【考研类试卷】考研数学一-245及答案解析.doc

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1、考研数学一-245 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.X+YE(2)B.X-YE(2)C.minX，Y)E(2)D.maxX，YE(2)2.设 f(x)连续， （分数：4.00）A.B.C.D.3.设事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是( )（分数：4.00）A.AB 与 A+C 独立B.AB 与 AC 独立C.A 与 BC 独立D.A+B 与 A+C 独立4.设 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可

2、逆矩阵，|A|=a，|B|=b，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.函数 f(x)=x3-12x+q 的零点个数为( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.零点个数与 q 取值有关6.设 处连续，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 A 为 n 阶实对称矩阵，P 为 n 阶可逆矩阵，设 n 维向量 a 是 A 的属于特征值 的特征向量，则(P -1AP)T的属于特征值 的特征向量是( )（分数：4.00）A.P-1aB.PTaC.PaD.(P-1)Ta8.设正项级数 an。发散，令 Sn=a1+a2+an，则下列结论正确的是(

3、 )（分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_10.过点 A(3，2，1)且平行于 （分数：4.00）_11.设 f(x)二阶可导且满足 （分数：4.00）填空项 1:_12.y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 及 1， 2， 3为三维向量空间 R3的两组基，A=( 1， 2， 3)为可逆矩阵，且 1= （分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X m与 Y1，Y 2，Y n分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本，令（分数：4.00）填空项 1:_三、解

4、答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内二阶可导，且 （分数：9.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=0；（分数：4.50）_(2).存在 (0，1)，使得 f()=f()（分数：4.50）_设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2（分数：9.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得（分数：4.50）_(2).求 （分数：4.50）_15.求直线 （分数：11.00）_16.将函数 展开成 x-1 的幂级数，并求 （分数：10.00）_设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：11.0

5、0）(1).将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.50）_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：5.50）_（分数：10.00）(1).设 1， 2， n。为 n 个 n 维线性无关的向量，且 与 1， 2， n正交证明：=0；（分数：5.00）_(2).设 1， 2， n-1为 n-1 个 n 维线性无关的向量， 1， 2， n-1与非零向量 1， 2正交，证明： 1， 2线性相关（分数：5.00）_设二次型 f(x1，x 2，x 3)= 通过正交变换化为标准形 （分数：12.00）(1).求常数 a，b；（分数：4.00）_(2).求正交变换矩阵；（分数：4.00）_(3

6、).当|X|=1 时，求二次型的最大值（分数：4.00）_设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中（分数：11.01）(1).求(U，V)的联合分布；（分数：3.67）_(2).求 P(U=V)；（分数：3.67）_(3).判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数（分数：3.67）_17.设总体 XU0，其中 0，求目的极大似然估计量，判断其是否是 的元偏估计量（分数：11.00）_考研数学一-245 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 X，Y 相互独立，且都服从参数为 的指数分布，下列结论正确的是

7、( )（分数：4.00）A.X+YE(2)B.X-YE(2)C.minX，Y)E(2) D.maxX，YE(2)解析：详解 因为 XE(A)，YE()，所以*当 z0 时，F Z(z)=0；当 z0 时，F Z(z)=1-e-2z 于是*ZE(2)，选(C)2.设 f(x)连续， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为*，所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x-1| 时，有*即当 x(1-，1)时，f(x)0；当 x(1，1+)时，f(x)0根据极值的定义，f(1)为 f(x)的极小值，选(B)3.设事件 A，B，C 两两独立，则 A，B，C 相互独立的充分必要条件是( )（分

8、数：4.00）A.AB 与 A+C 独立B.AB 与 AC 独立C.A 与 BC 独立 D.A+B 与 A+C 独立解析：详解 由 A 与 BC 独立，得 P(ABC)=P(A)P(BC)，因为 A，B，C 两两独立，所以 P(BC)=P(B)P(C)，于是 P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)，即 A，B，C 相互独立，选(C)4.设 A 为 m 阶可逆矩阵，B 为 n 阶可逆矩阵，|A|=a，|B|=b，则 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 *选(D)5.函数 f(x)=x3-12x+q 的零点个数为( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个

