2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学文及答案解析.docx

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1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 陕 西 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 (共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 )1.设 集 合 M=x|x 0， x R， N=x|x2 1， x R， 则 M N=( )A.0， 1B.(0， 1)C.(0， 1D.0， 1)解 析 ： M=x|x 0， x R， N=x|x 2 1， x R=x|-1 x 1， x R， M N=0， 1).答 案 ： D.2.函 数 f(x)=cos(2x+ )的 最 小 正 周 期 是 ( )A.B.C.2D.4解 析 ： 根 据 复 合 三 角 函 数

2、的 周 期 公 式 得 ， 函 数 f(x)=cos(2x+ )的 最 小 正 周 期 是 ， 答 案 ： B.3.已 知 复 数 z=2-i， 则 z 的 值 为 ( )A.5B.C.3D.解 析 ： 由 z=2-i， 得 z =(2-i)(2+i)=4-i 2=5.答 案 ： A.4.根 据 如 图 框 图 ， 对 大 于 2 的 正 数 N， 输 出 的 数 列 的 通 项 公 式 是 ( ) A.an=2nB.an=2(n-1)C.an=2nD.an=2n-1解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： ai+1=2ai， a1=2， 数 列 为 公 比 为 2的 等 边 数 列 ， an=

3、2n.答 案 ： C.5.将 边 长 为 1 的 正 方 形 以 其 一 边 所 在 直 线 为 旋 转 轴 旋 转 一 周 ， 所 得 几 何 体 的 侧 面 积 是 ( )A.4B.3C.2D.解 析 ： 边 长 为 1的 正 方 形 ， 绕 其 一 边 所 在 直 线 旋 转 一 周 ， 得 到 的 几 何 体 为 圆 柱 ， 则 所 得 几 何 体 的 侧 面 积 为 ： 1 2 1=2 ，答 案 ： C.6.从 正 方 形 四 个 顶 点 及 其 中 心 这 5个 点 中 任 取 2个 点 ， 则 这 2 个 点 的 距 离 小 于 该 正 方 形 边 长的 概 率 为 ( )A.B

4、. C.D.解 析 ： 设 正 方 形 边 长 为 1， 则 从 正 方 形 四 个 顶 点 及 其 中 心 这 5个 点 中 任 取 2个 点 ， 共 有 10条 线 段 ， 4条 长 度 为 1， 4条 长 度 为 ， 两 条 长 度 为 ， 所 求 概 率 为 = .答 案 ： B.7.下 列 函 数 中 ， 满 足 “ f(x+y)=f(x)f(y)” 的 单 调 递 增 函 数 是 ( )A.f(x)=x 3B.f(x)=3xC.f(x)=xD.f(x)=( )x解 析 ： A.f(x)=x3， f(y)=y3， f(x+y)=(x+y)3， 不 满 足 f(x+y)=f(x)f(y

5、)， 故 A 错 ；B.f(x)=3 x， f(y)=3y， f(x+y)=3x+y， 满 足 f(x+y)=f(x)f(y)， 且 f(x)在 R上 是 单 调 增 函 数 ，故 B 正 确 ；C.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ， 不 满 足 f(x+y)=f(x)f(y)， 故 C 错 ；D.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ， 满 足 f(x+y)=f(x)f(y)， 但 f(x)在 R 上 是 单 调 减 函 数 ， 故 D 错 .答 案 ： B.8.原 命 题 为 “ 若 a n， n N+， 则 an为 递 减 数 列 ” ， 关 于 其 逆 命 题

6、 ， 否 命 题 ， 逆 否命 题 真 假 性 的 判 断 依 次 如 下 ， 正 确 的 是 ( )A.真 、 真 、 真B.假 、 假 、 真C.真 、 真 、 假D.假 、 假 、 假解 析 ： a nan+1 an， n N+， an为 递 减 数 列 ， 命 题 是 真 命 题 ；其 否 命 题 是 ： 若 an， n N+， 则 an不 是 递 减 数 列 ， 是 真 命 题 ；又 命 题 与 其 逆 否 命 题 同 真 同 假 ， 命 题 的 否 命 题 与 逆 命 题 是 互 为 逆 否 命 题 ， 命 题 的 逆 命 题 ， 逆 否 命 题 都 是 真 命 题 .答 案 ：

