)，关键是用(2)的结论：可见对 f(T)在区间 a，上应用拉格朗日中值定理即可对于这类题目，应注意充分利用前面设的台阶，中值定理是高等数学的重点，而构造辅助函数又是解与中值定理有关的证明题的非常有用的方法之一，考生应逐步掌握这种方法，并在证明过程中注意推理的逻辑性和严密性【知识模块】 一元函数积分学36 【正确答案】 (1)当 0t1 时，0ln(1t)t，故ln tln(1t) nln tt n， 由积分性质得 01ln tln(1t) ndt01tnln tdt(n1，2，)(2) 01tnln tdt 01tn.ln tdt982*于是有 ，由夹逼定理得 。【试题解析】 分析x, t(1)比较被积函数的大小，对 (2)用分部积分法计算积分01tnln tdt，再用夹逼定理求极限 评注 若一题有多问，一定要充分利用前问提供的信息【知识模块】 一元函数积分学37 【正确答案】 【试题解析】 分析 本题是无界函数的反常积分，瑕点在积分域的内部，先去绝对值， 化为瑕点在积分域的边界积分，然后分段进行计算评注 1 被积函数中含有绝对值时，应先去绝对值，化为分段函数，然后根据积分可加性分段分别求积分评注 2 被积函数中含有时，一般都先配方，再积分【知识模块】 一元函数积分学