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    版选修1_1.doc

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    版选修1_1.doc

    1、12.3.2 抛物线的简单几何性质预习课本 P6063,思考并完成以下问题 抛物线有哪些几何性质?新 知 初 探 抛物线的简单几何性质类型y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)图象焦点 F(p2, 0) F( p2, 0) F(0, p2) F(0, p2)准线 x p2 x p2 y p2 y p2范围 x0, yR x0, yR xR, y0 xR, y0对称轴x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率e1性质开口方向向右 向左 向上 向下点睛 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系a0 时,焦点在 x 轴正半轴上,开口向右y2 ax一次项为 x 项

    2、, x 轴为对称轴 a0 时,焦点在 y 轴正半轴上,开口向2上轴 a0)有一条对称轴为 y 轴( )(2)抛物线 y x2的准线方程是 x ( )18 132答案:(1) (2)2设点 A 为抛物线 y24 x 上一点,点 B(1,0),且| AB|1,则点 A 的横坐标为( )A2 B0C2 或 0 D2 或 2答案:B3过抛物线 y28 x 的焦点作倾斜角为 45的直线,则被抛物线截得的弦长为( )A8 B16C32 D64答案:B4若双曲线 1( p0)的左焦点在抛物线 y22 px 的准线上,则 p_.x23 16y2p2答案:4抛物线方程及其几何性质典例 已知抛物线的顶点为坐标原点

    3、,对称轴为 x 轴,且与圆 x2 y24 相交的公共弦长为 2 ,求抛物线的方程3解 设所求抛物线的方程为 y22 px(p0)或 y22 px(p0),抛物线与圆的交点A(x1, y1), B(x2, y2)(y10, y20)的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,且 A, B两点的纵坐标之积为4,求抛物线 C 的方程解 由于抛物线的焦点 F ,(p2, 0)故可设直线 AB 的方程为 x my .p2由Error! 得 y22 pmy p20,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y1y2 p2, p24,由 p0,可得 p2,抛物线 C 的方程为 y24 x.4(1)

    4、已知 AB 是过抛物线 y22 px(p0)的焦点的弦, F 为抛物线的焦点, A(x1, y1),B(x2, y2),则: y1y2 p2, x1x2 ;p24| AB| x1 x2 p ( 为直线 AB 的倾斜角);2psin2 S ABO ( 为直线 AB 的倾斜角);p22sin ;1|AF| 1|BF| 2p以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(2)当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于 2p. 活学活用1过抛物线 x24 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P1(x1, y1), P2(x2, y2)两点,若y

    5、1 y26,则| P1P2|( )A5 B6C8 D10解析:选 C 由抛物线的定义知| P1P2| y1 y2 p628.2已知抛物线的顶点在原点, x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 的直线被抛物线 4所截得的弦长为 6,求抛物线的标准方程解:当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时,可设抛物线标准方程为 y22 px(p0),则焦点F ,直线 l 的方程为 y x .设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1, y1), B(x2, y2),过(p2, 0) p2点 A, B 向抛物线的准线作垂线,垂足分别为点 A1,点 B1,则|AB| AF| BF| AA1| BB1| x1 x2 p6,(x1

    6、p2) (x2 p2) x1 x26 p. 由Error! 消去 y,得 22 px,即 x23 px 0. x1 x23 p,代入式得(xp2) p243p6 p, p .所求抛物线的标准方程是 y23 x.32当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y23 x.直线与抛物线的位置关系5典例 若抛物线 y24 x 与直线 y x4 相交于不同的两点 A, B,求证 OA OB.证明 由Error!消去 y,得 x212 x160.直线 y x4 与抛物线相交于不同两点 A, B,可设 A(x1, y1), B(x2, y2),则有 x1 x212, x1x21

    7、6. x1x2 y1y2 x1x2( x14)( x24)OA OB x1x2 x1x24( x1 x2)161616412160, ,即 OA OB.OA OB 将直线方程与抛物线方程联立,转化为一元二次方程,可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式 或者对向量数量积的限制条件,利用限制条件建立不等式或等式,利用根与系数的关系运算求解 活学活用过点(3,2)的直线与抛物线 y24 x 只有一个公共点,求此直线方程解:显然,直线斜率 k 存在,设其方程为 y2 k(x3),由Error!消去 x,整理得ky24 y812 k0.(1)当 k0 时,方程化为4 y80,即 y2,此时过(3,2

