2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学试卷（理科）.pdf

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1、试卷类型：A 2011 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷） 数学（理科） 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原

2、来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。 4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积，h为柱体的高 线性回归方程$ $ybxa= +$中系数计算公式 其中 ,x y表示样本均值。 N是正整数，则 ( )nnab ab=12(nnaab+ +21nnab b + ） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分 ，满分 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

3、的。 1. 设复数 z 满足()12iz+=，其中 i为虚数单位，则 z = A 1 i+ B. 1 i C. 22i+ 22i 2已知集合 (),A xy= ,x y为实数，且221xy+ = ， ( ),B xy= ,x y为实数，且 yx= ，则 A B 的元素个数为 0 1 2 3 3. 若向量，满足且，则 (2)ca b +=4 3 2 0 4. 设函数()f x 和( )gx分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 () ()f xgx+ 是偶函数 ( ) ( )f xgx 是奇函数 () ()f xgx+ 是偶函数 ( ) ( )f xgx 是奇函数 5. 在平面直角坐标系

4、 xOy上的区域 D由不等式组0222xyx y给定。若 (, )M xy为 D上的动点，点 A的坐标为 (2,1)，则 zOMON=uuuur uuurnull 的最大值为 A 42 B 32 C4 D3 6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A12B35C23D347. 如图13，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A. 63 B. 93 C. 12 3 D. 18 3 8.设S是整数集Z的非空子集，如果 ,ab S 有 ab

5、S ，则称S关于数的乘法是封闭的. 若 T,V 是 Z 的两个不相交的非空子集， ,TUZ=且 , ,abc T 有 ;, ,abc T x y z V 有xyz V ，则下列结论恒成立的是 A. ,TV中至少有一个关于乘法是封闭的 B. ,TV中至多有一个关于乘法是封闭的 C. ,TV中有且只有一个关于乘法是封闭的 D. ,TV中每一个关于乘法都是封闭的 16. 填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30分。 (一）必做题（9-13 题） 9. 不等式 130xx+的解集是 . 10. 72xxx的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答） 11. 等差数列na

6、 前9项的和等于前4项的和. 若141, 0kaaa= +=，则k=_. 12. 函数2() 3 1fx x x= +在x=_处取得极小值。 13. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师 用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_cm. （二）选做题（14 - 15 题， 考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选 做题）已知两面线参数方程分别为5cos(0 )sinxy =0,数列 na 满足a1=b，11(2)22nnnnbaanan=+.（1）求数列 na 的通项公式； （2）证明：对于一

7、切正整数n，111.2nnnba+ + 21.（本小题满分14分） 在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:214yx=.实数p，q满足240pq，x1，x2是方程20xpxq+=的两根，记 12(,) max ,p qxx = 。 （1）过点20001(, )( 0)4Ap p p 作 L 的切线教 y 轴于点 B. 证明：对线段 AB 上任一点Q(p，q)有0(,) ;2ppq = （2） 设M(a， b)是定点， 其中 a， b满足a2-4b0,a0. 过M(a， b)作L的两条切线12,ll，切点分别为2211 2 2(, ),(, )44Ep p Ep p ，12,ll与y轴分别交与

8、F,F。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b) X12PP (,)ab12p=;（3） 设D= (x,y)|yx-1,y14(x+1)2-54.当点(p,q)取遍D时， 求 (,)p q 的最小值 （记为min ）和最大值（记为max ）. 2011 年广东高考理科数学参考答案 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 B C D A C D B A 二、填空题 . 1, )+ ； 10. 84； 11. 10； 12. 2； 13. 185； 14. 25(1, )5； 15. 35 ； 三、解答题 16解： (1)55( ) 2sin( ) 2sin 241

9、264f =; (2)10(3 ) 2sin213f+= =，5sin13 = ，又 0, 2 ，12cos13 = ， 6(3 2 ) 2sin( ) 2cos25f += += =，3cos5 = ， 又 0, 2 ，4sin5 = ， 16cos( ) cos cos sin sin65 += =. 17解： （ 1）乙厂生产的产品总数为1453598 = ； （ 2）样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为235 145 = ； （ 3） 0,1, 2 = ， 22325()iiCCPiC= (0,1,2)i = ， 的分布列为 0 1 2 P 31035110均值314()

10、 1 25105E =+ = . 18.解： (1) 取 AD 的中点 G，又 PA=PD， PG AD ， 由题意知 ABC 是等边三角形， BGAD ， 又 PG, BG 是平面 PGB 的两条相交直线， ADPGB 平面 ， / , /EF PB DE GBQ ， DEF PGB平面 /平面 ， AD DEF 平面 (2) 由（ 1）知 PGB 为二面角 PADB的平面角， 在 RtPGA 中，222172()24PG =；在 RtBGA 中，22 2131()24BG = =； PABCDFG E 在 PGB 中，22221cos27PG BG PBPGBPG BG+= =. 19解：

