【考研类试卷】考研数学一(常微分方程)-试卷5及答案解析.doc
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1、考研数学一(常微分方程)-试卷 5 及答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.已知微分方程 y“+by“+y=0 的每个解都在区间(0,+)上有界,则实数 b 的取值范围是( )(分数:2.00)A.0,+)B.(一,0C.(一,4D.(一,+)3.具有特解 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(分数:2.00)A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0C.y“一 6y“+
2、11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=04.方程 x x y“+2xy“一 2y=0 的通解为( )(分数:2.00)A.y=C 1 e x +C 2 e 2x B.y=(C 1 +C 2 x)e x C.y=C 1 x+C 2 x 2 D.y= 5.设 y= 的表达式为( )。 (分数:2.00)A.B.C.D.6.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )(分数:2.00)A.xy 2 =4B.xy:4C.x 2 y=4D.一 xy=47.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解,则方程的通解为
3、( )(分数:2.00)A.y=Cy 1 (x)B.y=Cy 2 (x)C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)D.y=C 1 (y 1 (x)y 2 (x)8.设线性无关的函数 y 1 ,y 2 ,y 3 ,都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解,C 1 ,C 2 是任意常数,则该非齐次方程的通解是( )(分数:2.00)A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3 B.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3 C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3 D.C 1 y 1 +C 2 y 2
4、 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 二、填空题(总题数:11,分数:22.00)9.微分方程 y“一 2y“+2y=e x 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_10.二阶常系数非齐次线性方程 y“一 4y“+3y=2e 2x 的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_11.微分方程 (分数:2.00)填空项 1:_12.欧拉方程 (分数:2.00)填空项 1:_13.已知 y 1 =e 3x xe 2x ,y 2 =e x 一 xe 2x ,y 3 =一 xe 2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解,则该方程的通解为 y= 1(分数:2.00)填空项 1:_14.
5、设 y=e x (asinx+bcosx)(a,b 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为 1(分数:2.00)填空项 1:_15.方程(xy 2 +x)dx+(y 一 x 2 y)dy=0 的通解是 1(分数:2.00)填空项 1:_16.微分方程 xy“+3y“=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_17.微分方程 y“= (分数:2.00)填空项 1:_18.微分方程 y“=1+x+y 2 +xy 2 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_19.已知函数 y=y(x)由方程 e y +6xy+x 2 一 1=0 确定,则 y“(0)= 1。(分数:2
6、.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:6,分数:12.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_21.设 f(u,v)具有连续偏导数,且 f“ u (u,v)+f“ u (u,v)=sin(u+v)e,求 y(x)=e 2x f(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解(分数:2.00)_22.从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m,体积为 B,海水比重为 ,仪器所受的阻力与下沉速度成
7、正比,比例系数为 k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程,并求出函数关系式 y=y(v)(分数:2.00)_23.设函数 y(x)(x0)二阶可导,且 y“(x)0,y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ,区间0,x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ,并设 2S 1 一 S 2 恒为 1,求曲线 y=y(x)的方程(分数:2.00)_24.设函数 y=y(x)在(一,+)内具有二阶导数,且 y“0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数 (1)试将 x=x(y)所满足
8、的微分方程 =0 变换为 y=y(x)满足的微分方程; (2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0,y“(0)= (分数:2.00)_25.某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下 现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700kmh,经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 k=6010 6 ),问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,kmh 表示千米小时)(分数:2.00)_考研数学一(常微分方程)-试卷 5 答案解析(总分:50.00,做题时间:9
9、0 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.已知微分方程 y“+by“+y=0 的每个解都在区间(0,+)上有界,则实数 b 的取值范围是( )(分数:2.00)A.0,+) B.(一,0C.(一,4D.(一,+)解析:解析:方程 y“+by“+y=0 的特征方程为 r 2 +br+1=0,特征根为 3.具有特解 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e x 的三阶常系数齐次线性微分方程是( )(分数:2.00)A.y“一 y“一 y“+y=0B.y“+y“一 y“一 y=0
10、C.y“一 6y“+11y“一 6y=0D.y“一 2y“一 y“+2y=0解析:解析:由 y 1 =e x ,y 2 =2xe x ,y 3 =3e x 是所求方程的三个特解知,r=一 1,一 1,1 为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根,则其特征方程为(r 一 1)(r+1) 2 =0,即 r 3 +r 2 一 r一 1=0,对应的微分方程为 y“+y“一 y“一 y=0,故选 B4.方程 x x y“+2xy“一 2y=0 的通解为( )(分数:2.00)A.y=C 1 e x +C 2 e 2x B.y=(C 1 +C 2 x)e x C.y=C 1 x+C 2 x 2 D.
11、y= 解析:解析:这是一个欧拉方程,令 x=e t ,D= 原方程化为 D(D 一 1)y+2Dy 一 2y=0,即 一2y=0, 特征方程为 r 2 +r 一 2=0,特征根为 r 1 =一 2,r 2 =1,则通解 y=C 1 e 2t +C 2 e t ,即 y= 5.设 y= 的表达式为( )。 (分数:2.00)A. B.C.D.解析:解析:6.微分方程 xdy+2ydx=0 满足初始条件 y x=2 =1 的特解为( )(分数:2.00)A.xy 2 =4B.xy:4C.x 2 y=4 D.一 xy=4解析:解析:原微分方程分离变量得 7.已知 y 1 (x)和 y 2 (x)是方
12、程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解,则方程的通解为( )(分数:2.00)A.y=Cy 1 (x)B.y=Cy 2 (x)C.y=C 1 y 1 (x)+C 2 y 2 (x)D.y=C 1 (y 1 (x)y 2 (x) 解析:解析:由于 y 1 (x)和 y x (x)是方程 y“+p(x)y=0 的两个不同的特解,则 y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的一个非零解,则 y=C(y 1 (x)一 y 2 (x)为该方程的解8.设线性无关的函数 y 1 ,y 2 ,y 3 ,都是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y“+q(x)y=f(x)的解,C 1 ,C 2 是任意常数,则该
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