1、考研数学三-274 (1)及答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)=minsinx,cosx,则 f(x)在区间0,2内(分数:4.00)A.没有不可导的点B.只有 1 个不可导的点C.共有 2 个不可导的点D.共有 3 个不可导的点2.设 Y=y(x)是由方程 y 2 +xy+x 2 +x=0 所确定的满足 y(-1)=1 的隐函数,则 (分数:4.00)A.1B.2C.-2D.-13.设 0,f(x)在(-,)有连续的三阶导数,f“(0)=f“(0)=0 且 (分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0
2、)是 f(x)的极小值C.(0,f(0)是 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是 y=f(x)的拐点4.级数 (分数:4.00)A.(0,4)B.0,4)C.(0,2)D.0,2)5.设 A,B,C 都是 n 阶矩阵,满足 ABAC=E,则下列等式中不正确的是 A.ATBTATCT=E B.BAC=CAB C.BA2C=E D.ACAB=CABA(分数:4.00)A.B.C.D.6.设 1 , 2 , 3 , 4 都是 3 维非零向量,则下列命题中错误的是(分数:4.00)A.如果 4 不能用 1,2,3 线性表示,则 1,2,3 线性相关B.如果 1,2
3、,3 线性相关,2,3,4 线性相关,则 1,2,4 线性相关C.如果 3 不能用 1,2 线性表示,4 不能用 2,3 线性表示,则 1 能用 2,3,4 线性表示D.如果 r(1,1+2,2+3)=r(4,1+4,2+4,3+4),则 4 能用 1,2,3线性表示7.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布,X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的简单随机样本, 和|S 2 分别为样本均值和样本方差,已知 ,则 a 的值为 A-1 B1 C (分数:4.00)A.B.C.D.8.设 X 1 ,X 2 ,X 6 独立同分布且 X 1 N(0,4), Y=a(X 1 +2X 2 ) 2 +
4、b(2X 3 +3X 4 ) 2 +c(3X 5 +4X 6 ) 2 x 2 (3)则 a,b,c 的值分别为 A B C D (分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)10.设 f(x)为连续函数,且 f(0)=f(1)=1, (分数:4.00)11.已知 y 1 =xe x +e 2x ,y 2 =xe x +e -x ,y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为 1 (分数:4.00)12.设函数 f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且满足 f“(0)=1,则 (分数:4.
5、00)13.已知 , (分数:4.00)14.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件,且第 i 个零件是不合格品的概率 (分数:4.00)三、解答题(总题数:9,分数:94.00)设 b 为常数(分数:10.00)(1).求曲线 L: (分数:5.00)_(2).设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值,求 b 及 A 的值(分数:5.00)_设 z=z(x,y)是由 9x 2 -54xy+90y 2 -6yz-z 2 +18=0 确定的函数(分数:11.00)(1).求 z=z(x,y)一阶偏导数与驻点;(分数:5.50)_(2).求 z=z(x,
6、y)的极值点和极值(分数:5.50)_15.计算 (分数:10.00)_16.设某企业生产一种产品,其成本 ,平均收益 ,当边际收益 MR=44,需求价格弹性 (分数:10.00)_17.证明导函数的中间值定理(达布定理):设函数 f(x)在区间a,b上可导( 注意:不要求导函数 f“(x)在区间a,b上连续 !),则对于任何满足 minf“(a),f“(b)maxf“(a),f“(b)的常数 ,存在a,b使得 f“()= (分数:10.00)_18.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵,A*为 A 的伴随矩阵,齐次方程组 Ax=O 的通解为c(1,0,-3,2) T ,证
