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    【考研类试卷】考研数学一-245及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学一-245及答案解析.doc

    1、考研数学一-245 及答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 X,Y 相互独立,且都服从参数为 的指数分布,下列结论正确的是( )(分数:4.00)A.X+YE(2)B.X-YE(2)C.minX,Y)E(2)D.maxX,YE(2)2.设 f(x)连续, (分数:4.00)A.B.C.D.3.设事件 A,B,C 两两独立,则 A,B,C 相互独立的充分必要条件是( )(分数:4.00)A.AB 与 A+C 独立B.AB 与 AC 独立C.A 与 BC 独立D.A+B 与 A+C 独立4.设 A 为 m 阶可逆矩阵,B 为 n 阶可

    2、逆矩阵,|A|=a,|B|=b,则 等于( )(分数:4.00)A.B.C.D.5.函数 f(x)=x3-12x+q 的零点个数为( )(分数:4.00)A.1 个B.2 个C.3 个D.零点个数与 q 取值有关6.设 处连续,则 f(x)在 x=0 处( )(分数:4.00)A.B.C.D.7.设 A 为 n 阶实对称矩阵,P 为 n 阶可逆矩阵,设 n 维向量 a 是 A 的属于特征值 的特征向量,则(P -1AP)T的属于特征值 的特征向量是( )(分数:4.00)A.P-1aB.PTaC.PaD.(P-1)Ta8.设正项级数 an。发散,令 Sn=a1+a2+an,则下列结论正确的是(

    3、 )(分数:4.00)A.B.C.D.二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4.00)填空项 1:_10.过点 A(3,2,1)且平行于 (分数:4.00)_11.设 f(x)二阶可导且满足 (分数:4.00)填空项 1:_12.y=y(x)由 确定,则 (分数:4.00)填空项 1:_13.设 及 1, 2, 3为三维向量空间 R3的两组基,A=( 1, 2, 3)为可逆矩阵,且 1= (分数:4.00)填空项 1:_14.设 X1,X 2,X m与 Y1,Y 2,Y n分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本,令(分数:4.00)填空项 1:_三、解

    4、答题(总题数:9,分数:94.00)设 f(x)在0,1上连续,(0,1)内二阶可导,且 (分数:9.00)(1).存在 (0,1),使得 f()=0;(分数:4.50)_(2).存在 (0,1),使得 f()=f()(分数:4.50)_设 f(x)在(-a,a)(a0)内连续,且 f(0)=2(分数:9.00)(1).证明:对 0xa,存在 01,使得(分数:4.50)_(2).求 (分数:4.50)_15.求直线 (分数:11.00)_16.将函数 展开成 x-1 的幂级数,并求 (分数:10.00)_设 y=y(x)二阶可导,且 y0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数(分数:11.0

    5、0)(1).将 x=x(y)所满足的微分方程 (分数:5.50)_(2).求变换后的微分方程满足初始条件 (分数:5.50)_(分数:10.00)(1).设 1, 2, n。为 n 个 n 维线性无关的向量,且 与 1, 2, n正交证明:=0;(分数:5.00)_(2).设 1, 2, n-1为 n-1 个 n 维线性无关的向量, 1, 2, n-1与非零向量 1, 2正交,证明: 1, 2线性相关(分数:5.00)_设二次型 f(x1,x 2,x 3)= 通过正交变换化为标准形 (分数:12.00)(1).求常数 a,b;(分数:4.00)_(2).求正交变换矩阵;(分数:4.00)_(3

    6、).当|X|=1 时,求二次型的最大值(分数:4.00)_设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布,其中(分数:11.01)(1).求(U,V)的联合分布;(分数:3.67)_(2).求 P(U=V);(分数:3.67)_(3).判断 U,V 是否相互独立,若不相互独立,计算 U,V 的相关系数(分数:3.67)_17.设总体 XU0,其中 0,求目的极大似然估计量,判断其是否是 的元偏估计量(分数:11.00)_考研数学一-245 答案解析(总分:150.01,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:32.00)1.设 X,Y 相互独立,且都服从参数为 的指数分布,下列结论正确的是

    7、( )(分数:4.00)A.X+YE(2)B.X-YE(2)C.minX,Y)E(2) D.maxX,YE(2)解析:详解 因为 XE(A),YE(),所以*当 z0 时,F Z(z)=0;当 z0 时,F Z(z)=1-e-2z 于是*ZE(2),选(C)2.设 f(x)连续, (分数:4.00)A.B. C.D.解析:详解 因为*,所以由极限的保号性,存在 0,当 0|x-1| 时,有*即当 x(1-,1)时,f(x)0;当 x(1,1+)时,f(x)0根据极值的定义,f(1)为 f(x)的极小值,选(B)3.设事件 A,B,C 两两独立,则 A,B,C 相互独立的充分必要条件是( )(分

