1、12.3.2 抛物线的简单几何性质预习课本 P6063，思考并完成以下问题 抛物线有哪些几何性质？新 知 初 探 抛物线的简单几何性质类型y22 px(p0)y22 px(p0)x22 py(p0)x22 py(p0)图象焦点 F(p2， 0) F( p2， 0) F(0， p2) F(0， p2)准线 x p2 x p2 y p2 y p2范围 x0， yR x0， yR xR， y0 xR， y0对称轴x 轴 y 轴顶点 O(0,0)离心率e1性质开口方向向右 向左 向上 向下点睛 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系a0 时，焦点在 x 轴正半轴上，开口向右y2 ax一次项为 x 项
2、， x 轴为对称轴 a0 时，焦点在 y 轴正半轴上，开口向2上轴 a0)有一条对称轴为 y 轴( )(2)抛物线 y x2的准线方程是 x ( )18 132答案：(1) (2)2设点 A 为抛物线 y24 x 上一点，点 B(1,0)，且| AB|1，则点 A 的横坐标为( )A2 B0C2 或 0 D2 或 2答案：B3过抛物线 y28 x 的焦点作倾斜角为 45的直线，则被抛物线截得的弦长为( )A8 B16C32 D64答案：B4若双曲线 1( p0)的左焦点在抛物线 y22 px 的准线上，则 p_.x23 16y2p2答案：4抛物线方程及其几何性质典例 已知抛物线的顶点为坐标原点
3、，对称轴为 x 轴，且与圆 x2 y24 相交的公共弦长为 2 ，求抛物线的方程3解 设所求抛物线的方程为 y22 px(p0)或 y22 px(p0)，抛物线与圆的交点A(x1， y1)， B(x2， y2)(y10， y20)的焦点 F 的直线交抛物线于 A， B 两点，且 A， B两点的纵坐标之积为4，求抛物线 C 的方程解 由于抛物线的焦点 F ，(p2， 0)故可设直线 AB 的方程为 x my .p2由Error! 得 y22 pmy p20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1y2 p2， p24，由 p0，可得 p2，抛物线 C 的方程为 y24 x.4(1)
4、已知 AB 是过抛物线 y22 px(p0)的焦点的弦， F 为抛物线的焦点， A(x1， y1)，B(x2， y2)，则： y1y2 p2， x1x2 ；p24| AB| x1 x2 p ( 为直线 AB 的倾斜角)；2psin2 S ABO ( 为直线 AB 的倾斜角)；p22sin ；1|AF| 1|BF| 2p以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(2)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于 2p. 活学活用1过抛物线 x24 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)两点，若y
5、1 y26，则| P1P2|( )A5 B6C8 D10解析：选 C 由抛物线的定义知| P1P2| y1 y2 p628.2已知抛物线的顶点在原点， x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 的直线被抛物线 4所截得的弦长为 6，求抛物线的标准方程解：当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为 y22 px(p0)，则焦点F ，直线 l 的方程为 y x .设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，过(p2， 0) p2点 A， B 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点 A1，点 B1，则|AB| AF| BF| AA1| BB1| x1 x2 p6，(x1
6、p2) (x2 p2) x1 x26 p. 由Error! 消去 y，得 22 px，即 x23 px 0. x1 x23 p，代入式得(xp2) p243p6 p， p .所求抛物线的标准方程是 y23 x.32当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y23 x.直线与抛物线的位置关系5典例 若抛物线 y24 x 与直线 y x4 相交于不同的两点 A， B，求证 OA OB.证明 由Error!消去 y，得 x212 x160.直线 y x4 与抛物线相交于不同两点 A， B，可设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则有 x1 x212， x1x21
7、6. x1x2 y1y2 x1x2( x14)( x24)OA OB x1x2 x1x24( x1 x2)161616412160， ，即 OA OB.OA OB 将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式 或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解 活学活用过点(3,2)的直线与抛物线 y24 x 只有一个公共点，求此直线方程解：显然，直线斜率 k 存在，设其方程为 y2 k(x3)，由Error!消去 x，整理得ky24 y812 k0.(1)当 k0 时，方程化为4 y80，即 y2，此时过(3,2
