1、考研数学三-99 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：100.00)1.设 A是 n阶方阵，2，4，2n 是 A的 n个特征值，E 是 n阶单位阵计算行列式|A-3E|的值 （分数：3.00）_设矩阵 （分数：6.00）(1).已知 A的一个特征值为 3，试求 y；（分数：3.00）_(2).求矩阵 P，使(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：3.00）_设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 （分数：6.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；
2、（分数：3.00）_(2).若 A 3 =A，求秩 r(A-E)及行列式|A+2E|（分数：3.00）_2.设 （分数：3.00）_3.证明：AB，其中 （分数：3.00）_4.设 A是 n阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)证明： （分数：3.00）_5.设 A，B 均为 n阶矩阵，A 有 n个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵 （分数：3.00）_6.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P -1 AP= （分数：3.00）_设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n
3、T 0，且 T =2（分数：6.00）(1).求 A的特征值和特征向量；（分数：3.00）_(2).求可逆 P，使得 P -1 AP=（分数：3.00）_设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n阶矩阵 A= T ，求：（分数：9.00）(1).A 2 ；（分数：3.00）_(2).A的特征值和特征向量；（分数：3.00）_(3).A能否相似于对角阵，说明理由（分数：3.00）_设 a 0 ，a 1 ，a n-1 是 n个实数，方阵 （分数：6.00）(1).若 是 A的特征值，证明：=1， 2 ， n-1 T 是
4、A的对应于特征值 的特征向量；（分数：3.00）_(2).若 A有 n个互异的特征值 1 ， 2 ， n ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=（分数：3.00）_7.设 （分数：3.00）_8.设 A是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3是 A的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，-1 T ， 2 =-1，2，2 T ， 3 =2，-1，2 T 又 =1，2，3 T 计算：(1)A n 1 ；(2)A n （分数：3.00）_已知二次型 （分数：6.00）(1).写出二次型 f的矩阵表达式；（分数：3.00）_(2).用正交变换把二次型 f化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数
5、：3.00）_9.已知 A是 mn矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m （分数：3.00）_10.设矩阵 （分数：3.00）_11.设 A为 m阶实对称矩阵且正定，B 为 mn实矩阵，B T 为 B的转置矩阵证明：B T AB为正定矩阵的充分必要条件是 B的秩 r(B)=n （分数：3.00）_12.设 A为 mn实矩阵，E 为 n阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A证明：当 0 时，矩阵 B为正定矩阵 （分数：3.00）_13.证明：实对称矩阵 A可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A正定 （分数：3.00）_14.设 A与
6、 B均为正交矩阵，并且|A|+|B|=0证明：A+B 不可逆 （分数：3.00）_15.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P， 使得 （分数：3.00）_16.已知三元二次型 X T AX经正交变换化为 ，又知矩阵 B满足矩阵方程 （分数：3.00）_17.设 A为 n阶正定矩阵证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：8.00）_18.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同证明： （分数：5.00）_考研数学三-99 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：24，分数：100.00)1.设 A是 n阶方
7、阵，2，4，2n 是 A的 n个特征值，E 是 n阶单位阵计算行列式|A-3E|的值 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】若 为 A的特征值，则 -3 为 A-3E的特征值所以 A-3E的特征值为-1，2，3，2n-3，故|A-3E|=(-1)13(2n-3)=-(2n-3)!设矩阵 （分数：6.00）(1).已知 A的一个特征值为 3，试求 y；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】(2).求矩阵 P，使(AP) T (AP)为对角矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】A 为对称矩阵，要使(AP) T (AP)=P T A 2 P为对角矩阵，即将实对称矩阵 A
8、2 对角化 由上小题得 A的特征值 1 =-1， 2,3 =1， 4 =3，故 A 2 的特征值 1,2,3 =1， 4 =9且 A 2 的属于特征值 1,2,3 =1的正交单位化的特征向量为 A 2 的属于特征值 4 =9的正交单位化的特征向量为 设 A为 3阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 （分数：6.00）(1).证明：，A，A 2 线性无关；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】设 k 1 +k 2 A+k 3 A 2 =0， 由题设 A i = i i (i=1，2，3)，于是 代入式整理
9、得 因为 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 其系数行列式 (2).若 A 3 =A，求秩 r(A-E)及行列式|A+2E|（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】由 A 2 =A 有 令 P=，A，A 2 ，则 P可逆，且 从而有 2.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 单位化 为正交矩阵 由 有 因此 3.证明：AB，其中 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】由 A知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A相似于由其特征值组成的对角阵B 由于 1 =1时，( 1 E-A)X=0，有特征向量 1 =1，0，0 T