    8、数:4.00)A.AB 与 A+C 独立B.AB 与 AC 独立C.A 与 BC 独立 D.A+B 与 A+C 独立解析:详解 由 A 与 BC 独立,得 P(ABC)=P(A)P(BC),因为 A,B,C 两两独立,所以 P(BC)=P(B)P(C),于是 P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C),即 A,B,C 相互独立,选(C)4.设 A 为 m 阶可逆矩阵,B 为 n 阶可逆矩阵,|A|=a,|B|=b,则 等于( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:详解 *选(D)5.函数 f(x)=x3-12x+q 的零点个数为( )(分数:4.00)A.1 个B.2 个

    9、C.3 个D.零点个数与 q 取值有关 解析:详解 令 f(x)=3x2-12=0,得驻点 x1=-2,x 2=2,f“(x)=6x,因为 f“(-2)=-120,f“(2)=120,所以 x1=-2 为极大值点,x 2=2 为极小值点,极大值和极小值分别为 f(-2)=16+q 及 f(2)=-16+q,且*当 f(2)=-16+q0,即 q16 时,f(x)=x 3-12x+q 只有一个零点;当 f(2)=-16+q=0,即 q=16 时,f(x)=x 3-12x+q 有两个零点,其中一个为 x=2;当 f(-2)=16+q0,f(2)=-16+q0,即|q|16 时,f(x)=x 3-1

    10、2x+q 有三个零点;当 f(-2)=16+q=0,即 q=-16 时,f(x)=x 3-12x+q 有两个零点,其中一个为 x=-2;当 f(-2)=16+q0,即 q-16 时,f(x)=x 3-12x+q 只有一个零点,故选(D)6.设 处连续,则 f(x)在 x=0 处( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:详解 *因为 f(x)在 x=0 处连续,所以 a=1+ln3,于是*又因为所以 f(x)在 x=0 处可导,且*7.设 A 为 n 阶实对称矩阵,P 为 n 阶可逆矩阵,设 n 维向量 a 是 A 的属于特征值 的特征向量,则(P -1AP)T的属于特征值 的特征向量是(

    11、 )(分数:4.00)A.P-1aB.PTa C.PaD.(P-1)Ta解析:详解 (P -1AP)T=PTAT(PT)-1=PTA(PT)-1,由 A=,得 PTA=P T,从而 pTA(PT)-1pT=P T或者(P -1AP)TPT=P T,于是(P -1AP)T的属于特征值 的特征向量为 PT,选(B)8.设正项级数 an。发散,令 Sn=a1+a2+an,则下列结论正确的是( )(分数:4.00)A.B.C.D. 解析:详解 *二、填空题(总题数:6,分数:24.00)9.设 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:详解 *因为 f(x)在 x=0 处连续,所以*10

    12、.过点 A(3,2,1)且平行于 (分数:4.00)_解析:详解 s 1=1,-2,111.设 f(x)二阶可导且满足 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:详解 *12.y=y(x)由 确定,则 (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2(e -2-e-1))解析:详解当 t=0 时,x=0,*解得*13.设 及 1, 2, 3为三维向量空间 R3的两组基,A=( 1, 2, 3)为可逆矩阵,且 1= (分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:*)解析:详解 设从基 1, 2, 3到 1, 2, 3的过渡矩阵为 Q,则( 1, 2, 3)=( 1, 2, 3)Q1

    13、4.设 X1,X 2,X m与 Y1,Y 2,Y n分别为来自相互独立的标准正态总体 X 与 Y 的简单随机样本,令(分数:4.00)填空项 1:_ (正确答案:2(m+n-2))解析:详解 *三、解答题(总题数:9,分数:94.00)设 f(x)在0,1上连续,(0,1)内二阶可导,且 (分数:9.00)(1).存在 (0,1),使得 f()=0;(分数:4.50)_正确答案:(由 f(x)C0,1,*得 f(0)=0,f(1)=0,f+(0)=1,f-(1)=2又由 f(0)=0,f+(0)=10*存在 x1(0,1)使 f(x1)0再由 f(1)=0,f-(1)=20*存在,x 2(0,