8、)的直线方程为 y2，满足条件(2)当 k0 时，方程应有两个相等实根由Error! 即Error!得 k 或 k1.13所以直线方程为 y2 (x3)或 y2( x3)，13即 x3 y90 或 x y10.故所求直线有三条，其方程分别为： y2， x3 y90， x y10.层级一 学业水平达标1以 x 轴为对称轴，通径长为 8，顶点为坐标原点的抛物线方程是( )A y28 x B y28 xC y28 x 或 y28 x D x28 y 或 x28 y解析：选 C 依题意设抛物线方程为 y22 px(p0)，则 2p8，所以抛物线方程为y28 x 或 y28 x.62若直线 y2 x 与
9、抛物线 x22 py(p0)相交于 A， B 两点，则| AB|等于( )p2A5 p B10 pC11 p D12 p解析：选 B 将直线方程代入抛物线方程，可得 x24 px p20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x24 p， y1 y29 p.直线过抛物线的焦点，| AB| y1 y2 p10 p.3设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y24 x 的焦点， A 为抛物线上一点，若 4，则点 A 的坐标为( )OA AF A(2，2 ) B(1，2)2C(1,2) D(2,2 )2解析：选 B 设 A(x， y)，则 y24 x，又 ( x， y)， (1 x，
10、y)，OA AF 所以 x x2 y24.OA AF 由可解得 x1， y2.4过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28 x 交于 A， B 两点，则弦 AB 的长为( )A2 B213 15C2 D217 19解析：选 B 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由题意知 AB 的方程为 y2( x1)，即 y2 x2.由Error! 得 x24 x10， x1 x24， x1x21.| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 . 1 4 16 4 512 155设 F 为抛物线 C： y23 x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A， B 两点，O
11、为坐标原点，则 OAB 的面积为( )A. B.334 9387C. D.6332 94解析：选 D 易知抛物线中 p ，焦点 F ，直线 AB 的斜率 k ，故直线 AB 的32 (34， 0) 33方程为 y ，代入抛物线方程 y23 x，整理得 x2 x 0.33(x 34) 212 916设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 .由抛物线的定义可得弦长| AB| x1 x2 p212 12，结合图象可得 O 到直线 AB 的距离 d sin 30 ，所以 OAB 的面积 S212 32 p2 38|AB|d .12 946直线 y x1 被抛物线 y24 x 截得
12、的线段的中点坐标是_解析：将 y x1 代入 y24 x，整理，得 x26 x10.由根与系数的关系，得x1 x26， 3，x1 x22 2.y1 y22 x1 x2 22 6 22所求点的坐标为(3,2)答案：(3,2)7已知 A(2,0)， B 为抛物线 y2 x 上的一点，则| AB|的最小值为_解析：设点 B(x， y)，则 x y20，所以| AB| x 2 2 y2 x 2 2 x .所以当 x 时，| AB|取得最小值，且| AB|min .x2 3x 4 (x 32)2 74 32 72答案：728已知 AB 是抛物线 2x2 y 的焦点弦，若| AB|4，则 AB 的中点的纵
13、坐标为_解析：设 AB 的中点为 P(x0， y0)，分别过 A， P， B 三点作准线的垂线，垂足分别为A， Q， B.由题意得| AA| BB| AB|4，| PQ| 2.又|AA | |BB |2|PQ| y0 ，所以 y0 2，解得 y0 .18 18 158答案：1589已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A， B两点， O 为坐标原点，若 OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程解：由题意，可设抛物线方程为 y22 ax(a0)，则8焦点 F ，直线 l： x ，(a2， 0) a2 A， B 两点坐标分别为 ， ，(a2