7、A.9.某 公 司 10位 员 工 的 月 工 资 (单 位 ： 元 )为 x 1， x2， ， x10， 其 均 值 和 方 差 分 别 为 和 s2，若 从 下 月 起 每 位 员 工 的 月 工 资 增 加 100元 ， 则 这 10 位 员 工 下 月 工 资 的 均 值 和 方 差 分 别 为( ) A. ， s2+1002B. +100， s2+1002C. ， s2D. +100， s2解 析 ： 由 题 意 知 yi=xi+100，则 = (x1+x2+ +x10+100 10)= (x1+x2+ +x10)= +100，方 差s 2= (x1+100-( +100)2+(x2

8、+100-( +100)2+ +(x10+100-( +100)2= (x1- )2+(x2- )2+ +(x10- )2=s2，答 案 ： D.10.如 图 ， 修 建 一 条 公 路 需 要 一 段 环 湖 弯 曲 路 段 与 两 条 直 道 平 滑 连 接 (相 切 )， 已 知 环 湖 弯 曲路 段 为 某 三 次 函 数 图 象 的 一 部 分 ， 则 该 函 数 的 解 析 式 为 ( ) A.y= x3- x2-xB.y= x3+ x2-3xC.y= x3-xD.y= x3+ x2-2x解 析 ： 由 函 数 图 象 知 ， 此 三 次 函 数 在 (0， 0)上 处 与 直 线

9、 y=-x相 切 ， 在 (2， 0)点 处 与 y=3x-6相 切 ， 下 研 究 四 个 选 项 中 函 数 在 两 点 处 的 切 线 .A选 项 ， ， 将 0， 2 代 入 ， 解 得 此 时 切 线 的 斜 率 分 别 是 -1， 3， 符 合 题 意 ，故 A 对 ； B选 项 ， ， 将 0代 入 ， 此 时 导 数 为 -3， 不 为 -1， 故 B错 ；C选 项 ， ， 将 2代 入 ， 此 时 导 数 为 -1， 与 点 (2， 0)处 切 线 斜 率 为 3矛 盾 ， 故C错 ；D选 项 ， ， 将 0氏 入 ， 此 时 导 数 为 -2， 与 点 (0， 0)处 切

10、线 斜 率 为 -1矛 盾 ，故 D 错 .答 案 ： A 二 、 填 空 题 (共 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 )11.抛 物 线 y2=4x的 准 线 方 程 是 .解 析 ： 2p=4， p=2， 开 口 向 右 ， 准 线 方 程 是 x=-1.答 案 ： x=-1.12.已 知 4a=2， lgx=a， 则 x= .解 析 ： 由 4 a=2， 得 ， 再 由 lgx=a= ， 得 x= .故 答 案 为 ： .13.设 0 ， 向 量 =(sin2 ， cos )， =(1， -cos )， 若 =0， 则 tan = .解 析 ： =sin2 -cos2

11、=2sin cos -cos2 =0， 0 ， 2sin -cos =0， tan = .答 案 ： . 14.已 知 f(x)= ， x 0， 若 f1(x)=f(x)， fn+1(x)=f(fn(x)， n N+， 则 f2014(x)的 表 达 式为 .解 析 ： 由 题 意 . . ， 故 f2014(x)=答 案 ：选 考 题 (请 在 15-17三 题 中 任 选 一 题 作 答 ， 如 果 多 做 ， 则 按 所 做 的 第 一 题 评 分 )不 等 式 选 做题15.设 a， b， m， n R， 且 a 2+b2=5， ma+nb=5， 则 的 最 小 值 为 . 解 析 ：

