【考研类试卷】考研数学三-274 (1)及答案解析.doc

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1、考研数学三-274 (1)及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=minsinx，cosx，则 f(x)在区间0，2内（分数：4.00）A.没有不可导的点B.只有 1 个不可导的点C.共有 2 个不可导的点D.共有 3 个不可导的点2.设 Y=y(x)是由方程 y 2 +xy+x 2 +x=0 所确定的满足 y(-1)=1 的隐函数，则 （分数：4.00）A.1B.2C.-2D.-13.设 0，f(x)在(-，)有连续的三阶导数，f“(0)=f“(0)=0 且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0

2、)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4.级数 （分数：4.00）A.(0，4)B.0，4)C.(0，2)D.0，2)5.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 ABAC=E，则下列等式中不正确的是 A.ATBTATCT=E B.BAC=CAB C.BA2C=E D.ACAB=CABA（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（分数：4.00）A.如果 4 不能用 1，2，3 线性表示，则 1，2，3 线性相关B.如果 1，2

3、，3 线性相关，2，3，4 线性相关，则 1，2，4 线性相关C.如果 3 不能用 1，2 线性表示，4 不能用 2，3 线性表示，则 1 能用 2，3，4 线性表示D.如果 r(1，1+2，2+3)=r(4，1+4，2+4，3+4)，则 4 能用 1，2，3线性表示7.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 和|S 2 分别为样本均值和样本方差，已知 ，则 a 的值为 A-1 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X 1 ，X 2 ，X 6 独立同分布且 X 1 N(0，4)， Y=a(X 1 +2X 2 ) 2 +

4、b(2X 3 +3X 4 ) 2 +c(3X 5 +4X 6 ) 2 x 2 (3)则 a，b，c 的值分别为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）10.设 f(x)为连续函数，且 f(0)=f(1)=1， （分数：4.00）11.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 1 （分数：4.00）12.设函数 f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且满足 f“(0)=1，则 （分数：4.

5、00）13.已知 ， （分数：4.00）14.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 b 为常数（分数：10.00）(1).求曲线 L： （分数：5.00）_(2).设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值（分数：5.00）_设 z=z(x，y)是由 9x 2 -54xy+90y 2 -6yz-z 2 +18=0 确定的函数（分数：11.00）(1).求 z=z(x，y)一阶偏导数与驻点；（分数：5.50）_(2).求 z=z(x，

6、y)的极值点和极值（分数：5.50）_15.计算 （分数：10.00）_16.设某企业生产一种产品，其成本 ，平均收益 ，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 （分数：10.00）_17.证明导函数的中间值定理(达布定理)：设函数 f(x)在区间a，b上可导( 注意：不要求导函数 f“(x)在区间a，b上连续 !)，则对于任何满足 minf“(a)，f“(b)maxf“(a)，f“(b)的常数 ，存在a，b使得 f“()= （分数：10.00）_18.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，齐次方程组 Ax=O 的通解为c(1，0，-3，2) T ，证

7、明 2 ， 3 ， 4 是 A*x=0 的基础解系 （分数：10.00）_19.已知 ， （分数：10.00）_设随机变量 X 与 Y 同分布， （分数：12.00）(1).已知事件 A=Xa和事件 B=Ya独立，且 （分数：6.00）_(2).， ，求 DY，DZ （分数：6.00）_进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为 5，4，8，3，4，7，3，1，2，3 求：（分数：11.00）(1).试验成功率 p 的矩估计值；（分数：5.50）_(2).试验失败率 q 的最大似然估计值（分数：5.50）_考研数学三

8、-274 (1)答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 f(x)=minsinx，cosx，则 f(x)在区间0，2内（分数：4.00）A.没有不可导的点B.只有 1 个不可导的点C.共有 2 个不可导的点 D.共有 3 个不可导的点解析：解析一 在0，2上，画出 y=sinx 与 y=cosx 的图形，立即可得 y=f(x)的图形由图形直接看出，两个交点为 y=f(x)图形的尖点，因而是不可导点，其他均为可导点应选 C 二 写出 f(x)的表达式 f(x)是一个分段函数，有两个分界点 和 又 f(x)在0，2上连续，在除分界点外其

