2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学文及答案解析.docx

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学文及答案解析.docx

2、的周期公式得，函数 f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是，答案： B.3.已知复数 z=2-i，则 z 的值为 ( )A.5B.C.3D.解析：由 z=2-i，得 z =(2-i)(2+i)=4-i 2=5.答案： A.4.根据如图框图，对大于 2 的正数 N，输出的数列的通项公式是 ( ) A.an=2nB.an=2(n-1)C.an=2nD.an=2n-1解析：由程序框图知： ai+1=2ai， a1=2，数列为公比为 2的等边数列， an=

3、2n.答案： C.5.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是 ( )A.4B.3C.2D.解析：边长为 1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为： 1 2 1=2 ，答案： C.6.从正方形四个顶点及其中心这 5个点中任取 2个点，则这 2 个点的距离小于该正方形边长的概率为 ( )A.B

4、. C.D.解析：设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5个点中任取 2个点，共有 10条线段， 4条长度为 1， 4条长度为，两条长度为，所求概率为 = .答案： B.7.下列函数中，满足 “ f(x+y)=f(x)f(y)” 的单调递增函数是 ( )A.f(x)=x 3B.f(x)=3xC.f(x)=xD.f(x)=( )x解析： A.f(x)=x3， f(y)=y3， f(x+y)=(x+y)3，不满足 f(x+y)=f(x)f(y

5、)，故 A 错；B.f(x)=3 x， f(y)=3y， f(x+y)=3x+y，满足 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(x)在 R上是单调增函数，故 B 正确；C.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ，不满足 f(x+y)=f(x)f(y)，故 C 错；D.f(x)= ， f(y)= ， f(x+y)= ，满足 f(x+y)=f(x)f(y)，但 f(x)在 R 上是单调减函数，故 D 错 .答案： B.8.原命题为 “ 若 a n， n N+，则 an为递减数列 ” ，关于其逆命题

6、，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是 ( )A.真、真、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假解析： a nan+1 an， n N+， an为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若 an， n N+，则 an不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，命题的逆命题，逆否命题都是真命题 .答案：

7、A.9.某公司 10位员工的月工资 (单位：元 )为 x 1， x2，， x10，其均值和方差分别为和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100元，则这 10 位员工下月工资的均值和方差分别为( ) A. ， s2+1002B. +100， s2+1002C. ， s2D. +100， s2解析：由题意知 yi=xi+100，则 = (x1+x2+ +x10+100 10)= (x1+x2+ +x10)= +100，方差s 2= (x1+100-( +100)2+(x2

8、+100-( +100)2+ +(x10+100-( +100)2= (x1- )2+(x2- )2+ +(x10- )2=s2，答案： D.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接 (相切 )，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为 ( ) A.y= x3- x2-xB.y= x3+ x2-3xC.y= x3-xD.y= x3+ x2-2x解析：由函数图象知，此三次函数在 (0， 0)上处与直线

9、 y=-x相切，在 (2， 0)点处与 y=3x-6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线 .A选项，，将 0， 2 代入，解得此时切线的斜率分别是 -1， 3，符合题意，故 A 对； B选项，，将 0代入，此时导数为 -3，不为 -1，故 B错；C选项，，将 2代入，此时导数为 -1，与点 (2， 0)处切线斜率为 3矛盾，故C错；D选项，，将 0氏入，此时导数为 -2，与点 (0， 0)处切

10、线斜率为 -1矛盾，故 D 错 .答案： A 二、填空题 (共 4 小题，每小题 5 分，共 25分 )11.抛物线 y2=4x的准线方程是 .解析： 2p=4， p=2，开口向右，准线方程是 x=-1.答案： x=-1.12.已知 4a=2， lgx=a，则 x= .解析：由 4 a=2，得，再由 lgx=a= ，得 x= .故答案为： .13.设 0 ，向量 =(sin2 ， cos )， =(1， -cos )，若 =0，则 tan = .解析： =sin2 -cos2

11、=2sin cos -cos2 =0， 0 ， 2sin -cos =0， tan = .答案： . 14.已知 f(x)= ， x 0，若 f1(x)=f(x)， fn+1(x)=f(fn(x)， n N+，则 f2014(x)的表达式为 .解析：由题意 . . ，故 f2014(x)=答案：选考题 (请在 15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分 )不等式选做题15.设 a， b， m， n R，且 a 2+b2=5， ma+nb=5，则的最小值为 . 解析：

