【考研类试卷】考研数学三-99及答案解析.doc
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1、考研数学三-99 及答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:24,分数:100.00)1.设 A是 n阶方阵,2,4,2n 是 A的 n个特征值,E 是 n阶单位阵计算行列式|A-3E|的值 (分数:3.00)_设矩阵 (分数:6.00)(1).已知 A的一个特征值为 3,试求 y;(分数:3.00)_(2).求矩阵 P,使(AP) T (AP)为对角矩阵(分数:3.00)_设 A为 3阶矩阵, 1 , 2 , 3 是 A的三个不同特征值,对应的特征向量为 1 , 2 , 3 ,令 = 1 + 2 + 3 (分数:6.00)(1).证明:,A,A 2 线性无关;
2、(分数:3.00)_(2).若 A 3 =A,求秩 r(A-E)及行列式|A+2E|(分数:3.00)_2.设 (分数:3.00)_3.证明:AB,其中 (分数:3.00)_4.设 A是 n阶矩阵,满足 A 2 =A,且 r(A)=r(0rn)证明: (分数:3.00)_5.设 A,B 均为 n阶矩阵,A 有 n个互不相同的特征值,且 AB=BA证明:B 相似于对角阵 (分数:3.00)_6.设 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,A= T ,求可逆阵 P,使 P -1 AP= (分数:3.00)_设 A=E+ T ,其中 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,=b 1 ,b 2 ,b n
3、T 0,且 T =2(分数:6.00)(1).求 A的特征值和特征向量;(分数:3.00)_(2).求可逆 P,使得 P -1 AP=(分数:3.00)_设向量 =a 1 ,a 2 ,a n T ,=b 1 ,b 2 ,b n T 都是非零向量,且满足条件 T =0,记 n阶矩阵 A= T ,求:(分数:9.00)(1).A 2 ;(分数:3.00)_(2).A的特征值和特征向量;(分数:3.00)_(3).A能否相似于对角阵,说明理由(分数:3.00)_设 a 0 ,a 1 ,a n-1 是 n个实数,方阵 (分数:6.00)(1).若 是 A的特征值,证明:=1, 2 , n-1 T 是
4、A的对应于特征值 的特征向量;(分数:3.00)_(2).若 A有 n个互异的特征值 1 , 2 , n ,求可逆阵 P,使 P -1 AP=(分数:3.00)_7.设 (分数:3.00)_8.设 A是三阶矩阵, 1 =1, 2 =2, 3 =3是 A的特征值,对应的特征向量分别是 1 =2,2,-1 T , 2 =-1,2,2 T , 3 =2,-1,2 T 又 =1,2,3 T 计算:(1)A n 1 ;(2)A n (分数:3.00)_已知二次型 (分数:6.00)(1).写出二次型 f的矩阵表达式;(分数:3.00)_(2).用正交变换把二次型 f化为标准形,并写出相应的正交矩阵(分数
5、:3.00)_9.已知 A是 mn矩阵,mn证明:AA T 是对称阵,并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m (分数:3.00)_10.设矩阵 (分数:3.00)_11.设 A为 m阶实对称矩阵且正定,B 为 mn实矩阵,B T 为 B的转置矩阵证明:B T AB为正定矩阵的充分必要条件是 B的秩 r(B)=n (分数:3.00)_12.设 A为 mn实矩阵,E 为 n阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A证明:当 0 时,矩阵 B为正定矩阵 (分数:3.00)_13.证明:实对称矩阵 A可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B,使得 AB+B T A正定 (分数:3.00)_14.设 A与
6、 B均为正交矩阵,并且|A|+|B|=0证明:A+B 不可逆 (分数:3.00)_15.已知 f(x,y)=x 2 +4xy+y 2 ,求正交变换 P, 使得 (分数:3.00)_16.已知三元二次型 X T AX经正交变换化为 ,又知矩阵 B满足矩阵方程 (分数:3.00)_17.设 A为 n阶正定矩阵证明:存在唯一正定矩阵 H,使得 A=H 2 (分数:8.00)_18.设方阵 A 1 与 B 1 合同,A 2 与 B 2 合同证明: (分数:5.00)_考研数学三-99 答案解析(总分:100.00,做题时间:90 分钟)一、解答题(总题数:24,分数:100.00)1.设 A是 n阶方
