（浙江专版）2020届高考数学一轮复习单元检测四导数及其应用单元检测（含解析）.docx

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1、1单元检测四 导数及其应用(时间：120 分钟 满分：150 分)第卷(选择题 共 40 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是( )A. 1 B (log 3x)(x1x2) 1x3 1xlg3C(3 x)3 xln3 D( x2sinx)2 xcosx答案 C解析 由求导法则可知 C 正确2已知函数 f(x)ln x x2f( a)，且 f(1)1，则实数 a 的值为( )A 或 1 B.12 12C1 D2答案 C解析 令 x1，则 f(1)ln1 f( a)1，可得 f( a)1.令

2、x a0，则 f( a) 2 af( a)，1a即 2a2 a10，解得 a1 或 a (舍去)123若函数 f(x) xex的图象的切线的倾斜角大于 ，则 x 的取值范围是( ) 2A(，0) B(，1)C(，1 D(，1)答案 B解析 f( x)e x xex( x1)e x，又切线的倾斜角大于 ， 2所以 f( x)0 时， f(x) ，ex3x所以 f( x) ，函数 f(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间 (1，)内单调递增，x 1ex3x2排除 D.5若函数 f(x)ln x ax22 在区间 内存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是( )(12， 2)A(，2 B.(18

3、， )C. D(2，)( 2， 18)答案 D解析 对 f(x)求导得 f( x) 2 ax ，1x 2ax2 1x由题意可得 2ax210 在 内有解，(12， 2)所以 a min.(12x2)因为 x ，(12， 2)所以 x2 ， ，(14， 4) ( 12x2) ( 2， 18)3所以 a2.6.已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) f(b)f(a)f(c)；函数 f(x)在 x c 处取得极小值，在 x e 处取得极大值；函数 f(x)在 x c 处取得极大值，在 x e 处取得极小值；函数 f(x)的最小值为 f(d

4、)ABCD答案 A解析 由导函数的图象可知函数 f(x)在区间(， c)，( e，)内， f( x)0，所以函数 f(x)在区间(， c)，( e，)内单调递增，在区间( c， e)内， f( x)f(a)，所以错；函数 f(x)在 x c 处取得极大值，在 x e 处取得极小值，故错，对；函数 f(x)没有最小值，故错7已知函数 f(x)( x2 mx m)ex2 m(mR)在 x0 处取得极小值，则 f(x)的极大值是( )A4e 2 B4e 2Ce 2 De 2答案 A解析 由题意知， f( x) x2(2 m)x2 mex，f(0)2 m0，解得 m0， f(x) x2ex， f( x

5、)( x22 x)ex.令 f( x)0，解得 x0，令 f( x)0 得 y2 ，x2ex 2x x2ex令 y20， x0，解得 x2， y2 在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，作出示意图如图，x2ex当 x2 时， y12ln2， y2 .4e22ln2 ， y1 xlnx 与 y2 的交点在(1,2)内，4e2 x2ex函数 f(x)的最大值为 .4e29已知 y f(x)为(0，)上的可导函数，且有 f( x) 0，则对于任意的 a， bfxx(0，)，当 ab 时，有( )A af(a)bf(b)C af(b)bf(a) D af(b)0，得 0，fxx xf x fx

6、x即 0，即 xf(x) x0.xfxx x0， xf(x)0，即函数 y xf(x)为增函数，由 a， b(0，)且 ab，得 af(a)bf(b)，故选 B.10(2018温州“十五校联合体”联考)已知函数 f(x)2 xe 2x(e 为自然对数的底数)，g(x) mx1( mR)，若对于任意的 x11,1，总存在 x01,1，使得 g(x0) f(x1)5成立，则实数 m 的取值范围为( )A(，1e 2e 21，)B1e 2，e 21C(，e 2 11e 2 ，)De 2 1,1e 2 答案 A解析 f( x)22e 2x， f(x)在区间1,0上为增函数，在区间0,1上为减函数， f

7、(1) f(1)(2e 2 )(2e 2)e 2e 2 40， f(1) f(1)，又 f(0)1，则函数 f(x)在区间1,1上的值域为A2e 2，1当 m0 时，函数 g(x)在区间1,1上的值域为B m1， m1依题意有 AB，则有Error! 得 me 21.当 m0 时，函数 g(x)在区间1,1上的值域为 B1，不符合题意当 m0 得 x ，1e所以函数 f(x) xlnx 在 上单调递减，在 上单调递增，(0，1e) (1e， )所以函数 f(x) xlnx 在 x 处取得最小值，最小值为 f ln .1e (1e) 1e 1e 1e13(2018宁波九校期末)函数 f(x) x

8、32 xe xe x是_函数(填“奇”或“偶”)，在 R 上的增减性为_(填“单调递增” 、 “单调递减”或“有增有减”)答案 奇 单调递增解析 函数 f(x) x32 xe xe x，它的定义域为 R，且满足 f( x) x32 xe xe x f(x)，故函数 f(x)为奇函数由于函数的导数 f( x)3 x22(e xe x)3 x2223 x20，故函数在 R 上单调递增14(2018诸暨检测)已知函数 f(x) x33 x，函数 f(x)的图象在 x0 处的切线方程是_；函数 f(x)在0,2内的值域是_答案 y3 x 2,2解析 f(x) x33 x， f( x)3 x23，又 f

9、(0)0， f(0)3，函数 f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y3 x.令 f( x)3 x230，得 x1，当 x 变化时， f(x)与 f( x)的变化情况如下表.x (，1) 1 (1,1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 2 极小值2 在0,1上， f(x)是减函数，其最小值为 f(1)2，最大值为 f(0)0；在1,2上， f(x)是增函数，其最小值为 f(1)2，最大值为 f(2)2.综上，在0,2上， f(x)的值域为2,2715已知函数 f(x)ln ， g(x)e x2 ，若 g(m) f(n)成立，则 n m 的最小值为x2 12_答案 ln2解析