12、由柯西不等式得， (ma+nb)2 (m2+n2)(a2+b2)， a2+b2=5， ma+nb=5， (m2+n2) 5，的最小值为 .答案：几何证明选做题16.如图， ABC中， BC=6，以 BC为直径的半圆分别交 AB、 AC于点 E、 F，若 AC=2AE，则 EF= . 解析：由题意，以 BC 为直径的半圆分别交 AB、 AC于点 E、 F， AEF= C， EAF= CAB， AEF ACB，， BC=6， AC=2AE， EF=3.答案： 3.坐标系与参数方

13、程选做题17.在极坐标系中，点 (2， )到直线 sin( - )=1的距离是 .解析：根据极坐标和直角坐标的互化公式 x= cos ， y= sin ，可得点 (2， )即 ( ， 1)；直线 sin( - )=1即 x- y=1，即 x- y-2=0，故点 ( ， 1)到直线 x- y-2=0 的距离为 =1，答案： 1.三、解答题 (共 6 小题，共 75分 )18.(12分 ) ABC的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c.( )若 a， b， c

14、成等差数列，证明： sinA+sinC=2sin(A+C)；( )若 a， b， c成等比数列，且 c=2a，求 cosB的值 .解析： ( )由 a， b， c 成等差数列，利用等差数列的性质得到 a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；( )由 a， b， c 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将 c=2a 代入表示出 b，利用余弦定理表示出 cosB，将三边长代入即可求出 cosB

15、的值 . 答案： ( ) a， b， c 成等差数列， a+c=2b，由正弦定理得： sinA+sinC=2sinB， sinB=sin -(A+C)=sin(A+C)，则 sinA+sinC=2sin(A+C)；( ) a， b， c成等比数列， b2=ac，将 c=2a代入得： b2=2a2，即 b= a，由余弦定理得： cosB= = = .19.(12分 )四面体 ABCD及其三视图如图所示，平行于棱 AD， BC的平面分别交四面体的棱 AB、BD、 DC、 CA于点 E

16、、 F、 G、 H. ( )求四面体 ABCD 的体积；( )证明：四边形 EFGH 是矩形 .解析： ( )证明 AD 平面 BDC，即可求四面体 ABCD 的体积；( )证明四边形 EFGH 是平行四边形， EF HG，即可证明四边形 EFGH 是矩形 .答案： ( )由题意， BD DC， BD AD， AD DC， BD=DC=2， AD=1， AD 平面 BDC，四面体 ABCD的体积 V= = ；( ) BC 平面 EFGH，平面 EFGH 平面 BDC=FG，

17、平面 EFGH 平面 ABC=EH， BC FG， BC EH， FG FH.同理 EF AD， HG AD， EF HG，四边形 EFGH是平行四边形， AD 平面 BDC， AD BC， EF HG，四边形 EFGH是矩形 .20.(12分 )在直角坐标系 xOy中，已知点 A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)，点 P(x， y)在 ABC 三边围成的区域 (含边界 )上，且 =m +n (m， n R)( )若 m=n= ，求 | |；( )用 x， y 表示 m-n，并求 m-n的最大

18、值 .解析： ( )由点的坐标求出向量和的坐标，结合 m=n= ，再由 =m +n 求得的坐标，然后由模的公式求模；( )由 =m +n 得到，作差后得到 m-n=y-x，令 y-x=t，然后利用线性规划知识求得 m-n 的最大值 .答案： ( ) A(1， 1)， B(2， 3)， C(3， 2)，，又 m=n= ， . ；( ) ，，两式相减得， m-n=y-x.令 y-x=t，由图可知，当直线 y=x+t 过点 B(2， 3)时， t 取

19、得最大值 1，故 m-n的最大值为 1. 21.(12分 )某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：( )若每辆车的投保金额均为 2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；( )在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4000元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新

20、司机获赔金额为 4000元的概率 .解析： ( )设 A 表示事件 “ 赔付金额为 3000元， ” B表示事件 “ 赔付金额为 4000元 ” ，以频率估计概率，求得 P(A)， P(B)，再根据投保额为 2800元，赔付金额大于投保金额得情形是 3000元和 4000元，问题得以解决 .( )设 C 表示事件 “ 投保车辆中新司机获赔 4000 元 ” ，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金