7、明 2 , 3 , 4 是 A*x=0 的基础解系 (分数:10.00)_19.已知 , (分数:10.00)_设随机变量 X 与 Y 同分布, (分数:12.00)(1).已知事件 A=Xa和事件 B=Ya独立,且 (分数:6.00)_(2)., ,求 DY,DZ (分数:6.00)_进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止,设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验,其各批试验次数分别为 5,4,8,3,4,7,3,1,2,3 求:(分数:11.00)(1).试验成功率 p 的矩估计值;(分数:5.50)_(2).试验失败率 q 的最大似然估计值(分数:5.50)_考研数学三
8、-274 (1)答案解析(总分:150.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 f(x)=minsinx,cosx,则 f(x)在区间0,2内(分数:4.00)A.没有不可导的点B.只有 1 个不可导的点C.共有 2 个不可导的点 D.共有 3 个不可导的点解析:解析一 在0,2上,画出 y=sinx 与 y=cosx 的图形,立即可得 y=f(x)的图形由图形直接看出,两个交点为 y=f(x)图形的尖点,因而是不可导点,其他均为可导点应选 C 二 写出 f(x)的表达式 f(x)是一个分段函数,有两个分界点 和 又 f(x)在0,2上连续,在除分界点外其
9、余各点处均可导,但 f(x)在 的左导数 ,由于连续,它在 的右导数 ,即在 不可导,类似可得 f(x)在 2.设 Y=y(x)是由方程 y 2 +xy+x 2 +x=0 所确定的满足 y(-1)=1 的隐函数,则 (分数:4.00)A.1B.2C.-2D.-1 解析:解析 由 y(x)所满足的隐函数方程知函数 y=y(x)在 x=-1 的邻域内任意次可导,将隐函数方程求导一次与两次可得 y(x)的一、二阶导函数 y“(x)与 y“(x)分别满足 2yy“+xy“+y+2x+1=0, 2yy“+xy“+2(y“) 2 +2y“+2=0, 在以上二式中分别令 x=-1 并利用 y(-1)=1 可
10、知 y“(-1)=0,y“(-1)=-2再利用洛必达法则即可得到 3.设 0,f(x)在(-,)有连续的三阶导数,f“(0)=f“(0)=0 且 (分数:4.00)A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0,f(0)是 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点,(0,f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析:解析 由 ,当 0|x| 0 时, ,即 f“(x)0 f“(x)在(- 0 , 0 )单调上升 4.级数 (分数:4.00)A.(0,4) B.0,4)C.(0,2)D.0,2)解析:解析 因题设的幂级数是缺项幂级数,故可直接用比值判别法讨论其收
11、敛性 首先当 x-2=0 即 x=2 时级数收敛当 x2 时, , 由此可知当 0|x-2|2 0x2 或 2x4 时级数绝对收敛 又当 x=0 和 x=4 时得正项级数 5.设 A,B,C 都是 n 阶矩阵,满足 ABAC=E,则下列等式中不正确的是 A.ATBTATCT=E B.BAC=CAB C.BA2C=E D.ACAB=CABA(分数:4.00)A.B.C. D.解析:解析 显然 A,B,C 都可逆,因此 BA 2 C=E=ABAC 6.设 1 , 2 , 3 , 4 都是 3 维非零向量,则下列命题中错误的是(分数:4.00)A.如果 4 不能用 1,2,3 线性表示,则 1,2,
12、3 线性相关B.如果 1,2,3 线性相关,2,3,4 线性相关,则 1,2,4 线性相关 C.如果 3 不能用 1,2 线性表示,4 不能用 2,3 线性表示,则 1 能用 2,3,4 线性表示D.如果 r(1,1+2,2+3)=r(4,1+4,2+4,3+4),则 4 能用 1,2,3线性表示解析:解析 只要 2 , 3 线性相关,就有 1 , 2 , 3 和 2 , 3 , 4 都线性相关,但推不出 1 , 2 , 4 线性相关例如 1 =(1,0,0), 2 = 3 =(0,1,0), 4 =(0,0,1) 说明 A,C的正确都可根据同一事实:如果 3 个 3 维向量线性无关,则任何
13、3 维向量都可以用它们线性表不 A是其逆否命题 C 2 是非零向量, 3 不能用 2 线性表示(因为 3 不能用 1 , 2 线性表示),则 2 , 3 线性无关而 4 不能用 2 , 3 线性表示, 2 , 3 , 4 线性无关 Dr( 1 , 2 , 3 )=r( 1 , 1 + 2 , 2 + 3 )=r( 4 , 1 + 4 , 2 + 4 , 3 + 4 )=r( 4 , 1 , 2 , 3 ),因此 4 能用 1 , 2 , 3 线性表示7.设总体 X 服从参数 =2 的指数分布,X 1 ,X 2 ,X n 是来自总体 X 的简单随机样本, 和|S 2 分别为样本均值和样本方差,已