14、， a) (a2， a)| AB|2| a|. OAB 的面积为 4， 2|a|4， a2 .12 a2 2抛物线方程为 y24 x.210已知抛物线 C： y22 px(p0)过点 A(2，4)(1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；(2)若点 B(0,2)，求过点 B 且与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线 l 的方程解：(1)由抛物线 C： y22 px(p0)过点 A(2，4)，可得 164 p，解得 p4.所以抛物线 C 的方程为 y28 x，其准线方程为 x2.(2)当直线 l 的斜率不存在时， x0 符合题意当直线 l 的斜率为 0 时， y2 符合题意当直线 l 的斜率存
15、在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 y kx2.由Error! 得 ky28 y160.由 6464 k0，得 k1，故直线 l 的方程为 y x2，即 x y20.综上直线 l 的方程为 x0 或 y2 或 x y20.层级二 应试能力达标1过点(2,4)作直线 l，与抛物线 y28 x 只有一个公共点，这样的直线 l 有( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：选 B 可知点(2,4)在抛物线 y28 x 上，过点(2,4)与抛物线 y28 x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行2过抛物线 y24 x 的焦点，作一条直线与抛物线交于 A，
16、B 两点，若它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线( )A有且仅有一条 B有两条C有无穷多条 D不存在9解析：选 B 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线的定义，知|AB| x1 x2 p527.又直线 AB 过焦点且垂直于 x 轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且| AB|min2 p4，所以这样的直线有两条故选 B.3已知抛物线 y22 px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )A x1 B x1C x2 D x2解析：选 B 易知抛物线的焦点为 F ，所以过焦点且斜率为 1 的直线
17、的方程为(p2， 0)y x ，即 x y ，代入 y22 px 得 y22 p 2 py p2，即 y22 py p20，由根p2 p2 (y p2)与系数的关系得 p2( y1， y2分别为点 A， B 的纵坐标)，所以抛物线的方程为y1 y22y24 x，准线方程为 x1.4已知抛物线 C： y28 x 与点 M(2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A， B 两点，若 0，则 k( )MA MB A. B.12 22C. D22解析：选 D 由题意可知抛物线 C 的焦点坐标为(2,0)，则直线 AB 的方程为 y k(x2)，将其代入 y28 x，得 k2x24( k
18、22) x4 k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!由Error!Error! 0，( x12， y12)( x22， y22)0.MA MB ( x12)( x22)( y12)( y22)0，即 x1x22( x1 x2)4 y1y22( y1 y2)40.由解得 k2.故选 D 项5已知抛物线 y2 x，则弦长为定值 1 的焦点弦有_条12解析：因为通径的长 2p 为焦点弦长的最小值，所以给定弦长 a，若 a2p，则焦点弦存在两条；若 a2 p，则焦点弦存在一条；若 a ，所以弦长为定值 1 的焦点弦有 2 条12 1210答案：26直线 y x3 与抛物线
19、 y24 x 交于 A， B 两点，过 A， B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P， Q，则梯形 APQB 的面积为_解析：由Error!消去 y 得 x210 x90，得 x1 或 9，即Error!或Error!所以|AP|10，| BQ|2 或| BQ|10，| AP|2，所以| PQ|8，所以梯形 APQB 的面积S 848.10 22答案：487设点 P(x， y)(y0)为平面直角坐标系 xOy 内的一个动点(其中 O 为坐标原点)，点P 到定点 M 的距离比点 P 到 x 轴的距离大 .(0，12) 12(1)求点 P 的轨迹方程；(2)若直线 l： y kx1 与点 P
20、 的轨迹相交于 A， B 两点，且| AB|2 ，求实数 k 的6值解：(1)过点 P 作 x 轴的垂线且垂足为点 N，则| PN| y，由题意知| PM| PN| ， 12 y ，化简得 x22 y.故点 P 的轨迹方程为 x22 y.x2 (y 12)2 12(2)由题意设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立Error!消去 y 化简得x22 kx20， x1 x22 k， x1x22.| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 4k2 82 ，6 k43 k240，又 k20， k21， k1.8已知抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，直线 y4