    8、)的直线方程为 y2,满足条件(2)当 k0 时,方程应有两个相等实根由Error! 即Error!得 k 或 k1.13所以直线方程为 y2 (x3)或 y2( x3),13即 x3 y90 或 x y10.故所求直线有三条,其方程分别为: y2, x3 y90, x y10.层级一 学业水平达标1以 x 轴为对称轴,通径长为 8,顶点为坐标原点的抛物线方程是( )A y28 x B y28 xC y28 x 或 y28 x D x28 y 或 x28 y解析:选 C 依题意设抛物线方程为 y22 px(p0),则 2p8,所以抛物线方程为y28 x 或 y28 x.62若直线 y2 x 与

    9、抛物线 x22 py(p0)相交于 A, B 两点,则| AB|等于( )p2A5 p B10 pC11 p D12 p解析:选 B 将直线方程代入抛物线方程,可得 x24 px p20.设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 x24 p, y1 y29 p.直线过抛物线的焦点,| AB| y1 y2 p10 p.3设 O 为坐标原点, F 为抛物线 y24 x 的焦点, A 为抛物线上一点,若 4,则点 A 的坐标为( )OA AF A(2,2 ) B(1,2)2C(1,2) D(2,2 )2解析:选 B 设 A(x, y),则 y24 x,又 ( x, y), (1 x,

    10、y),OA AF 所以 x x2 y24.OA AF 由可解得 x1, y2.4过点(1,0)作斜率为2 的直线,与抛物线 y28 x 交于 A, B 两点,则弦 AB 的长为( )A2 B213 15C2 D217 19解析:选 B 设 A(x1, y1), B(x2, y2)由题意知 AB 的方程为 y2( x1),即 y2 x2.由Error! 得 x24 x10, x1 x24, x1x21.| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 . 1 4 16 4 512 155设 F 为抛物线 C: y23 x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A, B 两点,O

    11、为坐标原点,则 OAB 的面积为( )A. B.334 9387C. D.6332 94解析:选 D 易知抛物线中 p ,焦点 F ,直线 AB 的斜率 k ,故直线 AB 的32 (34, 0) 33方程为 y ,代入抛物线方程 y23 x,整理得 x2 x 0.33(x 34) 212 916设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 x2 .由抛物线的定义可得弦长| AB| x1 x2 p212 12,结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 d sin 30 ,所以 OAB 的面积 S212 32 p2 38|AB|d .12 946直线 y x1 被抛物线 y24 x 截得

    12、的线段的中点坐标是_解析:将 y x1 代入 y24 x,整理,得 x26 x10.由根与系数的关系,得x1 x26, 3,x1 x22 2.y1 y22 x1 x2 22 6 22所求点的坐标为(3,2)答案:(3,2)7已知 A(2,0), B 为抛物线 y2 x 上的一点,则| AB|的最小值为_解析:设点 B(x, y),则 x y20,所以| AB| x 2 2 y2 x 2 2 x .所以当 x 时,| AB|取得最小值,且| AB|min .x2 3x 4 (x 32)2 74 32 72答案:728已知 AB 是抛物线 2x2 y 的焦点弦,若| AB|4,则 AB 的中点的纵

    13、坐标为_解析:设 AB 的中点为 P(x0, y0),分别过 A, P, B 三点作准线的垂线,垂足分别为A, Q, B.由题意得| AA| BB| AB|4,| PQ| 2.又|AA | |BB |2|PQ| y0 ,所以 y0 2,解得 y0 .18 18 158答案:1589已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴, l 与抛物线交于 A, B两点, O 为坐标原点,若 OAB 的面积等于 4,求此抛物线的标准方程解:由题意,可设抛物线方程为 y22 ax(a0),则8焦点 F ,直线 l: x ,(a2, 0) a2 A, B 两点坐标分别为 , ,(a2

    14、, a) (a2, a)| AB|2| a|. OAB 的面积为 4, 2|a|4, a2 .12 a2 2抛物线方程为 y24 x.210已知抛物线 C: y22 px(p0)过点 A(2,4)(1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程;(2)若点 B(0,2),求过点 B 且与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线 l 的方程解:(1)由抛物线 C: y22 px(p0)过点 A(2,4),可得 164 p,解得 p4.所以抛物线 C 的方程为 y28 x,其准线方程为 x2.(2)当直线 l 的斜率不存在时, x0 符合题意当直线 l 的斜率为 0 时, y2 符合题意当直线 l 的斜率存