21、额为 4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率 .答案： ( )设 A 表示事件 “ 赔付金额为 3000元， ” B表示事件 “ 赔付金额为 4000元 ” ，以频率估计概率得 P(A)= ， P(B)= ，由于投保额为 2800 元，赔付金额大于投保金额得情形是 3000元和 4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.( )设 C 表示事件 “ 投保车辆

22、中新司机获赔 4000元 ” ，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.1 1000=100，而赔付金额为 4000元的车辆中车主为新司机的有 0.2 120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率为，由频率估计概率得 P(C)=0.24. 22.(13分 )已知椭圆 + =1(a b 0)经过点 (0， )，离心率为，左右焦点分别为F1(-c， 0)， F2(c， 0). ( )求椭圆的方

23、程；( )若直线 l： y=- x+m 与椭圆交于 A、 B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C、 D两点，且满足 = ，求直线 l 的方程 .解析： ( )由题意可得，解出即可 .( )由题意可得以 F 1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1.利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线 l 的距离 d 及 d 1，可得 m的取值范围 .利用弦长公式可得 |CD|=2 .设 A(x1，y1)， B(x2， y2).把直线 l的

24、方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|= .由 = ，即可解得 m.答案： ( )由题意可得，解得， c=1， a=2. 椭圆的方程为 .( )由题意可得以 F 1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1. 圆心到直线 l 的距离 d= ，由 d 1，可得 .(*) |CD|=2 = = .设 A(x 1， y1)， B(x2， y2).联立，化为 x2-mx+m2-3=0，可得 x1+x2=m， . |AB|= = .由 = ，得

25、，解得满足 (*). 因此直线 l 的方程为 .23.(14分 )设函数 f(x)=lnx+ ， m R.( )当 m=e(e 为自然对数的底数 )时，求 f(x)的极小值；( )讨论函数 g(x)=f (x)- 零点的个数；( )若对任意 b a 0， 1 恒成立，求 m 的取值范围 .解析： ( )m=e时， f(x)=lnx+ ，利用 f (x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极小值；( )由函数 g(x)=f (x)- ，令 g(x)=0，求出 m

26、；设 (x)=m，求出 (x)的值域，讨论 m 的取值，对应 g(x)的零点情况；( )由 b a 0， 1 恒成立，等价于 f(b)-b f(a)-a 恒成立；即h(x)=f(x)-x在 (0， + )上单调递减； h (x) 0，求出 m 的取值范围 .答案： ( )当 m=e时， f(x)=lnx+ ， f (x)= ；当 x (0， e)时， f (x) 0， f(x)在 (0， e)上是减函数；当 x (e， + )时， f (x) 0， f(x)在 (e， + )上是增函数

27、； x=e时， f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2；( ) 函数 g(x)=f (x)- = - - (x 0)，令 g(x)=0，得 m=- x3+x(x 0)；设 (x)=- x3+x(x 0)， (x)=-x2+1=-(x-1)(x+1)；当 x (0， 1)时， (x) 0， (x)在 (0， 1)上是增函数，当 x (1， + )时， (x) 0， (x)在 (1， + )上是减函数； x=1是 (x)的极值点，且是极大值点， x=1是 (x)的最大值点， (x)的最大值为 (1)= ；又 (0

28、)=0，结合 y= (x)的图象，如图可知：当 m 时，函数 g(x)无零点；当 m= 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0 m 时，函数 g(x)有两个零点；当 m 0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；综上，当 m 时，函数 g(x)无零点；当 m= 或 m 0 时，函数 g(x)有且只有一个零点；当 0 m 时，函数 g(x)有两个零点；( )对任意 b a 0， 1 恒成立，等价于 f(b)-b f(a)-a 恒成立；设 h(x)=f(x)-x=lnx+ -x(x 0)， h(x)在 (0， + )上单调递减； h (x)= - -1 0在 (0， + )上恒成立， m -x 2+x=- + (x 0)， m ；对于 m= ， h (x)=0 仅在 x= 时成立； m 的取值范围是， + ).

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