高中数学第一章导数及其应用1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分学案苏教版选修2_2.doc

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1、11.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 定积分学习目标 重点难点1通过实例，会求曲边梯形的面积，从问题情境中了解定积分的实际背景2借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念.重点：1会求曲边梯形的面积；2定积分的几何意义和性质难点：求曲边梯形面积的方法与步骤，定积分的概念.1曲边梯形直线 x a， x b(a b)， y0 和曲线 y f(x)所围成的图形称为_梯形2定积分如果函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点 a x0 x1 xi1 xi xn b，将区间 a， b均分成 n 个小区间，每个小区间的长度为 x ，在每个小区间b anxi1 ， xi上任取一点 i(i1,

2、2， n)，作和式 ( i) x f( i)，如果ni 1fni 1b an当 x0(即 n)时，上述和式无限接近某个常数，那么这个常数叫做函数 f(x)在区间a， b上的_，记为 f(x)dx.这里 a 与 b 分别叫做积分_与积分_，区ba间 a， b叫做积分_，函数 f(x)叫做_， x 叫做_， f(x)dx 叫做_预习交流 1做一做：在求由 x a， x b(a b)， y f(x)f(x)0及 y0 围成的曲边梯形的面积 S 时，在区间 a， b上等间隔地插入 n1 个分点，分别过这些分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的是_(填序号) n 个小曲

3、边梯形的面积和等于 S； n 个小曲边梯形的面积和小于 S； n 个小曲边梯形的面积和大于 S； n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定3定积分的几何意义一般地，定积分的几何意义是，在区间 a， b上曲线与 x 轴所围图形面积的_(即 x 轴上方的面积_ x 轴下方的面积)预习交流 2做一做： dx _.10预习交流 3做一做：不用计算，根据图形，用不等号连接下列各式：(1) xdx_ x2dx；1010(2) xdx_ xdx；10212(3) dx_ 2dx.204 x220在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：预

4、习导引1曲边2定积分 下限 上限 区间 被积函数 积分变量 被积式预习交流 1：提示：3代数和 减去预习交流 2：提示：1预习交流 3：提示：(1) (2) (3)一、利用定积分的定义求曲边梯形的面积求由直线 x1， x2 和 y0 及曲线 y x3围成的图形的面积思路分析：利用求曲边梯形面积的步骤求解求由直线 x0， x1， y0 及曲线 y x22 x 所围成的图形的面积 S.1求曲边梯形的面积时要按照分割以直代曲作和逼近这四个步骤进行2近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替33作和时要用到一些常见的求和公式，例如：123 n ，1 22 2 n

5、2 等n(n 1)2 n(n 1)(2n 1)6二、汽车行驶路程的计算问题一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻 t 的速度为 v(t) t2(单位：km/h)，12试计算这辆汽车在 0 t2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程 s(单位：km)思路分析：由 v(t)及 t0， t2， v0 所围成的面积即为汽车行驶的路程，按照求曲边梯形面积的方法求解即可某物体做变速直线运动，设该物体在时刻 t 的速度为 v(t)7 t2，试计算这个物体在 0 t1 这段时间内运动的路程 s.把变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，采用方法仍然是分割、以直代曲、作和、逼近，求变速直线运动

6、的路程和曲边梯形的面积，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念三、定积分概念的理解及应用利用定积分的定义计算 (x2)d x.32思路分析：根据定积分的定义，按照 4 个步骤依次进行计算用定积分的定义证明： kdx k(b a)ba用定义法求定积分的四个步骤是：(1)分割；(2)以直代曲；(3)作和；(4)逼近其中分割通常都是对积分区间进行等分，以直代曲时通常取区间的左端点或右端点，作和时要注意一些求和公式的灵活运用四、定积分的几何意义用定积分的几何意义求下列各式的值：(1) 1(x2)d x；(2) 2dx；4 x2(3) sin xdx.思路分析：画出每个被积函数的图象，