    15、在且不为 0 时,设直线 l 的方程为 y kx2.由Error! 得 ky28 y160.由 6464 k0,得 k1,故直线 l 的方程为 y x2,即 x y20.综上直线 l 的方程为 x0 或 y2 或 x y20.层级二 应试能力达标1过点(2,4)作直线 l,与抛物线 y28 x 只有一个公共点,这样的直线 l 有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析:选 B 可知点(2,4)在抛物线 y28 x 上,过点(2,4)与抛物线 y28 x 只有一个公共点的直线有两条,一条是抛物线的切线,另一条与抛物线的对称轴平行2过抛物线 y24 x 的焦点,作一条直线与抛物线交于 A,

    16、B 两点,若它们的横坐标之和等于 5,则这样的直线( )A有且仅有一条 B有两条C有无穷多条 D不存在9解析:选 B 设 A(x1, y1), B(x2, y2),由抛物线的定义,知|AB| x1 x2 p527.又直线 AB 过焦点且垂直于 x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短,且| AB|min2 p4,所以这样的直线有两条故选 B.3已知抛物线 y22 px(p0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A, B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )A x1 B x1C x2 D x2解析:选 B 易知抛物线的焦点为 F ,所以过焦点且斜率为 1 的直线

    17、的方程为(p2, 0)y x ,即 x y ,代入 y22 px 得 y22 p 2 py p2,即 y22 py p20,由根p2 p2 (y p2)与系数的关系得 p2( y1, y2分别为点 A, B 的纵坐标),所以抛物线的方程为y1 y22y24 x,准线方程为 x1.4已知抛物线 C: y28 x 与点 M(2,2),过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A, B 两点,若 0,则 k( )MA MB A. B.12 22C. D22解析:选 D 由题意可知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0),则直线 AB 的方程为 y k(x2),将其代入 y28 x,得 k2x24( k

    18、22) x4 k20.设 A(x1, y1), B(x2, y2),则Error!由Error!Error! 0,( x12, y12)( x22, y22)0.MA MB ( x12)( x22)( y12)( y22)0,即 x1x22( x1 x2)4 y1y22( y1 y2)40.由解得 k2.故选 D 项5已知抛物线 y2 x,则弦长为定值 1 的焦点弦有_条12解析:因为通径的长 2p 为焦点弦长的最小值,所以给定弦长 a,若 a2p,则焦点弦存在两条;若 a2 p,则焦点弦存在一条;若 a ,所以弦长为定值 1 的焦点弦有 2 条12 1210答案:26直线 y x3 与抛物线

    19、 y24 x 交于 A, B 两点,过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P, Q,则梯形 APQB 的面积为_解析:由Error!消去 y 得 x210 x90,得 x1 或 9,即Error!或Error!所以|AP|10,| BQ|2 或| BQ|10,| AP|2,所以| PQ|8,所以梯形 APQB 的面积S 848.10 22答案:487设点 P(x, y)(y0)为平面直角坐标系 xOy 内的一个动点(其中 O 为坐标原点),点P 到定点 M 的距离比点 P 到 x 轴的距离大 .(0,12) 12(1)求点 P 的轨迹方程;(2)若直线 l: y kx1 与点 P

    20、 的轨迹相交于 A, B 两点,且| AB|2 ,求实数 k 的6值解:(1)过点 P 作 x 轴的垂线且垂足为点 N,则| PN| y,由题意知| PM| PN| , 12 y ,化简得 x22 y.故点 P 的轨迹方程为 x22 y.x2 (y 12)2 12(2)由题意设 A(x1, y1), B(x2, y2),联立Error!消去 y 化简得x22 kx20, x1 x22 k, x1x22.| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 4k2 82 ,6 k43 k240,又 k20, k21, k1.8已知抛物线 C: y22 px(p0)的焦点为 F,直线 y4

    21、与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点为 Q,且| QF| |PQ|.54(1)求 C 的方程;(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M, N 两点,且 A, M, B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程解:(1)设 Q(x0,4),代入 y22 px 得 x0 .8p所以| PQ| ,| QF| x0 .8p p2 p2 8p11由题设得 ,解得 p2(舍去)或 p2.p2 8p 54 8p所以 C 的方程为 y24 x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x my1( m0)代入 y24 x 得 y24