9、C.3 个D.零点个数与 q 取值有关 解析：详解 令 f(x)=3x2-12=0，得驻点 x1=-2，x 2=2，f“(x)=6x，因为 f“(-2)=-120，f“(2)=120，所以 x1=-2 为极大值点，x 2=2 为极小值点，极大值和极小值分别为 f(-2)=16+q 及 f(2)=-16+q，且*当 f(2)=-16+q0，即 q16 时，f(x)=x 3-12x+q 只有一个零点；当 f(2)=-16+q=0，即 q=16 时，f(x)=x 3-12x+q 有两个零点，其中一个为 x=2；当 f(-2)=16+q0，f(2)=-16+q0，即|q|16 时，f(x)=x 3-1

10、2x+q 有三个零点；当 f(-2)=16+q=0，即 q=-16 时，f(x)=x 3-12x+q 有两个零点，其中一个为 x=-2；当 f(-2)=16+q0，即 q-16 时，f(x)=x 3-12x+q 只有一个零点，故选(D)6.设 处连续，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 *因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=1+ln3，于是*又因为所以 f(x)在 x=0 处可导，且*7.设 A 为 n 阶实对称矩阵，P 为 n 阶可逆矩阵，设 n 维向量 a 是 A 的属于特征值 的特征向量，则(P -1AP)T的属于特征值 的特征向量是(

11、 )（分数：4.00）A.P-1aB.PTa C.PaD.(P-1)Ta解析：详解 (P -1AP)T=PTAT(PT)-1=PTA(PT)-1，由 A=，得 PTA=P T，从而 pTA(PT)-1pT=P T或者(P -1AP)TPT=P T，于是(P -1AP)T的属于特征值 的特征向量为 PT，选(B)8.设正项级数 an。发散，令 Sn=a1+a2+an，则下列结论正确的是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 *二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *因为 f(x)在 x=0 处连续，所以*10

12、.过点 A(3，2，1)且平行于 （分数：4.00）_解析：详解 s 1=1，-2，111.设 f(x)二阶可导且满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *12.y=y(x)由 确定，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(e -2-e-1)）解析：详解当 t=0 时，x=0，*解得*13.设 及 1， 2， 3为三维向量空间 R3的两组基，A=( 1， 2， 3)为可逆矩阵，且 1= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 设从基 1， 2， 3到 1， 2， 3的过渡矩阵为 Q，则( 1， 2， 3)=( 1， 2， 3)Q1

13、4.设 X1，X 2，X m与 Y1，Y 2，Y n分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本，令（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：2(m+n-2)）解析：详解 *三、解答题(总题数：9，分数：94.00)设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内二阶可导，且 （分数：9.00）(1).存在 (0，1)，使得 f()=0；（分数：4.50）_正确答案：(由 f(x)C0，1，*得 f(0)=0，f(1)=0，f+(0)=1，f-(1)=2又由 f(0)=0，f+(0)=10*存在 x1(0，1)使 f(x1)0再由 f(1)=0，f-(1)=20*存在,x 2(0，

14、1)(x 1x 2)，使得 f(x2)0.由零点定理，存在 (x 1，x 2*(0，1)，使得 f()=0)解析：(2).存在 (0，1)，使得 f()=f()（分数：4.50）_正确答案：(令 (x)=e xf(x)，由 f(0)=f()=f(1)=0，得 (0)=()=(1)=0由罗尔定理，存在 1(0，)， 2(，1)，使得 ( 1)=( 2)=0又 (x)=e xf(x)+f(x)，则 f( 1)+f( 1)=0，f( 2)+f( 2)=0令 g(x)=e-xf(x)+f(x)，则 g( 1)=g( 2)=0，再由罗尔定理，存在 ( 1， 2)，使得 g()=0，而 g(x)=e-xf

