版选修1_1.doc
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1、12.3.2 抛物线的简单几何性质预习课本 P6063,思考并完成以下问题 抛物线有哪些几何性质?新 知 初 探 抛物线的简单几何性质类型y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)图象焦点 F(p2, 0) F( p2, 0) F(0, p2) F(0, p2)准线 x p2 x p2 y p2 y p2范围 x0, yR x0, yR xR, y0 xR, y0对称轴x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率e1性质开口方向向右 向左 向上 向下点睛 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系a0 时,焦点在 x 轴正半轴上,开口向右y2 ax一次项为 x 项
2、, x 轴为对称轴 a0 时,焦点在 y 轴正半轴上,开口向2上轴 a0)有一条对称轴为 y 轴( )(2)抛物线 y x2的准线方程是 x ( )18 132答案:(1) (2)2设点 A 为抛物线 y24 x 上一点,点 B(1,0),且| AB|1,则点 A 的横坐标为( )A2 B0C2 或 0 D2 或 2答案:B3过抛物线 y28 x 的焦点作倾斜角为 45的直线,则被抛物线截得的弦长为( )A8 B16C32 D64答案:B4若双曲线 1( p0)的左焦点在抛物线 y22 px 的准线上,则 p_.x23 16y2p2答案:4抛物线方程及其几何性质典例 已知抛物线的顶点为坐标原点
3、,对称轴为 x 轴,且与圆 x2 y24 相交的公共弦长为 2 ,求抛物线的方程3解 设所求抛物线的方程为 y22 px(p0)或 y22 px(p0),抛物线与圆的交点A(x1, y1), B(x2, y2)(y10, y20)的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,且 A, B两点的纵坐标之积为4,求抛物线 C 的方程解 由于抛物线的焦点 F ,(p2, 0)故可设直线 AB 的方程为 x my .p2由Error! 得 y22 pmy p20,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y1y2 p2, p24,由 p0,可得 p2,抛物线 C 的方程为 y24 x.4(1)
4、已知 AB 是过抛物线 y22 px(p0)的焦点的弦, F 为抛物线的焦点, A(x1, y1),B(x2, y2),则: y1y2 p2, x1x2 ;p24| AB| x1 x2 p ( 为直线 AB 的倾斜角);2psin2 S ABO ( 为直线 AB 的倾斜角);p22sin ;1|AF| 1|BF| 2p以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(2)当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于 2p. 活学活用1过抛物线 x24 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点,若y
5、1 y26,则| P1P2|( )A5 B6C8 D10解析:选 C 由抛物线的定义知| P1P2| y1 y2 p628.2已知抛物线的顶点在原点, x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 的直线被抛物线 4所截得的弦长为 6,求抛物线的标准方程解:当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时,可设抛物线标准方程为 y22 px(p0),则焦点F ,直线 l 的方程为 y x .设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1, y1), B(x2, y2),过(p2, 0) p2点 A, B 向抛物线的准线作垂线,垂足分别为点 A1,点 B1,则|AB| AF| BF| AA1| BB1| x1 x2 p6,(x1
6、p2) (x2 p2) x1 x26 p. 由Error! 消去 y,得 22 px,即 x23 px 0. x1 x23 p,代入式得(xp2) p243p6 p, p .所求抛物线的标准方程是 y23 x.32当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y23 x.直线与抛物线的位置关系5典例 若抛物线 y24 x 与直线 y x4 相交于不同的两点 A, B,求证 OA OB.证明 由Error!消去 y,得 x212 x160.直线 y x4 与抛物线相交于不同两点 A, B,可设 A(x1, y1), B(x2, y2),则有 x1 x212, x1x21
7、6. x1x2 y1y2 x1x2( x14)( x24)OA OB x1x2 x1x24( x1 x2)161616412160, ,即 OA OB.OA OB 将直线方程与抛物线方程联立,转化为一元二次方程,可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式 或者对向量数量积的限制条件,利用限制条件建立不等式或等式,利用根与系数的关系运算求解 活学活用过点(3,2)的直线与抛物线 y24 x 只有一个公共点,求此直线方程解:显然,直线斜率 k 存在,设其方程为 y2 k(x3),由Error!消去 x,整理得ky24 y812 k0.(1)当 k0 时,方程化为4 y80,即 y2,此时过(3,2