    22、my40.设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y1 y24 m, y1y24.故 AB 的中点为 D(2m21,2 m),|AB| |y1 y2|m2 1 m2 1 y1 y2 2 4y1y24( m21)又 l的斜率为 m,所以 l的方程为 x y2 m23.1m将上式代入 y24 x,并整理得 y2 y4(2 m23)0.4m设 M(x3, y3), N(x4, y4),则 y3 y4 , y3y44(2 m23)4m故 MN 的中点为 E ,(2m2 2m2 3, 2m)|MN| |y3 y4|1 1m2 1 1m2 y3 y4 2 4y3y4 .4 m2 1 2m2 1m

    23、2由于 MN 垂直平分 AB,故 A, M, B, N 四点在同一圆上等价于|AE| BE| |MN|,12从而 |AB|2| DE|2 |MN|2,即 4(m21) 2 2 214 14 (2m 2m) (2m2 2).4 m2 1 2 2m2 1m4化简得 m210,解得 m1 或 m1.12所求直线 l 的方程为 x y10 或 x y10.(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2017浙江高考)椭圆 1 的离心率是( )x29 y24A. B.133 53C. D.2

    24、3 59解析:选 B 根据题意知, a3, b2,则 c ,椭圆的离心率 e a2 b2 5ca.532 是任意实数,则方程 x2 y2sin 4 的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析:选 C 由于 R,对 sin 的值举例代入判断sin 可以等于 1,这时曲线表示圆,sin 可以小于 0,这时曲线表示双曲线,sin 可以大于 0 且小于 1,这时曲线表示椭圆3设椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1, F2,上顶点为 B.若x2a2 y2b2|BF2| F1F2|2,则该椭圆的方程为( )A. 1 B. y21x24 y23 x23C. y21 D. y21x22 x

    25、24解析:选 A | BF2| F1F2|2, a2 c2, a2, c1, b .椭圆的方程为 1.3x24 y234已知双曲线 C: 1( a0, b0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 52A y x B y x14 13C y x D y x1213解析:选 C e2 1 ,c2a2 a2 b2a2 b2a2 54 , ,b2a2 14 ba 12则 C 的渐近线方程为 y x.125设 P 是双曲线 1( a0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为x2a2 y293x2 y0, F1, F2分别是双曲线的左、右焦点,若| PF1|3,则| PF2|( )A1

    26、或 5 B6C7 D8解析:选 C 双曲线 1 的一条渐近线方程为 3x2 y0,故 a2.x2a2 y29又 P 是双曲线上一点,故| PF1| PF2|4,而| PF1|3,则| PF2|7.6已知直线 y kx k(k 为实数)及抛物线 y22 px(p0),则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析:选 C 因为直线 y kx k 恒过点(1,0),点(1,0)在抛物线 y22 px 的内部,所以当 k0 时,直线与抛物线有一个公共点,当 k0 时,直线与抛物线有两个公共点7已知双曲线 1( b0)的左、右焦

    27、点分别是 F1, F2,其一条渐近线方程为x22 y2b2y x,点 P( , y0)在双曲线上,则 ( )3 PF1 PF2 A12 B2C0 D4解析:选 C 由渐近线方程为 y x,知双曲线是等轴双曲线,双曲线方程是 x2 y22,于是两焦点分别是 F1(2,0)和 F2(2,0),且 P( ,1)或 P( ,1)不妨取点 P( ,1),3 3 3则 (2 ,1), (2 ,1)PF1 3 PF2 3 (2 ,1)(2 ,1)PF1 PF2 3 3(2 )(2 )10.3 3148设双曲线 C: y21( a0)与直线 l: x y1 相交于两个不同的点,则双曲线x2a2C 的离心率 e

    28、 的取值范围为( )A. B( ,)(62, 2) 2C. D. ( ,)(62, ) (62, 2) 2解析:选 D 由Error!消去 y 并整理得(1 a2)x22 a2x2 a20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点,则 1 a20 a21,且此时 4 a2(2 a2)0a20),则抛物线过点(40,30),从而有 3022 p40,即 2p ,所以所求抛物线方程为 y2 x.虽然选项中没有 y2 x,但 C 中的 2p452 452 452符合题意45211.我们把离心率为黄金分割系数 的椭圆称为“黄金椭圆”5 12如图, “黄金椭圆” C 的中心在坐标原点, F 为左焦点, A,