10、令 f(n) g(m) k(k0)，则由 ln k，解得 n ，n2 12 2eke由 em2 k，解得 mln k2，则 n m ln k2，2eke令 h(k) ln k2，2eke则 h( k) ，2eke 1k由 h( k)0 得 k ，且当 k 时， h( k)0， h(k)单调递增，则 h(k)min h ln2，(12)即 n m 的最小值是 ln2.16设实数 0，若对任意的 x(0，)，不等式 ex 0 恒成立，则 的最小值lnx为_答案 1e解析 当 x(0,1时， 0，不等式 ex 0 显然成立， 可取任意正实数；lnx当 x(1，)时，e x 0 ex ln xx ex

11、 ln xelnx，lnx设函数 f(x) xex(x0)，而 f( x)( x1)e x0，则 f(x)在(0，)上单调递增，那么由 x ex ln xelnx可得 x ln x .lnxx令 g(x) (x1)，lnxx而 g( x) ，1 lnxx2易知函数 g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，8那么 g(x)max g(e) ，则有 .1e 1e综上分析可知， 的最小值为 .1e17对于定义在 R 上的函数 f(x)，若存在非零实数 x0，使函数 f(x)在(， x0)和(x0，)上均有零点，则称 x0为函数 f(x)的一个“折点” 现给出下列四个函数： f(x)3

12、|x1| 2； f(x)lg| x2019|； f(x) x1；x33 f(x) x22 mx1( mR)则存在“折点”的函数是_(填序号)答案 解析 因为 f(x)3 |x1| 22，所以函数 f(x)不存在零点，所以函数 f(x)不存在“折点” ；对于函数 f(x)lg| x2019|，取 x02019，则函数 f(x)在(，2019)上有零点 x2020，在(2019，)上有零点 x2018，所以 x02019 是函数 f(x)lg| x2019|的一个“折点” ；对于函数 f(x) x1，x33则 f( x) x21( x1)( x1)令 f( x)0，得 x1 或 x0，即 h(x)

13、在区间1，)内是增函数，于是 y f( x)在区间1，)内的最小值为 h(1)e1.(2)令 g(x) f(x)e m(x1)，则 g(x)0 对任意 x1，)恒成立，且发现 g(1)0， g( x) e x m.1x由(1)知当 me1 时， g( x)0，此时 g(x)单调递增，于是 g(x) g(1)0，成立；当 me1 时，则存在 t(1，)，使得 g( t)0，当 x(1， t)时， g( x)0，此时 g(x)min g(t)0.因为 g( x)6 x2 a，当 a0 时， g( x)0 恒成立，10所以 g(x)在区间(0，)内单调递增，无最小值，不合题意，所以 a0)，h( x

14、) 2 ax1 ，1x 2ax2 x 1x当 a0，所以 h( x) ，2ax2 x 1x 2ax x1x x2x其中 x1 ， x2 .1 1 8a4a 1 1 8a4a因为 a0，所以当 00；当 xx2时， h( x)g(x)，求 k 的最大值(参考数据：ln51.6094，ln61.7918，ln( 1)0.8814)2解 (1) f(x)5ln x， f(1)5，且 f( x) ，1x从而得到 f(1)1.函数 f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程为 y5 x1，即 y x4.设直线 y x4 与 g(x) (kR)的图象相切于点 P(x0， y0)，kxx 1从而可得 g

15、( x0)1， g(x0) x04，又 g( x) ，kx 12Error! 解得Error!或Error! k 的值为 1 或 9.(2)由题意知，当 x(1，)时，5ln x 恒成立，kx1 x等价于当 x(1，)时， k1)，x 15 lnxx则 h( x) (x1)，x 4 lnxx2记 p(x) x4ln x(x1)，则 p( x)1 0，1x x 1x p(x)在 x(1，)上单调递增又 p(5)1ln50，在 x(1，)上存在唯一的实数 m，且 m(5,6)，使得 p(m) m4ln m0，当 x(1， m)时， p(x)0，即 h( x)0，则 h(x)在 x( m，)上单调递

16、增，12当 x(1，)时， h(x)min h(m) ，m 15 lnmm由可得 lnm m4， h(m) m 2，m 1m 1m 1m而 m(5,6)， m 2 ，1m (365， 496)又当 m32 时， h(m)8，2p(32 )2 1ln(32 )0，2 2 2 m(5,32 )， h(m) .2 (365， 8)又 kN *， k 的最大值是 7.22(15 分)已知函数 f(x)ln x mex的图象在点(1， f(1)处的切线与直线 l： x(1e)y0 垂直，其中 e 为自然对数的底数(1)求实数 m 的值及函数 f(x)在区间1，)内的最大值(2)求证：函数 f(x)有且仅有一个极值点求证： f(x)0， h(1)1e0，故 f(x)单调递增；当 x( x0，)时， h(x)0，(12) e因此存在实数 x0 满足方程 f( x) e x0，(12， 1) 1x此时 f(x)在区间(0， x0)内为增函数，在区间( x0，)内为减函数，且 f( x0) 0，1x0 e由此得到 ， x0ln x0.1x0由单调性知 f(x)max f(x0)ln x0 e x0 ，1x0 (x0 1x0)又 x0 ，故 2，(12， 1) (x0 1x0)所以 f(x)max2.又 x22 x1( x1) 222，所以 f(x)x22 x1.14