10、； 2 =2时，( 2 E-A)X=0，有特征向量 2 =0，1，0 T ； n =n时，( n E-A)X=0，有特征向量 n =0，0，1 T 故有 A n =n n ，A n-1 =(n-1) n-1 ，A 1 = 1 即 故得可逆阵 4.设 A是 n阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)证明： （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】方法一 A 2 =A，A 的特征值取值为 1，0，由 A-A 2 =A(E-A)=O知 r(A)+r(E-A)n， r(A)+r(E-A)r(A+E-A)=r(E)=n， 故 r(A)+r(E-A)=n，r(A)=r，从而 r(E-A
11、)=n-r 对 =1，(E-A)X=0，因 r(E-A)=n-r，故有 r个线性无关特征向量，设为 1 ， 2 ， r ； 对 =0，(0E-A)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n-r个线性无关特征向量，设为 r+1 ， r+2 ， n 故存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ， 使得 方法二 r(A)=r，A 有 r个列向量线性无关，设为前 r列，将 A按列分块，有 A 2 =A 1 ， 2 ， n = 1 ， 2 ， n =A， 即 A i = i ，i=1，2，r，故 =1 至少是 r重根，又 r(A)=r，AX=0 有 n-r个线性无关解，设为 r+1 ， r+2 ， n
12、，即 A j =0，j=r+1，n故 =0 是 A的特征值， j ，j=r+1，n 是对应的特征向量 令 P= 1 ， 2 ， r ， r+1 ， n ，有 5.设 A，B 均为 n阶矩阵，A 有 n个互不相同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】A 有 n个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P -1 AP=diag( 1 ， 2 ， n )= 1 其中 i ，i=1，2，n 是 A的特征值，且 i j (ij) 又 AB=BA，故 P -1 APP -1 BP=P -1 BPP -1 AP，即 1 P -1 BP=P -1 BP
13、 1 设 P -1 BP=(c ij ) nn ，则 比较对应元素 i c ij = j c ij ，即( i - j )c ij =0， i j (ij)，得 c ij =0于是 6.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P -1 AP= （分数：3.00）_正确答案：()解析：先求 A的特征值 方法一 利用特征值的定义 设 A的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= T = 若 T =0，则 =0，0，故 =0； 若 T 0，式两端左乘 T ， T T =( T ) T =( T ) 因 T 0，故 方法二 利用 及特征值定义 式两端左乘 A，得
14、 方法三 利用 A及特征方程|E-A|=0 因 两边取行列式 得 A的特征值 =0 或 方法四 直接用 A的特征方程 得 A的特征值为 (2)再求 A的对应于 的特征向量 方法一 当 =0 时， 即解方程 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0，得特征向量为(设 a 1 0) 1 =a 2 ，-a 1 ，0，0 T ， 2 =a 3 ，0，-a 1 ，0 T ， n-1 =a n ，0，0，-a 1 T 当 时， 由观察知 n =a 1 ，a 2 ，a n T 方法二 因为 A= T ，=0 时，(E-A)X=- T X=0，因为满足 T X=0的 X必满足 T X=0，故
15、=0 时，对应的特征方程是 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0对应 =0 的 n-1个特征向量为 1 =a 2 ，-a 1 ，0，0 T ， 2 =a 3 ，0，-a 1 ，0 T ， n-1 =a n ，0，0，-a 1 T 对特征矩阵 E-A= T E- T 右乘 ，得 (E-A)=( T E- T )=( T )-( T )=0， 故知 =a 1 ，a 2 ，a n T 即是所求 n (3)由 1 ， 2 ， n ，得可逆阵 P 且 设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2（分数：6.00）(
16、1).求 A的特征值和特征向量；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】设 (E+ T )= 左乘 T ， T (E+ T )=( T + T T )=(1+ T ) T = T 若 T 0，则 =1+ T =3；若 T =0，则由式，=1 =1 时， (2).求可逆 P，使得 P -1 AP=（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】取 设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n阶矩阵 A= T ，求：（分数：9.00）(1).A 2 ；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】由 A= T 和 T
17、=0，有 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T =( T ) T =( T ) T =O， 即 A是幂零阵(A 2 =O)(2).A的特征值和特征向量；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】方法一 利用(1)A 2 =O的结果设 A的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A，得 A 2 =A=A 2 因 A 2 =O，所以 2 =0，0，故 =0，即矩阵 A的全部特征值为 0 方法二 直接用特征值的定义 A= T =， 由式若 T =0，则 =0，0，得 =0 若 T 0，式两端左乘 T ，得 T T =( T ) T =0( T )= T ，得
18、=0， 故 A的全部特征值为 0 方法三 利用特征方程|E-A|=0 因右端行列式中每一列的第 2子列均成比例，故将行列式拆成 2 n 个行列式时，凡取两列或两列以上第 2子列的行列式均为零，不为零的行列式只有 n+1个，它们是 因 故|E-A|= n =0，故 =0 是 A的全部特征值 方程组 Ax=0的非零解即为 A的特征向量不妨设 a 1 0，b 1 0，有 则 A的对应于特征值 0的特征向量： (3).A能否相似于对角阵，说明理由（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A= T O，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?)从而对夜于特征