    29、B 分别为长轴和短轴上的顶点,则 ABF( )A90 B60C45 D30解析:选 A 设椭圆的方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由已知,得 A(a,0), B(0, b), F( c,0),则 ( c, b), ( a, b)BF BA 离心率 e ,ca 5 12 c a, b5 12 a2 c2 a,a2 (5 12 a)2 5 12 b2 ac0, ABF90.BF BA 12已知直线 y k(x2)( k0)与抛物线 C: y28 x 相交于 A, B 两点, F 为 C 的焦点,若| FA|2| FB|,则 k( )A. B.13 23C. D.23 223解析:选 D 将

    30、y k(x2)代入 y28 x,得 k2x2(4 k28) x4 k20,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x1 x2 , x1x24,8 4k2k2抛物线 y28 x 的准线方程为 x2,16由| FA|2| FB|及抛物线定义得 x122( x22),即 x122 x2,代入 x1x24,整理得 x x220,2解得 x21 或 x22(舍去)所以 x14, 5,解得 k2 ,8 4k2k2 89又因为 k0,所以 k .223二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分请把正确答案填在题中的横线上)13以双曲线 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为_x

    31、24 y212解析:双曲线焦点(4,0),顶点(2,0),故椭圆的焦点为(2,0),顶点(4,0)答案: 1x216 y21214已知双曲线 1( a0, b0)的一个焦点与抛物线 x y2的焦点重合,且双x2a2 y2b2 14曲线的离心率等于 ,则该双曲线的方程为_5解析:抛物线 x y2的方程化为标准形式为 y24 x,焦点坐标为(1,0),则得14a2 b21,又 e ,易求得 a2 , b2 ,ca 5 15 45所以该双曲线的方程为 5x2 y21.54答案:5 x2 y215415已知二次曲线 1,当 m2,1时,该曲线的离心率的取值范围是x24 y2m_解析: m2,1,曲线方

    32、程化为 1,曲线为双曲线,x24 y2 m e . m2,1, e .4 m2 52 62答案: ,52 621716设 F1, F2分别是椭圆 1 的左、右焦点, P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标x225 y216为(6,4),则| PM| PF1|的最大值为_解析:由椭圆的定义知| PF1| PF2|10,|PF1|10| PF2|,|PM| PF1|10| PM| PF2|,易知 M 点在椭圆外,连接 MF2并延长交椭圆于点 P,此时| PM| PF2|取最大值| MF2|,故| PM| PF1|的最大值为 10| MF2|10 15. 6 3 2 42答案:15三、解答题(本大题共

    33、6 小题,共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线 1( a0, b0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与x2a2 y2b2双曲线交于点 P ,求抛物线的方程和双曲线的方程(32, 6)解:依题意,设抛物线的方程为 y22 px(p0),点 P 在抛物线上,6 2 p . p2,(32, 6) 32所求抛物线的方程为 y24 x.双曲线的左焦点在抛物线的准线 x1 上, c1,即 a2 b21,又点 P 在双曲线上, 1,(32, 6) 94a2 6b2解方程组Error!得Err

    34、or! 或Error!(舍去)所求双曲线的方程为 4x2 y21.4318(本小题满分 12 分)已知椭圆 1 及直线 l: y x m,x24 y29 32(1)当直线 l 与该椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围;(2)求直线 l 被此椭圆截得的弦长的最大值解:(1)由Error!消去 y,并整理得9x26 mx2 m2180.18 36 m236(2 m218)36( m218)直线 l 与椭圆有公共点, 0,据此可解得3 m3 .2 2故所求实数 m 的取值范围为3 ,3 2 2(2)设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1, y1), B(x2, y2),由得: x1 x2 , x1x

    35、2 ,6m9 2m2 189故| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 (32)2 ( 6m9)2 42m2 189 ,133 m2 18当 m0 时,直线 l 被椭圆截得的弦长的最大值为 .2619(本小题满分 12 分)双曲线 x2 1( b0)的左、右焦点分别为 F1, F2,直线 ly2b2过 F2且与双曲线交于 A, B 两点(1)若直线 l 的倾斜角为 , F1AB 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程; 2(2)设 b ,若直线 l 的斜率存在,且( ) 0,求 l 的斜率3 F1A F1B AB 解:(1)设 A(xA, yA)由题意得 F2(c,0), c , y