14、知 ,则 a 的值为 A-1 B1 C (分数:4.00)A. B.C.D.解析:解析 依题意有 , ,又由题设 , 即 8.设 X 1 ,X 2 ,X 6 独立同分布且 X 1 N(0,4), Y=a(X 1 +2X 2 ) 2 +b(2X 3 +3X 4 ) 2 +c(3X 5 +4X 6 ) 2 x 2 (3)则 a,b,c 的值分别为 A B C D (分数:4.00)A.B.C.D. 解析:解析 由于独立正态随机变量的和仍服从正态分布,故有 X 1 +2X 2 N(0,20),2X 3 +3X 4 N(0,52),3X 5 +4X 6 N(0,100), , , 根据 X 2 分布的
15、典型模式 所以应有 , , 二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9. (分数:4.00)解析: 解析一 , , 于是 二 其中用到了 从(*)式也可以 10.设 f(x)为连续函数,且 f(0)=f(1)=1, (分数:4.00)解析:2 解析 设 f(x)连续,(x),(x)可导,则有一般的变限定积分的求导公式 于是 11.已知 y 1 =xe x +e 2x ,y 2 =xe x +e -x ,y 3 =xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,则此微分方程为 1 (分数:4.00)解析:y“-y“-2y=(1-2x)e x 解析 y 1 -y 2 =e
16、2x -e -x ,y 1 y 3 =e -x 都是相应齐次方程的解 而(y 1 -y 2 )+(y 1 -y 3 )=e 2x 也是齐次方程的解,e 2x 与 e -x 是两个线性无关的解,而 y 2 =xe x +e -x 是非齐次方程的解,从而 y 2 -e -x =xe x 也是非齐次方程的解,由 e -x ,e 2x 是齐次方程的解,可知特征根 r 1 =-1,r 2 =2,特征方程为(r+1)(r-2)=0,即 r 2 -r-2=0设所求非齐次方程为 y“-y“-2y=f(x)将非齐次解 xe x 代入,得 f(x)=(xe x )“-(xe x )“-2xe x =(1-2x)e
17、 x 故所求方程为 y“-y“-2y=(1-2x)e x 12.设函数 f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且满足 f“(0)=1,则 (分数:4.00)解析: 解析 所求极限是“-”型未定式,可通分化为“ ”型未定式求极限 13.已知 , (分数:4.00)解析: 解析 A 是矩阵方程 A 4 X=A 5 的解 求出 用初等变换法解此矩阵方程: 得 14.一学徒工用同一台机床连续独立生产 3 个同种机器零件,且第 i 个零件是不合格品的概率 (分数:4.00)解析: 解析 以 A i 表示第 i 个零件合格,i=1,2,3,A i 相互独立,于是有 , , ,以 X 表示 3 个零件中
18、合格品的个数,则 三、解答题(总题数:9,分数:94.00)设 b 为常数(分数:10.00)(1).求曲线 L: (分数:5.00)_正确答案:()解析:解 求 的斜渐近线由于 , (2).设 L 与 l 从 x=1 延伸到 x+之间的图形的面积 A 为有限值,求 b 及 A 的值(分数:5.00)_正确答案:()解析:面积 如果 2b+15+10,即如果 b-8,无论 b-8 还是 b-8,均有 ,从而与 A 为有限值矛盾当 b=-8 时有 ,故此时所求的面积 设 z=z(x,y)是由 9x 2 -54xy+90y 2 -6yz-z 2 +18=0 确定的函数(分数:11.00)(1).求
19、 z=z(x,y)一阶偏导数与驻点;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 利用一阶全微分形式不变性,将方程求全微分即得 18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy)-6ydz-2zdz=0, 即(18x-54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0 从而 , 为求隐函数 z=z(x,y)的驻点,应解方程组 (2).求 z=z(x,y)的极值点和极值(分数:5.50)_正确答案:()解析:z=z(x,y)的极值点必是它的驻点为判定 z=z(x,y)在两个驻点处是否取得极值,还需求z=z(x,y)在这两点的二阶偏导数 注意,在驻点 P=(3,1,3),