12、 由 柯 西 不 等 式 得 ， (ma+nb)2 (m2+n2)(a2+b2)， a2+b2=5， ma+nb=5， (m2+n2) 5， 的 最 小 值 为 .答 案 ：几 何 证 明 选 做 题16.如 图 ， ABC中 ， BC=6， 以 BC为 直 径 的 半 圆 分 别 交 AB、 AC于 点 E、 F， 若 AC=2AE， 则 EF= . 解 析 ： 由 题 意 ， 以 BC 为 直 径 的 半 圆 分 别 交 AB、 AC于 点 E、 F， AEF= C， EAF= CAB， AEF ACB， ， BC=6， AC=2AE， EF=3.答 案 ： 3.坐 标 系 与 参 数 方

13、 程 选 做 题17.在 极 坐 标 系 中 ， 点 (2， )到 直 线 sin( - )=1的 距 离 是 .解 析 ： 根 据 极 坐 标 和 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 x= cos ， y= sin ，可 得 点 (2， )即 ( ， 1)； 直 线 sin( - )=1即 x- y=1， 即 x- y-2=0， 故 点 ( ， 1)到 直 线 x- y-2=0 的 距 离 为 =1，答 案 ： 1.三 、 解 答 题 (共 6 小 题 ， 共 75分 )18.(12分 ) ABC的 内 角 A、 B、 C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c.( )若 a， b， c

14、成 等 差 数 列 ， 证 明 ： sinA+sinC=2sin(A+C)；( )若 a， b， c成 等 比 数 列 ， 且 c=2a， 求 cosB的 值 .解 析 ： ( )由 a， b， c 成 等 差 数 列 ， 利 用 等 差 数 列 的 性 质 得 到 a+c=2b， 再 利 用 正 弦 定 理 及诱 导 公 式 变 形 即 可 得 证 ；( )由 a， b， c 成 等 比 数 列 ， 利 用 等 比 数 列 的 性 质 列 出 关 系 式 ， 将 c=2a 代 入 表 示 出 b， 利用 余 弦 定 理 表 示 出 cosB， 将 三 边 长 代 入 即 可 求 出 cosB

15、的 值 . 答 案 ： ( ) a， b， c 成 等 差 数 列 ， a+c=2b，由 正 弦 定 理 得 ： sinA+sinC=2sinB， sinB=sin -(A+C)=sin(A+C)， 则 sinA+sinC=2sin(A+C)；( ) a， b， c成 等 比 数 列 ， b2=ac， 将 c=2a代 入 得 ： b2=2a2， 即 b= a， 由 余 弦 定 理 得 ： cosB= = = .19.(12分 )四 面 体 ABCD及 其 三 视 图 如 图 所 示 ， 平 行 于 棱 AD， BC的 平 面 分 别 交 四 面 体 的 棱 AB、BD、 DC、 CA于 点 E

16、、 F、 G、 H. ( )求 四 面 体 ABCD 的 体 积 ；( )证 明 ： 四 边 形 EFGH 是 矩 形 .解 析 ： ( )证 明 AD 平 面 BDC， 即 可 求 四 面 体 ABCD 的 体 积 ；( )证 明 四 边 形 EFGH 是 平 行 四 边 形 ， EF HG， 即 可 证 明 四 边 形 EFGH 是 矩 形 .答 案 ： ( )由 题 意 ， BD DC， BD AD， AD DC， BD=DC=2， AD=1， AD 平 面 BDC， 四 面 体 ABCD的 体 积 V= = ；( ) BC 平 面 EFGH， 平 面 EFGH 平 面 BDC=FG，

17、平 面 EFGH 平 面 ABC=EH， BC FG， BC EH， FG FH.同 理 EF AD， HG AD， EF HG， 四 边 形 EFGH是 平 行 四 边 形 ， AD 平 面 BDC， AD BC， EF HG， 四 边 形 EFGH是 矩 形 .20.(12分 )在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 已 知 点 A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， 点 P(x， y)在 ABC 三 边 围 成 的 区 域 (含 边 界 )上 ， 且 =m +n (m， n R)( )若 m=n= ， 求 | |；( )用 x， y 表 示 m-n， 并 求 m-n的 最 大