    36、b2(c21) b4,1 b2 2A因为 F1AB 是等边三角形,所以 2c |yA|,3即 4(1 b2)3 b4,解得 b22.故双曲线的渐近线方程为 y x.2(2)由题意知 F1(2,0), F2(2,0)设 A(x1, y1), B(x2, y2),直线 l: y k(x2),显然 k0.由Error! 得( k23) x24 k2x4 k230.因为 l 与双曲线交于两点,所以 k230,且 36(1 k2)0.设 AB 的中点为 M(xM, yM)由( ) 0 即 0,F1A F1A F1B AB F1M AB 知 F1M AB,故 kF1Mk1.而 xM , yM k(xM2)

    37、 ,x1 x22 2k2k2 3 6kk2 319kF1M ,所以 k1,解得 k2 ,3k2k2 3 3k2k2 3 35故 l 的斜率为 .15520(本小题满分 12 分)已知动圆 C 过定点 F(0,1),且与直线 l1: y1 相切,圆心C 的轨迹为 E.(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程;(2)已知直线 l2交轨迹 E 于两点 P, Q,且 PQ 中点的纵坐标为 2,求| PQ|的最大值解:(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离,所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点, l1为准线的抛物线,所以所求轨迹的方程为 x24 y.(2)由题意易知直线 l2的斜率存在,又

    38、抛物线方程为 x24 y,当直线 l2的斜率为 0 时,| PQ|4 .2当直线 l2的斜率 k 不为 0 时,设中点坐标为( t,2), P(x1, y1), Q(x2, y2),则有 x 4 y1, x 4 y2,21 2两式作差得 x x 4( y1 y2),21 2即得 k ,x1 x24 t2则直线方程为 y2 (x t),t2与 x24 y 联立得 x22 tx2 t280.由根与系数的关系得 x1 x22 t, x1x22 t28,则| PQ| x1 x2 2 y1 y2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 (1 t24)4t2 4 2t2 8 6, 8 t2 4 t2当且

    39、仅当 t 时取等号所以| PQ|的最大值为 6.221.(本小题满分 12 分)已知椭圆 1( ab0)的离心率 ex2a2 y2b2,过点 A(0, b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 .63 32(1)求椭圆的方程;(2)已知定点 E(1,0),若直线 y kx2( k0)与椭圆交于C, D 两点,问:是否存在 k 的值,使以 CD 为直径的圆过 E 点,请说明理由20解:(1)直线 AB 的方程为: bx ay ab0.依题意Error! 解得Error!椭圆方程为 y21.x23(2)假设存在这样的 k 值,由Error!得(13 k2)x212 kx90. (12 k)236(

    40、13 k2)0.设 C(x1, y1), D(x2, y2),则Error!而 y1y2( kx12)( kx22) k2x1x22 k(x1 x2)4.要使以 CD 为直径的圆过点E(1,0),当且仅当 CE DE 时,则 1.y1x1 1 y2x2 1即 y1y2( x11)( x21)0.( k21) x1x2(2 k1)( x1 x2)50.将式代入整理解得 k .经验证 k 使成立76 76综上可知,存在 k ,使得以 CD 为直径的圆过点 E.7622(本小题满分 12 分)已知抛物线 C1: x24 y 的焦点 F 也是椭圆C2: 1( a b0)的一个焦点, C1与 C2的公共

    41、弦的长为 2 .过点 F 的直线 l 与 C1y2a2 x2b2 6相交于 A, B 两点,与 C2相交于 C, D 两点,且 与 同向AC BD (1)求 C2的方程;(2)若| AC| BD|,求直线 l 的斜率解:(1)由 C1: x24 y 知其焦点 F 的坐标为(0,1)因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点,所以 a2 b21.又 C1与 C2的公共弦的长为 2 , C1与 C2都关于 y 轴对称,且 C1的方程为 x24 y,6由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为 ,(6,32)所以 1.94a2 6b2联立,得 a29, b28.故 C2的方程为 1.y29 x2821(2)如图

    42、,设 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4)因 与 同向,且| AC| BD|,所以 ,从而 x3 x1 x4 x2,即AC BD AC BD x1 x2 x3 x4,于是( x1 x2)24 x1x2( x3 x4)24 x3x4.设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y kx1.由Error! 得 x24 kx40.而 x1, x2是这个方程的两根,所以 x1 x24 k, x1x24.由Error! 得(98 k2)x216 kx640.而 x3, x4是这个方程的两根,所以 x3 x4 , x3x4 .16k9 8k2 649 8k2将代入,得 16(k21) ,162k2 9 8k2 2 4649 8k2即 16(k21) ,1629 k2 1 9 8k2 2所以(98 k2)2169,解得 k ,即直线 l 的斜率为 .64 64


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