7、阵,2,4,2n 是 A的 n个特征值,E 是 n阶单位阵计算行列式|A-3E|的值 (分数:3.00)_正确答案:()解析:【解】若 为 A的特征值,则 -3 为 A-3E的特征值所以 A-3E的特征值为-1,2,3,2n-3,故|A-3E|=(-1)13(2n-3)=-(2n-3)!设矩阵 (分数:6.00)(1).已知 A的一个特征值为 3,试求 y;(分数:3.00)_正确答案:()解析:【解】(2).求矩阵 P,使(AP) T (AP)为对角矩阵(分数:3.00)_正确答案:()解析:【解】A 为对称矩阵,要使(AP) T (AP)=P T A 2 P为对角矩阵,即将实对称矩阵 A
8、2 对角化 由上小题得 A的特征值 1 =-1, 2,3 =1, 4 =3,故 A 2 的特征值 1,2,3 =1, 4 =9且 A 2 的属于特征值 1,2,3 =1的正交单位化的特征向量为 A 2 的属于特征值 4 =9的正交单位化的特征向量为 设 A为 3阶矩阵, 1 , 2 , 3 是 A的三个不同特征值,对应的特征向量为 1 , 2 , 3 ,令 = 1 + 2 + 3 (分数:6.00)(1).证明:,A,A 2 线性无关;(分数:3.00)_正确答案:()解析:【证】设 k 1 +k 2 A+k 3 A 2 =0, 由题设 A i = i i (i=1,2,3),于是 代入式整理
9、得 因为 1 , 2 , 3 是三个不同特征值对应的特征向量,必线性无关,于是有 其系数行列式 (2).若 A 3 =A,求秩 r(A-E)及行列式|A+2E|(分数:3.00)_正确答案:()解析:【解】由 A 2 =A 有 令 P=,A,A 2 ,则 P可逆,且 从而有 2.设 (分数:3.00)_正确答案:()解析:【解】 单位化 为正交矩阵 由 有 因此 3.证明:AB,其中 (分数:3.00)_正确答案:()解析:【证】由 A知,A 的全部特征值是 1,2,n,互不相同,故 A相似于由其特征值组成的对角阵B 由于 1 =1时,( 1 E-A)X=0,有特征向量 1 =1,0,0 T
10、; 2 =2时,( 2 E-A)X=0,有特征向量 2 =0,1,0 T ; n =n时,( n E-A)X=0,有特征向量 n =0,0,1 T 故有 A n =n n ,A n-1 =(n-1) n-1 ,A 1 = 1 即 故得可逆阵 4.设 A是 n阶矩阵,满足 A 2 =A,且 r(A)=r(0rn)证明: (分数:3.00)_正确答案:()解析:【证】方法一 A 2 =A,A 的特征值取值为 1,0,由 A-A 2 =A(E-A)=O知 r(A)+r(E-A)n, r(A)+r(E-A)r(A+E-A)=r(E)=n, 故 r(A)+r(E-A)=n,r(A)=r,从而 r(E-A
11、)=n-r 对 =1,(E-A)X=0,因 r(E-A)=n-r,故有 r个线性无关特征向量,设为 1 , 2 , r ; 对 =0,(0E-A)X=0,即 AX=0,因 r(A)=r,有 n-r个线性无关特征向量,设为 r+1 , r+2 , n 故存在可逆阵 P= 1 , 2 , n , 使得 方法二 r(A)=r,A 有 r个列向量线性无关,设为前 r列,将 A按列分块,有 A 2 =A 1 , 2 , n = 1 , 2 , n =A, 即 A i = i ,i=1,2,r,故 =1 至少是 r重根,又 r(A)=r,AX=0 有 n-r个线性无关解,设为 r+1 , r+2 , n
12、,即 A j =0,j=r+1,n故 =0 是 A的特征值, j ,j=r+1,n 是对应的特征向量 令 P= 1 , 2 , r , r+1 , n ,有 5.设 A,B 均为 n阶矩阵,A 有 n个互不相同的特征值,且 AB=BA证明:B 相似于对角阵 (分数:3.00)_正确答案:()解析:【证】A 有 n个互不相同的特征值,故存在可逆阵 P,使得 P -1 AP=diag( 1 , 2 , n )= 1 其中 i ,i=1,2,n 是 A的特征值,且 i j (ij) 又 AB=BA,故 P -1 APP -1 BP=P -1 BPP -1 AP,即 1 P -1 BP=P -1 BP
13、 1 设 P -1 BP=(c ij ) nn ,则 比较对应元素 i c ij = j c ij ,即( i - j )c ij =0, i j (ij),得 c ij =0于是 6.设 =a 1 ,a 2 ,a n T 0,A= T ,求可逆阵 P,使 P -1 AP= (分数:3.00)_正确答案:()解析:先求 A的特征值 方法一 利用特征值的定义 设 A的任一特征值为 ,对应于 的特征向量为 ,则 A= T = 若 T =0,则 =0,0,故 =0; 若 T 0,式两端左乘 T , T T =( T ) T =( T ) 因 T 0,故 方法二 利用 及特征值定义 式两端左乘 A,得
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