20、Q=(-3,-1,-3)处, 由 在驻点 P,Q 处 再由 ,于是可得出在 P 点处 , 因 ,且 ,故在点(3,1)处 z=z(x,y)取得极小值 z(3,1)=3 在 Q 点处 , , ,因 ,且 15.计算 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解法一 D 的极坐标表示: 时,2cosr2; 时,0r2, 于是 解法二 D 是区域 D 1 与 D 2 的差集,它们的极坐标表示是 D 1 : ,0r2;D 2 : ,0r2cos 解析 这是 x 2 +y 2 在某区域 D 上的二重积分的累次积分从题设的累次积分知,积分区域 D , , 如图所示由被积函数和区域 D 可以看出,本题宜采用
21、极坐标而 和 的极坐标方程分别为r=2 恶化 r=2cos 16.设某企业生产一种产品,其成本 ,平均收益 ,当边际收益 MR=44,需求价格弹性 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 收益函数 ,当取得最大利润时,边际收益等于边际成本, 即 MR=MC 又 MR=R“=a-bQ,于是 44=C“(Q)=2Q 2 -32Q+100,即 Q 2 -16Q+28=0 解得 Q 1 =14, Q 2 =2 又 , , , ,故当 Q=14 时, ,企业利润取极大值 由于 ,即 ,得 p=82 又 R(Q)=p,于是,当 Q=14 时,有 解得 a=120, 17.证明导函数的中间值定理(达布
22、定理):设函数 f(x)在区间a,b上可导( 注意:不要求导函数 f“(x)在区间a,b上连续 !),则对于任何满足 minf“(a),f“(b)maxf“(a),f“(b)的常数 ,存在a,b使得 f“()= (分数:10.00)_正确答案:()解析:证明 若 f“(a)=f“(b),则取 =a 或 =b 即可若 f“(a)f“(b),为了确定起见,无妨设 f“(a)f“(b)(对 f“(a)f“(b)的情形可类似证明)当 =f“(a)或 =f“(b)时相应取 =a 或 =b 即可从而只需证明 介于 f“(a)与 f“(b)之间的情形定理的结论也成立 引入辅助函数 F(x)=f(x)-(x-
23、a),则 F“(a)=f“(a)-0,由导数的定义即得 ,从而存在x1(a,b)使得 ,于是 F(x 1 )F(a),这表明 F(a)不是 F(x)在a,b上的最大值此外还有F“(b)=f“(b)-0,同样由导数定义得 ,从而存在 x 2 (x 1 ,b)使得 18.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )是 4 阶矩阵,A*为 A 的伴随矩阵,齐次方程组 Ax=O 的通解为c(1,0,-3,2) T ,证明 2 , 3 , 4 是 A*x=0 的基础解系 (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 Ax=0 的通解为 c(1,0,-3,2) T 表明了: 4-rA=1,即 rA=3,于是
24、 r(A*)=1,A*x=0 的基础解系应该由 3 个线性无关的解构成 1 -3 3 +2 4 =0 rA=3,则|A|=0,得 A*A=0于是 1 , 2 , 3 , 4 都是 A*x=0 的解 因为 1 -3 3 +2 4 =0,所以 1 可以用 3 , 4 线性表示于是 r( 2 , 3 , 4 )=r( 1 , 2 , 3 , 4 )=rA=3, 2 , 3 , 4 是 A*x=0 的 3 个线性无关的解,构成 A*x=0 的基础解系19.已知 , (分数:10.00)_正确答案:()解析:解 思路:关于两个矩阵相似的有关性质是: 相似的必要条件是特征值相同;如果它们都相似于对角矩阵,
25、则特征值相同是相似的充分 必要条件因此本题应该从计算特征值下手 , A 的特征值为-1,-1,3 B 的特征值也是-1,-1,3 再看它们是否相似于对角矩阵只用看对于 2 重特征值-1 有没有两个线性无关的特征向量,也就是看r(A+E)和 r(B+E)是否为 1 r(A+E)=1,因此 A 有属于特征值-1 的两个线性无关的特征向量,A 相似于对角矩阵 设随机变量 X 与 Y 同分布, (分数:12.00)(1).已知事件 A=Xa和事件 B=Ya独立,且 (分数:6.00)_正确答案:()解析:解 (1)由于 X,Y 同分布,且 A 与 B 独立故有 PA=PB,P(AB)=PAPB , (
26、另一根不合题意舍去) (2)., ,求 DY,DZ (分数:6.00)_正确答案:()解析:根据随机变量函数的期公式,有 , , , , 进行独立重复试验直到试验取得首次成功为止,设每次试验的成功率都是 p(0p1)现进行 10 批试验,其各批试验次数分别为 5,4,8,3,4,7,3,1,2,3 求:(分数:11.00)(1).试验成功率 p 的矩估计值;(分数:5.50)_正确答案:()解析:解 试验成功率 p 的矩估计量 ,相应矩估计值为 (2).试验失败率 q 的最大似然估计值(分数:5.50)_正确答案:()解析:最大似然函数 L(x 1 ,x 10 ;p),简记为 L,则 , , 解似然方程 ,可得 于是试验成功率 p 的最大似然估计值 ,根据最大似然估计的不变性,其试验失败率 q 的最大似然估计值为