18、 值 .解 析 ： ( )由 点 的 坐 标 求 出 向 量 和 的 坐 标 ， 结 合 m=n= ， 再 由 =m +n 求 得的 坐 标 ， 然 后 由 模 的 公 式 求 模 ；( )由 =m +n 得 到 ， 作 差 后 得 到 m-n=y-x， 令 y-x=t， 然 后 利 用 线 性 规 划知 识 求 得 m-n 的 最 大 值 .答 案 ： ( ) A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)， ， 又 m=n= ， . ；( ) ， ， 两 式 相 减 得 ， m-n=y-x.令 y-x=t， 由 图 可 知 ，当 直 线 y=x+t 过 点 B(2， 3)时 ， t 取

19、 得 最 大 值 1， 故 m-n的 最 大 值 为 1. 21.(12分 )某 保 险 公 司 利 用 简 单 随 机 抽 样 方 法 ， 对 投 保 车 辆 进 行 抽 样 ， 样 本 车 辆 中 每 辆 车 的赔 付 结 果 统 计 如 下 ：( )若 每 辆 车 的 投 保 金 额 均 为 2800元 ， 估 计 赔 付 金 额 大 于 投 保 金 额 的 概 率 ；( )在 样 本 车 辆 中 ， 车 主 是 新 司 机 的 占 10%， 在 赔 付 金 额 为 4000元 的 样 本 车 辆 中 ， 车 主 是新 司 机 的 占 20%， 估 计 在 已 投 保 车 辆 中 ， 新

20、 司 机 获 赔 金 额 为 4000元 的 概 率 .解 析 ： ( )设 A 表 示 事 件 “ 赔 付 金 额 为 3000元 ， ” B表 示 事 件 “ 赔 付 金 额 为 4000元 ” ， 以频 率 估 计 概 率 ， 求 得 P(A)， P(B)， 再 根 据 投 保 额 为 2800元 ， 赔 付 金 额 大 于 投 保 金 额 得 情 形是 3000元 和 4000元 ， 问 题 得 以 解 决 .( )设 C 表 示 事 件 “ 投 保 车 辆 中 新 司 机 获 赔 4000 元 ” ， 分 别 求 出 样 本 车 辆 中 车 主 为 新 司 机人 数 和 赔 付 金

21、额 为 4000元 的 车 辆 中 车 主 为 新 司 机 人 数 ， 再 求 出 其 频 率 ， 最 后 利 用 频 率 表 示 概 率 .答 案 ： ( )设 A 表 示 事 件 “ 赔 付 金 额 为 3000元 ， ” B表 示 事 件 “ 赔 付 金 额 为 4000元 ” ， 以频 率 估 计 概 率 得 P(A)= ， P(B)= ，由 于 投 保 额 为 2800 元 ， 赔 付 金 额 大 于 投 保 金 额 得 情 形 是 3000元 和 4000元 ， 所 以 其 概 率 为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.( )设 C 表 示 事 件 “ 投 保 车 辆

22、 中 新 司 机 获 赔 4000元 ” ， 由 已 知 ， 样 本 车 辆 中 车 主 为 新 司 机的 有 0.1 1000=100， 而 赔 付 金 额 为 4000元 的 车 辆 中 车 主 为 新 司 机 的 有 0.2 120=24，所 以 样 本 中 车 辆 中 新 司 机 车 主 获 赔 金 额 为 4000 元 的 频 率 为 ，由 频 率 估 计 概 率 得 P(C)=0.24. 22.(13分 )已 知 椭 圆 + =1(a b 0)经 过 点 (0， )， 离 心 率 为 ， 左 右 焦 点 分 别 为F1(-c， 0)， F2(c， 0). ( )求 椭 圆 的 方

23、程 ；( )若 直 线 l： y=- x+m 与 椭 圆 交 于 A、 B 两 点 ， 与 以 F1F2为 直 径 的 圆 交 于 C、 D两 点 ， 且 满足 = ， 求 直 线 l 的 方 程 .解 析 ： ( )由 题 意 可 得 ， 解 出 即 可 .( )由 题 意 可 得 以 F 1F2为 直 径 的 圆 的 方 程 为 x2+y2=1.利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 得 ： 圆 心 到直 线 l 的 距 离 d 及 d 1， 可 得 m的 取 值 范 围 .利 用 弦 长 公 式 可 得 |CD|=2 .设 A(x1，y1)， B(x2， y2).把 直 线 l的