7、根据定积分的几何意义进行计算求解1由定积分的几何意义可知 xdx_.212用定积分的几何意义计算 cos xdx_.201.定积分 f(x)dx 的几何意义是：介于 x a， x b 之间， x 轴上、下ba相应曲边平面图形面积的代数和，其中 x 轴上方部分面积为正， x 轴下方部分的面积为负2利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，另外，结合图形可以更直观形象地辅助作题41在计算由曲线 y x2以及直线 x1， x1， y0 所围成的图形面积时，若将区间1,1 n 等分，则每个小区间的长度为_2 _.ni 1in3 (n1)_.4n

8、 1n4已知 f(x)dx6，则 6f(x)dx_.baba5由定积分的几何意义可知 01dx_.1 x26利用定积分的定义求抛物线 y x21 与直线 x0， x1， y0 所围成的平面图形的面积 S.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：(1)分割如图，把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，用分点 ， ， 把n 1n n 2n n (n 1)n区间1,2等分成 n 个小区间： ， ， ，1，n 1n n 1n ， n 2n n i 1n ， n in ，每个小区间的长度为 x ，过各分

9、点作 x 轴的垂线，n (n 1)n ， 2 n in n i 1n 1n把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作 S1， S2， Sn.(2)以直代曲取各小区间的左端点 i，用 i3为一边长，以小区间长 x 为其邻边长的小矩形1n面积近似代替第 i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为 Si i3 x 3 (i1,2,3， n)(n i 1n ) 1n(3)作和5因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 的面积 S 的近似值，即 S Si 3 .ni 1ni 1(n i 1n ) 1n(4)逼近当

10、分点数目愈多，即 x 愈小时，和式的值就愈接近曲边梯形 ABCD 的面积 S.因此，n即 x0 时，和式的极限就是所求的曲边梯形 ABCD 的面积 3 (n i1) 3ni 1(n i 1n ) 1n 1n4ni 1 (n1) 33( n1) 2i3( n1) i2 i31n4ni 1 Error!Error!，1n4当 n时， S 3 1 1 .ni 1(n i 1n ) 1n 32 14 154迁移与应用：解：(1)分割在区间0,1上等间隔地插入 n1 个点，将它等分为 n 个小区间： ， ，0，1n1n， 2n， ，记第 i 个区间为 (i1,2 ， n)，其长度为 x 2n， 3n n

11、 1n ， 1 i 1n ， in in .i 1n 1n分别过上述 n1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作： S1， S2， Sn，则小曲边梯形面积的和为 S Si.ni 1(2)以直代曲记 f(x) x22 x，当 n 很大，即 x 很小时，在区间 上，可以认为 f(x)的值i 1n ， in变化很小，不妨用 f 来近似地作为 f(x)在该区间上的函数值从图形上看就是用平行于(in)x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间 上，用小矩形的面积i 1n ， in Si近似地代替 Si，则有 Si Si f x .(in) 1n(in

12、)2 2in(3)作和小曲边梯形的面积和 Sn Si Sini 1ni 16ni 11n(in)2 2in1n(12n2 22n2 n2n2) 2(1n 2n nn) (n 1)(2n 1)6n2 n 1n .16(1 1n)(2 1n) (1 1n)(4)逼近分别将区间0,1等分成 8,16,20，等份时， Sn越来越趋向于 S，从而有16(1 1n) S.而当 n 时， S .(21n) (1 1n) 43即由直线 x0， x1， y0 及曲线 y x22 x 所围成的图形的面积约等于 .43活动与探究 2：解：(1)分割：在区间0,2上等间隔地插入 n1 个分点，将区间分成n 个小区间：

13、 ， ， ， ，记第 i 个小区间为0，2n2n， 4n 2(n 1)n ， 2nn(i1，2， n)， t ，则汽车在时间段 ， ，2(i 1)n ， 2in 2n 0， 2n2n， 4n上行驶的路程分别记作 s1， s2， s3， sn，有 sn si.2(n 1)n ， 2nn n i 1(2)以直代曲：取 i (i1,2， n)2in si v t 2 t(2in) 12 (2in) i2(i1,2， n)12 4i2n2 2n 4n3(3)作和： sini 1ni 1(4n3i2) (122 23 2 n2)4n3 4n3 n(n 1)(2n 1)6 .23 (1 1n)(2 1n)