11、 （ 1）两圆半径都为 2，设圆 C 的半径为 R，两圆心为1(5,0)F 、2(5,0)F ， 由题意得12|2|2RCF CF=+或21|2|2RCF CF= = +， 12 12| | | | 4 2 5 | |CF CF FF =uuuur uuur时，取， 由 2MFk = 知直线 :2(5)MFly x= ，联立2214xy = 并整理得215 32 5 9 0xx+=解得655x= 或14 5(15x= 舍去） ，此时65 25(,-)55P 所以 | | | |MPFP 最大值等于 2，此时35 45(, )55P 20解（）法一：112( 1)nnnabana n=+，得11

12、12( 1) 12 1nnn nanaba bba + =+， 设nnnba= ，则121nnbbbb= +(2)n ， （）当 2b= 时， nb 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222nbn n=+= ， 2na = （）当 2b 时，设12()nnbbb += +，则122(1)nnbbbb= +， 令21(1)bb =，得12 b =，112 1()22nnbbbb b +=+ (2)n ， 知12nbb+是等比数列，11112()()22nnbbbbb +=+，又11bb= ， 12 1 12()222nnnnnbbbb b b b =，(2 )2nnnnnb

13、bab = 法二： （）当 2b= 时， nb 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222nbn n=+= ， 2na = （）当 2b 时，1ab= ，2222222(2)2 2bbbab b=+ ，332233(2)24 2bbbabb b=+ +， 猜想(2)2nnnnnb bab=，下面用数学归纳法证明： 当 1n = 时，猜想显然成立； 假设当 nk= 时，(2)2kkkkkb bab=，则 1111(1) (1) (2) (1)(2)2( 1) (2)2( 2) 2kkkkkkkkkkkba kbkbb kbbaan kb b k b b+ + + = =+ +

14、， 所以当 1nk=+时，猜想成立， 由知， *nN ，(2)2nnnnnb bab= （） （）当 2b= 时， 112212nn na+= +，故 2b= 时，命题成立； （）当 2b 时，22 22 122 2nn nnnnbbb+ = ， 21 21 2 2 122 2 2nnnnnbb b b + = ， 11 11 22 1,2 22 2nn nn nnnnbb b b+ + + =LL ，以上 n 个式子相加得 2212nnbb+11 1122nn nnbb+ + +LL21 2 122 2nn nnbnb+ + ， 1 2 21 21 2112(2)( 2 2 ) 2(2)2

15、( 2) 2 ( 2)nn n n n n nnnnnn nnnnbb bb b b ba+ +=L221 2121( 2 2 2 )( 2) 2 ( 2)2( 2)nn n n nnnnnbb b b b bb+ =L21 21 1 11(2) 222( 2)nnnnnnnnnbbb+ +=21 1 1 211(2)(2)2( 2)nnn nn nnnnbb bb+ + +=1112nnb+= + 故当 2b 时，命题成立； 综上（） （）知命题成立 21解： （）00011| ( )|22AB xp xpky x p= =， 直线 AB 的方程为200011()42y ppxp= ，即20

16、01124y px p=， 2001124qppp =，方程20xpxq+=的判别式2204( )p qpp= = ， 两根001,2|22p pp px=或02pp ， 00ppQ ，00| | | | | |22p ppp = ，又00| |p p ， 000|222p ppp，得000| | | | | | | |222p pppp = ， 0(,)| |2ppq = （）由240ab知点 (, )M ab在抛物线 L 的下方， 当 0, 0ab时，作图可知，若 (,)M ab X ，则120pp，得12|p p ； 若12|p p ，显然有点 (,)M ab X ； (,)M ab X

17、 12|p p 当 0, 0ab ，且12|p p ； 若12|p p ，显然有点 (,)M ab X ； (,)M ab X 12|p p 根据曲线的对称性可知，当 0a ， 综上所述， (,)M ab X12|p p（*） ； 由（）知点 M 在直线 EF 上，方程20xaxb +=的两根11,22px = 或12pa ， 同理点 M 在直线 EF上，方程20xaxb +=的两根21,22px = 或22pa ， 若1(, ) | |2pab = ，则1|2p不比1|2pa 、2|2p、2|2pa 小， 12|p p ，又12|p p (,)M ab X， 1(, ) | |2pab =(

18、,)M ab X ；又由（）知， (,)M ab X1(, ) | |2pab=； 1(, ) | |2pab =(,)M ab X ，综合（*）式，得证 （）联立 1y x=，215(1)44yx=+得交点 (0, 1), (2,1) ，可知 02p ， 过点 (,)p q 作抛物线 L 的切线，设切点为2001(, )4x x ，则20001142xqxxp=， 得200240xpxq+=，解得204x ppq=+ ， 又215(1)44qp+，即2442p qp， 042x pp + ，设 42p t=，20122x tt + +215(1)22t=+， 0max max|2x =Q ，又052x ，max54 = ； 1qpQ ，2044 | 2|2xpp p pp + +=+ =， 0min min| 12x =