8、)的直线方程为 y2,满足条件(2)当 k0 时,方程应有两个相等实根由Error! 即Error!得 k 或 k1.13所以直线方程为 y2 (x3)或 y2( x3),13即 x3 y90 或 x y10.故所求直线有三条,其方程分别为: y2, x3 y90, x y10.层级一 学业水平达标1以 x 轴为对称轴,通径长为 8,顶点为坐标原点的抛物线方程是( )A y28 x B y28 xC y28 x 或 y28 x D x28 y 或 x28 y解析:选 C 依题意设抛物线方程为 y22 px(p0),则 2p8,所以抛物线方程为y28 x 或 y28 x.62若直线 y2 x 与
9、抛物线 x22 py(p0)相交于 A, B 两点,则| AB|等于( )p2A5 p B10 pC11 p D12 p解析:选 B 将直线方程代入抛物线方程,可得 x24 px p20.设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 x24 p, y1 y29 p.直线过抛物线的焦点,| AB| y1 y2 p10 p.3设 O 为坐标原点, F 为抛物线 y24 x 的焦点, A 为抛物线上一点,若 4,则点 A 的坐标为( )OA AF A(2,2 ) B(1,2)2C(1,2) D(2,2 )2解析:选 B 设 A(x, y),则 y24 x,又 ( x, y), (1 x,
10、y),OA AF 所以 x x2 y24.OA AF 由可解得 x1, y2.4过点(1,0)作斜率为2 的直线,与抛物线 y28 x 交于 A, B 两点,则弦 AB 的长为( )A2 B213 15C2 D217 19解析:选 B 设 A(x1, y1), B(x2, y2)由题意知 AB 的方程为 y2( x1),即 y2 x2.由Error! 得 x24 x10, x1 x24, x1x21.| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 . 1 4 16 4 512 155设 F 为抛物线 C: y23 x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A, B 两点,O
11、为坐标原点,则 OAB 的面积为( )A. B.334 9387C. D.6332 94解析:选 D 易知抛物线中 p ,焦点 F ,直线 AB 的斜率 k ,故直线 AB 的32 (34, 0) 33方程为 y ,代入抛物线方程 y23 x,整理得 x2 x 0.33(x 34) 212 916设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 x2 .由抛物线的定义可得弦长| AB| x1 x2 p212 12,结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 d sin 30 ,所以 OAB 的面积 S212 32 p2 38|AB|d .12 946直线 y x1 被抛物线 y24 x 截得
12、的线段的中点坐标是_解析:将 y x1 代入 y24 x,整理,得 x26 x10.由根与系数的关系,得x1 x26, 3,x1 x22 2.y1 y22 x1 x2 22 6 22所求点的坐标为(3,2)答案:(3,2)7已知 A(2,0), B 为抛物线 y2 x 上的一点,则| AB|的最小值为_解析:设点 B(x, y),则 x y20,所以| AB| x 2 2 y2 x 2 2 x .所以当 x 时,| AB|取得最小值,且| AB|min .x2 3x 4 (x 32)2 74 32 72答案:728已知 AB 是抛物线 2x2 y 的焦点弦,若| AB|4,则 AB 的中点的纵
13、坐标为_解析:设 AB 的中点为 P(x0, y0),分别过 A, P, B 三点作准线的垂线,垂足分别为A, Q, B.由题意得| AA| BB| AB|4,| PQ| 2.又|AA | |BB |2|PQ| y0 ,所以 y0 2,解得 y0 .18 18 158答案:1589已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴, l 与抛物线交于 A, B两点, O 为坐标原点,若 OAB 的面积等于 4,求此抛物线的标准方程解:由题意,可设抛物线方程为 y22 ax(a0),则8焦点 F ,直线 l: x ,(a2, 0) a2 A, B 两点坐标分别为 , ,(a2
14、, a) (a2, a)| AB|2| a|. OAB 的面积为 4, 2|a|4, a2 .12 a2 2抛物线方程为 y24 x.210已知抛物线 C: y22 px(p0)过点 A(2,4)(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程;(2)若点 B(0,2),求过点 B 且与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线 l 的方程解:(1)由抛物线 C: y22 px(p0)过点 A(2,4),可得 164 p,解得 p4.所以抛物线 C 的方程为 y28 x,其准线方程为 x2.(2)当直线 l 的斜率不存在时, x0 符合题意当直线 l 的斜率为 0 时, y2 符合题意当直线 l 的斜率存