    14、1)(x 1x 2),使得 f(x2)0.由零点定理,存在 (x 1,x 2*(0,1),使得 f()=0)解析:(2).存在 (0,1),使得 f()=f()(分数:4.50)_正确答案:(令 (x)=e xf(x),由 f(0)=f()=f(1)=0,得 (0)=()=(1)=0由罗尔定理,存在 1(0,), 2(,1),使得 ( 1)=( 2)=0又 (x)=e xf(x)+f(x),则 f( 1)+f( 1)=0,f( 2)+f( 2)=0令 g(x)=e-xf(x)+f(x),则 g( 1)=g( 2)=0,再由罗尔定理,存在 ( 1, 2),使得 g()=0,而 g(x)=e-xf

    15、“(x)f(x),所以 f“()-f()=0,即 f“()=f()解析:设 f(x)在(-a,a)(a0)内连续,且 f(0)=2(分数:9.00)(1).证明:对 0xa,存在 01,使得(分数:4.50)_正确答案:(令*,显然 F(x)在0,x上可导,且 F(0)=0,由微分中值定理,存在 001,使得 F(x)=F(x)-F(0)=F(x)x,即*)解析:(2).求 (分数:4.50)_正确答案:(*)解析:15.求直线 (分数:11.00)_正确答案:(*所求的几何体的体积为*其中 *于是*)解析:16.将函数 展开成 x-1 的幂级数,并求 (分数:10.00)_正确答案:(*两边

    16、对 x 求导,得*)解析:设 y=y(x)二阶可导,且 y0,x=x(y)是 y=y(x)的反函数(分数:11.00)(1).将 x=x(y)所满足的微分方程 (分数:5.50)_正确答案:(*)解析:(2).求变换后的微分方程满足初始条件 (分数:5.50)_正确答案:(特征方程为 r2-1=0,特征根为 r1,2 =1,因为 i 不是特征值,所以设特解为y*=acosx+bsinx代入方程得*于是方程的通解为*由初始条件得 C1=1,C 2=-1,满足初始条件的特解为*)解析:(分数:10.00)(1).设 1, 2, n。为 n 个 n 维线性无关的向量,且 与 1, 2, n正交证明:

    17、=0;(分数:5.00)_正确答案:(令*因为 1, 2, n线性无关,所以 r(A)=n又因为 1, 2, n与 正交,所以 A=0,从而 r(A)+r()n,注意到 r(A)=n,于是 r()=0,即 为零向量)解析:(2).设 1, 2, n-1为 n-1 个 n 维线性无关的向量, 1, 2, n-1与非零向量 1, 2正交,证明: 1, 2线性相关(分数:5.00)_正确答案:(方法一:令*因为 1, 2, n-1线性无关,所以 r(A)=n-1又因为 1, 2, n-1与 1, 2正交,所以 AB=O,从而 r(A)+r(B)n,注意到 r(A)=n-1,所以 r(B)1,即 1,

    18、 2线性相关方法二:令*因为 1, 2, n-1线性无关,所以 r(A)=n-1因为 1, 2, n-1与 1, 2正交,所以 1, 2为方程组 AX=0 的两个解,而方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量,所以 1, 2线性相关)解析:设二次型 f(x1,x 2,x 3)= 通过正交变换化为标准形 (分数:12.00)(1).求常数 a,b;(分数:4.00)_正确答案:(令*则 f(x1,x 2,x 3)=XTAX因为二次型经过正交变换化为*所以矩阵 A 的特征值为 1= 2=2, 3=b由特征值的性质得*即*解得 a=-1,b=-1)解析:(2).求正交变换矩阵;(分数:4

    19、.00)_正确答案:(当 1= 2=2 时,由(2E-A)X=0,得*当 3=-1 时,由(-E-A)X=0,得*)解析:(3).当|X|=1 时,求二次型的最大值(分数:4.00)_正确答案:(因为 Q 为正交矩阵,所以|X|=1 时,|Y|=1,当|Y|=1 时,二次型的最大值为 2)解析:设随机变量 X 与 Y 相互独立同分布,其中(分数:11.01)(1).求(U,V)的联合分布;(分数:3.67)_正确答案:(U,V 的可能取值为 1,2,3,显然 P(UV)=0,*于是(U,V)的联合分布律为*)解析:(2).求 P(U=V);(分数:3.67)_正确答案:(*)解析:(3).判断 U,V 是否相互独立,若不相互独立,计算 U,V 的相关系数(分数:3.67)_正确答案:(*)解析:17.设总体 XU0,其中 0,求目的极大似然估计量,判断其是否是 的元偏估计量(分数:11.00)_正确答案:(总体 X 的密度函数和分布函数分别为*设 x1,x 2,x n为总体 X 的样本观察值,似然函数为*当 0x 1(i=1,2,n)时,*且当 越小时 L()越大,所以 的最大似然估计值为*, 的最大似然估计量为*。因为*的分布函数为*)解析:


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