24、 方 程 与 椭 圆 的 方 程 联 立 可 得 根 与 系 数 的 关 系 ， 进 而 得 到 弦 长|AB|= .由 = ， 即 可 解 得 m.答 案 ： ( )由 题 意 可 得 ， 解 得 ， c=1， a=2. 椭 圆 的 方 程 为 .( )由 题 意 可 得 以 F 1F2为 直 径 的 圆 的 方 程 为 x2+y2=1. 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 d= ，由 d 1， 可 得 .(*) |CD|=2 = = .设 A(x 1， y1)， B(x2， y2).联 立 ， 化 为 x2-mx+m2-3=0，可 得 x1+x2=m， . |AB|= = .由 = ， 得

25、 ， 解 得 满 足 (*). 因 此 直 线 l 的 方 程 为 .23.(14分 )设 函 数 f(x)=lnx+ ， m R.( )当 m=e(e 为 自 然 对 数 的 底 数 )时 ， 求 f(x)的 极 小 值 ；( )讨 论 函 数 g(x)=f (x)- 零 点 的 个 数 ；( )若 对 任 意 b a 0， 1 恒 成 立 ， 求 m 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )m=e时 ， f(x)=lnx+ ， 利 用 f (x)判 定 f(x)的 增 减 性 并 求 出 f(x)的 极 小 值 ；( )由 函 数 g(x)=f (x)- ， 令 g(x)=0， 求 出 m

26、； 设 (x)=m， 求 出 (x)的 值 域 ， 讨 论 m 的 取 值 ， 对 应 g(x)的 零 点 情 况 ；( )由 b a 0， 1 恒 成 立 ， 等 价 于 f(b)-b f(a)-a 恒 成 立 ； 即h(x)=f(x)-x在 (0， + )上 单 调 递 减 ； h (x) 0， 求 出 m 的 取 值 范 围 .答 案 ： ( )当 m=e时 ， f(x)=lnx+ ， f (x)= ； 当 x (0， e)时 ， f (x) 0， f(x)在 (0， e)上 是 减 函 数 ；当 x (e， + )时 ， f (x) 0， f(x)在 (e， + )上 是 增 函 数

27、； x=e时 ， f(x)取 得 极 小 值 f(e)=lne+ =2；( ) 函 数 g(x)=f (x)- = - - (x 0)， 令 g(x)=0， 得 m=- x3+x(x 0)；设 (x)=- x3+x(x 0)， (x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)；当 x (0， 1)时 ， (x) 0， (x)在 (0， 1)上 是 增 函 数 ，当 x (1， + )时 ， (x) 0， (x)在 (1， + )上 是 减 函 数 ； x=1是 (x)的 极 值 点 ， 且 是 极 大 值 点 ， x=1是 (x)的 最 大 值 点 ， (x)的 最 大 值 为 (1)= ；又 (0

28、)=0， 结 合 y= (x)的 图 象 ， 如 图 可 知 ： 当 m 时 ， 函 数 g(x)无 零 点 ； 当 m= 时 ， 函 数 g(x)有 且 只 有 一 个 零 点 ； 当 0 m 时 ， 函 数 g(x)有 两 个 零 点 ； 当 m 0 时 ， 函 数 g(x)有 且 只 有 一 个 零 点 ；综 上 ， 当 m 时 ， 函 数 g(x)无 零 点 ；当 m= 或 m 0 时 ， 函 数 g(x)有 且 只 有 一 个 零 点 ； 当 0 m 时 ， 函 数 g(x)有 两 个 零 点 ；( )对 任 意 b a 0， 1 恒 成 立 ，等 价 于 f(b)-b f(a)-a 恒 成 立 ；设 h(x)=f(x)-x=lnx+ -x(x 0)， h(x)在 (0， + )上 单 调 递 减 ； h (x)= - -1 0在 (0， + )上 恒 成 立 ， m -x 2+x=- + (x 0)， m ；对 于 m= ， h (x)=0 仅 在 x= 时 成 立 ； m 的 取 值 范 围 是 ， + ).