14、(4)逼近： n时，上式 ，43故这段时间内汽车行驶的路程 s 约为 km.43迁移与应用：解：将区间0,1等分成 n 个小区间： ， ， ， ，每0，1n1n， 2n i 1n ， in n 1n ， 1个小区间的长度为 t， t .1n取 i (i1,2， n)，则物体在每个时间段内运动的路程 si v( i) tin 1n， i1 ，2， n.(7i2n2)7sn sini 1 1n(7 1n2 7 22n2 7 n2n2)1n7n n(n 1)(2n 1)6n2 7 .16(1 1n)(2 1n)当 n时，7 .16(1 1n)(2 1n) 203所以这个物体在 0 t1 这段时间内运

15、动的路程约为 .203活动与探究 3：解：令 f(x) x2.分割：将区间2,3平均分为 n 等份， xi .1nxi1 ， xi (i1,2， n)2i 1n ， 2 in以直代曲：取 i xi2 (i1,2， n)，in则 f( i)2 24 .in in作和： ( i) xi ni 1fni 1(4 in) 1n n ni 1(4n in2) 4n 1 2 nn24 .n 12n逼近：当 n时，4 .n 12n 92故 (x2)d x .32 92迁移与应用：证明：令 f(x) k，用分点 a x0 x1 xi1 xi xn b 将区间 a， b等分成 n 个小区间xi1 ， xi(i1

16、,2， n)，在每个小区间上任取一点 i(i1,2， n)，作和式 ( i) x k(b a)ni 1fni 1k b an当 n时， kdx k(b a)bani 1k b an活动与探究 4：解：(1) (x2)d x 的几何意义是指由直线y x2， x1， x1， y0 所围成的图形的面积这里围成的是一个直角梯形，其面积为 S (13)24，故 1(x2)d x4.12(2)被积函数 y 表示的曲线是圆心在原点，半径为 2 的半圆，由定积分的几何4 x28意义知定积分计算的是半圆的面积，所以有 2dx 2.4 x2 222(3)函数 ysin x 在区间，上是一个奇函数，图象关于原点成中

17、心对称，由在x 轴上方和下方面积相等的两部分构成，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于 0，即 sinxdx0.迁移与应用：1 解析： xdx (12)1 .32 21 12 3220 解析：由函数 y=cosx， x0,2的图象的对称性(如图)知， 20cosxdx=0.当堂检测1 解析：每个小区间长度为 .2n 1 ( 1)n 2n2n 12340 解析： (n1)1223344540.4n 1n436 解析： 6f(x)dx6 f(x)dx6636.baba5 解析：定积分表示圆 x2 y21 面积的 ， 4 14即 01dx .1 x2 46解：(1)分割：在区间0,1上等间隔地插

18、入 n1 个点，将它等分成 n 个小区间：， ， .0，1n1n， 2n n 1n ， 1记第 i 个区间为 (i1,2， n)，其长度为 x .分别过上述i 1n ， in in i 1n 1nn1 个分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的面积记作： S1， S2， Sn.则 S Si.ni 1(2)以直代曲：记 f(x) x21.当 n 很大，即 x 很小时，在区间 上，可以认为 f(x)i 1n ， in x21 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点 处的函i 1n数值 f .就是用平行于 x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区

19、间(i 1n )9上，用小矩形的面积 Si近似地代替 Si，即在局部小范围内“以直代曲” ，i 1n ， in则有 Si Si f x 2 x x(i 1n ) (i 1n ) 2 (i1,2， n)(i 1n ) 1n 1n(3)作和：由，得 Sn Si xni 1ni 1f(i 1n ) 2 ni 1(i 1n ) 1n n i 11n 101n (1n)21n (n 1n )21n 122 2( n1) 211n3 1 1.1n3n(n 1)(2n 1)6 13(1 1n)(1 12n)从而得到 S 的近似值S Sn 1.13(1 1n)(1 12n)(4)逼近：分别将区间0,1等分成 8,16,20，等份时，可以看到随着 n 的不断增大，即 x 越来越小时， Sn 1 越来越趋近于 S，而当 n 趋向于 时，式无限趋近13(1 1n)(1 12n)于 ，即所求面积为 .43 43