9、余各点处均可导，但 f(x)在 的左导数 ，由于连续，它在 的右导数 ，即在 不可导，类似可得 f(x)在 2.设 Y=y(x)是由方程 y 2 +xy+x 2 +x=0 所确定的满足 y(-1)=1 的隐函数，则 （分数：4.00）A.1B.2C.-2D.-1 解析：解析 由 y(x)所满足的隐函数方程知函数 y=y(x)在 x=-1 的邻域内任意次可导，将隐函数方程求导一次与两次可得 y(x)的一、二阶导函数 y“(x)与 y“(x)分别满足 2yy“+xy“+y+2x+1=0， 2yy“+xy“+2(y“) 2 +2y“+2=0， 在以上二式中分别令 x=-1 并利用 y(-1)=1 可

10、知 y“(-1)=0，y“(-1)=-2再利用洛必达法则即可得到 3.设 0，f(x)在(-，)有连续的三阶导数，f“(0)=f“(0)=0 且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析 由 ，当 0|x| 0 时， ，即 f“(x)0 f“(x)在(- 0 ， 0 )单调上升 4.级数 （分数：4.00）A.(0，4) B.0，4)C.(0，2)D.0，2)解析：解析 因题设的幂级数是缺项幂级数，故可直接用比值判别法讨论其收

11、敛性 首先当 x-2=0 即 x=2 时级数收敛当 x2 时， ， 由此可知当 0|x-2|2 0x2 或 2x4 时级数绝对收敛 又当 x=0 和 x=4 时得正项级数 5.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 ABAC=E，则下列等式中不正确的是 A.ATBTATCT=E B.BAC=CAB C.BA2C=E D.ACAB=CABA（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然 A，B，C 都可逆，因此 BA 2 C=E=ABAC 6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是（分数：4.00）A.如果 4 不能用 1，2，3 线性表示，则 1，2，

12、3 线性相关B.如果 1，2，3 线性相关，2，3，4 线性相关，则 1，2，4 线性相关 C.如果 3 不能用 1，2 线性表示，4 不能用 2，3 线性表示，则 1 能用 2，3，4 线性表示D.如果 r(1，1+2，2+3)=r(4，1+4，2+4，3+4)，则 4 能用 1，2，3线性表示解析：解析 只要 2 ， 3 线性相关，就有 1 ， 2 ， 3 和 2 ， 3 ， 4 都线性相关，但推不出 1 ， 2 ， 4 线性相关例如 1 =(1，0，0)， 2 = 3 =(0，1，0)， 4 =(0，0，1) 说明 A，C的正确都可根据同一事实：如果 3 个 3 维向量线性无关，则任何

13、3 维向量都可以用它们线性表不 A是其逆否命题 C 2 是非零向量， 3 不能用 2 线性表示(因为 3 不能用 1 ， 2 线性表示)，则 2 ， 3 线性无关而 4 不能用 2 ， 3 线性表示， 2 ， 3 ， 4 线性无关 Dr( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )=r( 4 ， 1 ， 2 ， 3 )，因此 4 能用 1 ， 2 ， 3 线性表示7.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布，X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 和|S 2 分别为样本均值和样本方差，已

14、知 ，则 a 的值为 A-1 B1 C （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 依题意有 ， ，又由题设 ， 即 8.设 X 1 ，X 2 ，X 6 独立同分布且 X 1 N(0，4)， Y=a(X 1 +2X 2 ) 2 +b(2X 3 +3X 4 ) 2 +c(3X 5 +4X 6 ) 2 x 2 (3)则 a，b，c 的值分别为 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于独立正态随机变量的和仍服从正态分布，故有 X 1 +2X 2 N(0，20)，2X 3 +3X 4 N(0，52)，3X 5 +4X 6 N(0，100)， ， ， 根据 X 2 分布的