15、在且不为 0 时,设直线 l 的方程为 y kx2.由Error! 得 ky28 y160.由 6464 k0,得 k1,故直线 l 的方程为 y x2,即 x y20.综上直线 l 的方程为 x0 或 y2 或 x y20.层级二 应试能力达标1过点(2,4)作直线 l,与抛物线 y28 x 只有一个公共点,这样的直线 l 有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析:选 B 可知点(2,4)在抛物线 y28 x 上,过点(2,4)与抛物线 y28 x 只有一个公共点的直线有两条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行2过抛物线 y24 x 的焦点,作一条直线与抛物线交于 A,
16、B 两点,若它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线( )A有且仅有一条 B有两条C有无穷多条 D不存在9解析:选 B 设 A(x1, y1), B(x2, y2),由抛物线的定义,知|AB| x1 x2 p527.又直线 AB 过焦点且垂直于 x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短,且| AB|min2 p4,所以这样的直线有两条故选 B.3已知抛物线 y22 px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )A x1 B x1C x2 D x2解析:选 B 易知抛物线的焦点为 F ,所以过焦点且斜率为 1 的直线
17、的方程为(p2, 0)y x ,即 x y ,代入 y22 px 得 y22 p 2 py p2,即 y22 py p20,由根p2 p2 (y p2)与系数的关系得 p2( y1, y2分别为点 A, B 的纵坐标),所以抛物线的方程为y1 y22y24 x,准线方程为 x1.4已知抛物线 C: y28 x 与点 M(2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A, B 两点,若 0,则 k( )MA MB A. B.12 22C. D22解析:选 D 由题意可知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0),则直线 AB 的方程为 y k(x2),将其代入 y28 x,得 k2x24( k
18、22) x4 k20.设 A(x1, y1), B(x2, y2),则Error!由Error!Error! 0,( x12, y12)( x22, y22)0.MA MB ( x12)( x22)( y12)( y22)0,即 x1x22( x1 x2)4 y1y22( y1 y2)40.由解得 k2.故选 D 项5已知抛物线 y2 x,则弦长为定值 1 的焦点弦有_条12解析:因为通径的长 2p 为焦点弦长的最小值,所以给定弦长 a,若 a2p,则焦点弦存在两条;若 a2 p,则焦点弦存在一条;若 a ,所以弦长为定值 1 的焦点弦有 2 条12 1210答案:26直线 y x3 与抛物线
19、 y24 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P, Q,则梯形 APQB 的面积为_解析:由Error!消去 y 得 x210 x90,得 x1 或 9,即Error!或Error!所以|AP|10,| BQ|2 或| BQ|10,| AP|2,所以| PQ|8,所以梯形 APQB 的面积S 848.10 22答案:487设点 P(x, y)(y0)为平面直角坐标系 xOy 内的一个动点(其中 O 为坐标原点),点P 到定点 M 的距离比点 P 到 x 轴的距离大 .(0,12) 12(1)求点 P 的轨迹方程;(2)若直线 l: y kx1 与点 P
20、 的轨迹相交于 A, B 两点,且| AB|2 ,求实数 k 的6值解:(1)过点 P 作 x 轴的垂线且垂足为点 N,则| PN| y,由题意知| PM| PN| , 12 y ,化简得 x22 y.故点 P 的轨迹方程为 x22 y.x2 (y 12)2 12(2)由题意设 A(x1, y1), B(x2, y2),联立Error!消去 y 化简得x22 kx20, x1 x22 k, x1x22.| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 4k2 82 ,6 k43 k240,又 k20, k21, k1.8已知抛物线 C: y22 px(p0)的焦点为 F,直线 y4
21、与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且| QF| |PQ|.54(1)求 C 的方程;(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M, N 两点,且 A, M, B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程解:(1)设 Q(x0,4),代入 y22 px 得 x0 .8p所以| PQ| ,| QF| x0 .8p p2 p2 8p11由题设得 ,解得 p2(舍去)或 p2.p2 8p 54 8p所以 C 的方程为 y24 x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x my1( m0)代入 y24 x 得 y24
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