19、值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n-rn 个，故 A不能对角化设 a 0 ，a 1 ，a n-1 是 n个实数，方阵 （分数：6.00）(1).若 是 A的特征值，证明：=1， 2 ， n-1 T 是 A的对应于特征值 的特征向量；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 是 A的特征值，则 应满足|E-A|=0，即 将第 2列乘 ，第 3列乘 2 ，第 n列乘 n-1 加到第 1列，再按第 1列展开，得 即 即 应满足关系 (2).若 A有 n个互异的特征值 1 ， 2 ， n ，求可逆阵 P，使 P -1 AP=（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】因 1 ，
20、 2 ， n 互异，故特征向量 1 ， 2 ， n 线性无关，取可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ，得 其中 7.设 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于 对换|E-A|的 1，2 列和 1，2 行，得 8.设 A是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3是 A的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，-1 T ， 2 =-1，2，2 T ， 3 =2，-1，2 T 又 =1，2，3 T 计算：(1)A n 1 ；(2)A n （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】(1)因 A 1 = 1 1 ，故 故 (2)利用 A i
21、= i i 有 将 表成 1 ， 2 ， 3 的线性组合设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ， 即 解得 已知二次型 （分数：6.00）(1).写出二次型 f的矩阵表达式；（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】二次型的矩阵 (2).用正交变换把二次型 f化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】A 的特征多项式|A-E|=-(6+)(1-)(6-)，则 A的特征值 1 =-6， 2 =1， 3 =6 1 =-6对应的正交单位化特征向量 2 =1对应的正交单位化特征向量 3 =6对应的正交单位化特征向量 令正交矩阵 所求正交变换 二次型 f的
22、标准型 9.已知 A是 mn矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】由(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T ，所以 AA T 是对称阵 必要性 若 AA T 正定，r(AA T )=mr(A)，又 r(A mn )m，故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m，则齐次方程组 A T X=0只有零解，故对任意 X0，均有 A T X0，故 X T AA T X=(A T X) T (A T X)0， 即 AA T 正定10.设矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 A是实
23、对称阵，故存在正交阵 Q，使得 故 11.设 A为 m阶实对称矩阵且正定，B 为 mn实矩阵，B T 为 B的转置矩阵证明：B T AB为正定矩阵的充分必要条件是 B的秩 r(B)=n （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】显然 B T AB为对称矩阵 12.设 A为 mn实矩阵，E 为 n阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A证明：当 0 时，矩阵 B为正定矩阵 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】用定义证明显然 B为对称矩阵对 当 0 时有 13.证明：实对称矩阵 A可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A正定 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【
24、证】必要性 取 B=A -1 ，则 AB+B T A=E+(A -1 ) T A=2E，所以 AB+B T A是正定矩阵 充分性 用反证法若 A不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量 x 0 0 使得 Ax 0 =0因为 A是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有 14.设 A与 B均为正交矩阵，并且|A|+|B|=0证明：A+B 不可逆 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【证】由 AA T =E有|A| 2 =1，因此，正交矩阵的行列式为 1或-1由|A|+|B|=0 有|A|B|=-1，也有|A T |B T |=-1 再考虑到|A T (A+B)B T |=|A T +B T |=
25、|A+B|，所以-|A+B|=|A+B|，|A+B|=0故 A+B不可逆15.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P， 使得 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】 |E-A|=(-3)(+1)，|E-B|=(-3)(+1) 实对称矩阵 A与 B有相同的特征值，因此 A与 B合同 A的特征向量是 B的特征向量是 令 有 故 16.已知三元二次型 X T AX经正交变换化为 ，又知矩阵 B满足矩阵方程 （分数：3.00）_正确答案：()解析：【解】由条件知 A的特征值为 2，-1，-1，则|A|=2，因为 A * 的特征值为 ，所以 A * 的特征值为 1，-2，
26、-2，由已知， 是 A * 关于 =1 的特征向量，也就是 是 A关于 =2 的特征向量 由 得 则 B的特征值为-2，1，1，且 B=-2设 B关于 =1 的特征向量为 =x 1 ，x 2 ，x 3 T ，又 B是实对称阵， 与 正交，故 x 1 +x 2 -x 3 =0，解出 1 =1，-1，0 T ， 2 =1，0，1 T ，令 则 17.设 A为 n阶正定矩阵证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：8.00）_正确答案：()解析：【证】由于 A为 n阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得 这里，01 2 n 为 A的全部特征值 取 则 并且 H仍为正定矩阵 如果存在另一个正定矩阵 H 1 ，使得 对于 H 1 ，存在正交矩阵 U 1 ，使得 从而 这里 为 A的全部特征值故 于是 从而 由于 即 令 则 i p ij = j p ij (i，j=1，2，n)，当 i j 时，p ij =0，这时 当 i = j ，时，当然有 故 从而 18.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同证明： （分数：5.00）_正确答案：()解析：【证】因为 A 1 与 B 1 合同，所以存在可逆矩阵 C 1 ，使 因为 A 2 与 B 2 合同，所以存在可逆矩阵 C 2 ，使 令 则 C可逆，于是有 即