15、典型模式 所以应有 ， ， 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）解析： 解析一 ， ， 于是 二 其中用到了 从(*)式也可以 10.设 f(x)为连续函数，且 f(0)=f(1)=1， （分数：4.00）解析：2 解析 设 f(x)连续，(x)，(x)可导，则有一般的变限定积分的求导公式 于是 11.已知 y 1 =xe x +e 2x ，y 2 =xe x +e -x ，y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 1 （分数：4.00）解析：y“-y“-2y=(1-2x)e x 解析 y 1 -y 2 =e

16、2x -e -x ，y 1 y 3 =e -x 都是相应齐次方程的解 而(y 1 -y 2 )+(y 1 -y 3 )=e 2x 也是齐次方程的解，e 2x 与 e -x 是两个线性无关的解，而 y 2 =xe x +e -x 是非齐次方程的解，从而 y 2 -e -x =xe x 也是非齐次方程的解，由 e -x ，e 2x 是齐次方程的解，可知特征根 r 1 =-1，r 2 =2，特征方程为(r+1)(r-2)=0，即 r 2 -r-2=0设所求非齐次方程为 y“-y“-2y=f(x)将非齐次解 xe x 代入，得 f(x)=(xe x )“-(xe x )“-2xe x =(1-2x)e

17、 x 故所求方程为 y“-y“-2y=(1-2x)e x 12.设函数 f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且满足 f“(0)=1，则 （分数：4.00）解析： 解析 所求极限是“-”型未定式，可通分化为“ ”型未定式求极限 13.已知 ， （分数：4.00）解析： 解析 A 是矩阵方程 A 4 X=A 5 的解 求出 用初等变换法解此矩阵方程： 得 14.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件，且第 i 个零件是不合格品的概率 （分数：4.00）解析： 解析 以 A i 表示第 i 个零件合格，i=1，2，3，A i 相互独立，于是有 ， ， ，以 X 表示 3 个零件中

18、合格品的个数，则 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 b 为常数（分数：10.00）(1).求曲线 L： （分数：5.00）_正确答案：()解析：解 求 的斜渐近线由于 ， (2).设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值，求 b 及 A 的值（分数：5.00）_正确答案：()解析：面积 如果 2b+15+10，即如果 b-8，无论 b-8 还是 b-8，均有 ，从而与 A 为有限值矛盾当 b=-8 时有 ，故此时所求的面积 设 z=z(x，y)是由 9x 2 -54xy+90y 2 -6yz-z 2 +18=0 确定的函数（分数：11.00）(1).求

19、 z=z(x，y)一阶偏导数与驻点；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 利用一阶全微分形式不变性，将方程求全微分即得 18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy)-6ydz-2zdz=0， 即(18x-54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0 从而 ， 为求隐函数 z=z(x，y)的驻点，应解方程组 (2).求 z=z(x，y)的极值点和极值（分数：5.50）_正确答案：()解析：z=z(x，y)的极值点必是它的驻点为判定 z=z(x，y)在两个驻点处是否取得极值，还需求z=z(x，y)在这两点的二阶偏导数 注意，在驻点 P=(3，1，3)，

20、Q=(-3，-1，-3)处， 由 在驻点 P，Q 处 再由 ，于是可得出在 P 点处 ， 因 ，且 ，故在点(3，1)处 z=z(x，y)取得极小值 z(3，1)=3 在 Q 点处 ， ， ，因 ，且 15.计算 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解法一 D 的极坐标表示： 时，2cosr2； 时，0r2， 于是 解法二 D 是区域 D 1 与 D 2 的差集，它们的极坐标表示是 D 1 ： ，0r2；D 2 ： ，0r2cos 解析 这是 x 2 +y 2 在某区域 D 上的二重积分的累次积分从题设的累次积分知，积分区域 D ， ， 如图所示由被积函数和区域 D 可以看出，本题宜采用