15、“(x)f(x)，所以 f“()-f()=0，即 f“()=f()解析：设 f(x)在(-a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2（分数：9.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得（分数：4.50）_正确答案：(令*，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 001，使得 F(x)=F(x)-F(0)=F(x)x，即*)解析：(2).求 （分数：4.50）_正确答案：(*)解析：15.求直线 （分数：11.00）_正确答案：(*所求的几何体的体积为*其中 *于是*)解析：16.将函数 展开成 x-1 的幂级数，并求 （分数：10.00）_正确答案：(*两边

16、对 x 求导，得*)解析：设 y=y(x)二阶可导，且 y0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数（分数：11.00）(1).将 x=x(y)所满足的微分方程 （分数：5.50）_正确答案：(*)解析：(2).求变换后的微分方程满足初始条件 （分数：5.50）_正确答案：(特征方程为 r2-1=0，特征根为 r1，2 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为y*=acosx+bsinx代入方程得*于是方程的通解为*由初始条件得 C1=1，C 2=-1，满足初始条件的特解为*)解析：（分数：10.00）(1).设 1， 2， n。为 n 个 n 维线性无关的向量，且 与 1， 2， n正交证明：

17、=0；（分数：5.00）_正确答案：(令*因为 1， 2， n线性无关，所以 r(A)=n又因为 1， 2， n与 正交，所以 A=0，从而 r(A)+r()n，注意到 r(A)=n，于是 r()=0，即 为零向量)解析：(2).设 1， 2， n-1为 n-1 个 n 维线性无关的向量， 1， 2， n-1与非零向量 1， 2正交，证明： 1， 2线性相关（分数：5.00）_正确答案：(方法一：令*因为 1， 2， n-1线性无关，所以 r(A)=n-1又因为 1， 2， n-1与 1， 2正交，所以 AB=O，从而 r(A)+r(B)n，注意到 r(A)=n-1，所以 r(B)1，即 1，

18、 2线性相关方法二：令*因为 1， 2， n-1线性无关，所以 r(A)=n-1因为 1， 2， n-1与 1， 2正交，所以 1， 2为方程组 AX=0 的两个解，而方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2线性相关)解析：设二次型 f(x1，x 2，x 3)= 通过正交变换化为标准形 （分数：12.00）(1).求常数 a，b；（分数：4.00）_正确答案：(令*则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX因为二次型经过正交变换化为*所以矩阵 A 的特征值为 1= 2=2， 3=b由特征值的性质得*即*解得 a=-1，b=-1)解析：(2).求正交变换矩阵；（分数：4

19、.00）_正确答案：(当 1= 2=2 时，由(2E-A)X=0，得*当 3=-1 时，由(-E-A)X=0，得*)解析：(3).当|X|=1 时，求二次型的最大值（分数：4.00）_正确答案：(因为 Q 为正交矩阵，所以|X|=1 时，|Y|=1，当|Y|=1 时，二次型的最大值为 2)解析：设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布，其中（分数：11.01）(1).求(U，V)的联合分布；（分数：3.67）_正确答案：(U，V 的可能取值为 1，2，3，显然 P(UV)=0，*于是(U，V)的联合分布律为*)解析：(2).求 P(U=V)；（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：(3).判断 U，V 是否相互独立，若不相互独立，计算 U，V 的相关系数（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：17.设总体 XU0，其中 0，求目的极大似然估计量，判断其是否是 的元偏估计量（分数：11.00）_正确答案：(总体 X 的密度函数和分布函数分别为*设 x1，x 2，x n为总体 X 的样本观察值，似然函数为*当 0x 1(i=1，2，n)时，*且当 越小时 L()越大，所以 的最大似然估计值为*， 的最大似然估计量为*。因为*的分布函数为*)解析：