21、极坐标而 和 的极坐标方程分别为r=2 恶化 r=2cos 16.设某企业生产一种产品，其成本 ，平均收益 ，当边际收益 MR=44，需求价格弹性 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 收益函数 ，当取得最大利润时，边际收益等于边际成本， 即 MR=MC 又 MR=R“=a-bQ，于是 44=C“(Q)=2Q 2 -32Q+100，即 Q 2 -16Q+28=0 解得 Q 1 =14， Q 2 =2 又 , , ， ，故当 Q=14 时， ，企业利润取极大值 由于 ，即 ，得 p=82 又 R(Q)=p，于是，当 Q=14 时，有 解得 a=120， 17.证明导函数的中间值定理(达布

22、定理)：设函数 f(x)在区间a，b上可导( 注意：不要求导函数 f“(x)在区间a，b上连续 !)，则对于任何满足 minf“(a)，f“(b)maxf“(a)，f“(b)的常数 ，存在a，b使得 f“()= （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 若 f“(a)=f“(b)，则取 =a 或 =b 即可若 f“(a)f“(b)，为了确定起见，无妨设 f“(a)f“(b)(对 f“(a)f“(b)的情形可类似证明)当 =f“(a)或 =f“(b)时相应取 =a 或 =b 即可从而只需证明 介于 f“(a)与 f“(b)之间的情形定理的结论也成立 引入辅助函数 F(x)=f(x)-(x-

23、a)，则 F“(a)=f“(a)-0，由导数的定义即得 ，从而存在x1(a，b)使得 ，于是 F(x 1 )F(a)，这表明 F(a)不是 F(x)在a，b上的最大值此外还有F“(b)=f“(b)-0，同样由导数定义得 ，从而存在 x 2 (x 1 ，b)使得 18.设 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵，A*为 A 的伴随矩阵，齐次方程组 Ax=O 的通解为c(1，0，-3，2) T ，证明 2 ， 3 ， 4 是 A*x=0 的基础解系 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 Ax=0 的通解为 c(1，0，-3，2) T 表明了： 4-rA=1，即 rA=3，于是

24、 r(A*)=1，A*x=0 的基础解系应该由 3 个线性无关的解构成 1 -3 3 +2 4 =0 rA=3，则|A|=0，得 A*A=0于是 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是 A*x=0 的解 因为 1 -3 3 +2 4 =0，所以 1 可以用 3 ， 4 线性表示于是 r( 2 ， 3 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=rA=3， 2 ， 3 ， 4 是 A*x=0 的 3 个线性无关的解，构成 A*x=0 的基础解系19.已知 ， （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 思路：关于两个矩阵相似的有关性质是： 相似的必要条件是特征值相同；如果它们都相似于对角矩阵，

25、则特征值相同是相似的充分 必要条件因此本题应该从计算特征值下手 ， A 的特征值为-1，-1，3 B 的特征值也是-1，-1，3 再看它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值-1 有没有两个线性无关的特征向量，也就是看r(A+E)和 r(B+E)是否为 1 r(A+E)=1，因此 A 有属于特征值-1 的两个线性无关的特征向量，A 相似于对角矩阵 设随机变量 X 与 Y 同分布， （分数：12.00）(1).已知事件 A=Xa和事件 B=Ya独立，且 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解 (1)由于 X，Y 同分布，且 A 与 B 独立故有 PA=PB，P(AB)=PAPB ， (

26、另一根不合题意舍去) (2).， ，求 DY，DZ （分数：6.00）_正确答案：()解析：根据随机变量函数的期公式，有 ， ， ， ， 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止，设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验，其各批试验次数分别为 5，4，8，3，4，7，3，1，2，3 求：（分数：11.00）(1).试验成功率 p 的矩估计值；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 试验成功率 p 的矩估计量 ，相应矩估计值为 (2).试验失败率 q 的最大似然估计值（分数：5.50）_正确答案：()解析：最大似然函数 L(x 1 ，x 10 ；p)，简记为 L，则 ， ， 解似然方程 ，可得 于是试验成功率 p 的最大似然估计值 ，根据最大似然估计的不变性，其试验失败率 q 的最大似然估计值为