21、与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且| QF| |PQ|.54(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M， N 两点，且 A， M， B， N 四点在同一圆上，求 l 的方程解：(1)设 Q(x0,4)，代入 y22 px 得 x0 .8p所以| PQ| ，| QF| x0 .8p p2 p2 8p11由题设得 ，解得 p2(舍去)或 p2.p2 8p 54 8p所以 C 的方程为 y24 x.(2)依题意知 l 与坐标轴不垂直，故可设 l 的方程为 x my1( m0)代入 y24 x 得 y24
22、my40.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 m， y1y24.故 AB 的中点为 D(2m21,2 m)，|AB| |y1 y2|m2 1 m2 1 y1 y2 2 4y1y24( m21)又 l的斜率为 m，所以 l的方程为 x y2 m23.1m将上式代入 y24 x，并整理得 y2 y4(2 m23)0.4m设 M(x3， y3)， N(x4， y4)，则 y3 y4 ， y3y44(2 m23)4m故 MN 的中点为 E ，(2m2 2m2 3， 2m)|MN| |y3 y4|1 1m2 1 1m2 y3 y4 2 4y3y4 .4 m2 1 2m2 1m
23、2由于 MN 垂直平分 AB，故 A， M， B， N 四点在同一圆上等价于|AE| BE| |MN|，12从而 |AB|2| DE|2 |MN|2，即 4(m21) 2 2 214 14 (2m 2m) (2m2 2).4 m2 1 2 2m2 1m4化简得 m210，解得 m1 或 m1.12所求直线 l 的方程为 x y10 或 x y10.(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2017浙江高考)椭圆 1 的离心率是( )x29 y24A. B.133 53C. D.2
24、3 59解析：选 B 根据题意知， a3， b2，则 c ，椭圆的离心率 e a2 b2 5ca.532 是任意实数，则方程 x2 y2sin 4 的曲线不可能是( )A椭圆 B双曲线C抛物线 D圆解析：选 C 由于 R，对 sin 的值举例代入判断sin 可以等于 1，这时曲线表示圆，sin 可以小于 0，这时曲线表示双曲线，sin 可以大于 0 且小于 1，这时曲线表示椭圆3设椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，上顶点为 B.若x2a2 y2b2|BF2| F1F2|2，则该椭圆的方程为( )A. 1 B. y21x24 y23 x23C. y21 D. y21x22 x
25、24解析：选 A | BF2| F1F2|2， a2 c2， a2， c1， b .椭圆的方程为 1.3x24 y234已知双曲线 C： 1( a0， b0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )x2a2 y2b2 52A y x B y x14 13C y x D y x1213解析：选 C e2 1 ，c2a2 a2 b2a2 b2a2 54 ， ，b2a2 14 ba 12则 C 的渐近线方程为 y x.125设 P 是双曲线 1( a0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为x2a2 y293x2 y0， F1， F2分别是双曲线的左、右焦点，若| PF1|3，则| PF2|( )A1
26、或 5 B6C7 D8解析：选 C 双曲线 1 的一条渐近线方程为 3x2 y0，故 a2.x2a2 y29又 P 是双曲线上一点，故| PF1| PF2|4，而| PF1|3，则| PF2|7.6已知直线 y kx k(k 为实数)及抛物线 y22 px(p0)，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析：选 C 因为直线 y kx k 恒过点(1,0)，点(1,0)在抛物线 y22 px 的内部，所以当 k0 时，直线与抛物线有一个公共点，当 k0 时，直线与抛物线有两个公共点7已知双曲线 1( b0)的左、右焦
27、点分别是 F1， F2，其一条渐近线方程为x22 y2b2y x，点 P( ， y0)在双曲线上，则 ( )3 PF1 PF2 A12 B2C0 D4解析：选 C 由渐近线方程为 y x，知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是 x2 y22，于是两焦点分别是 F1(2,0)和 F2(2,0)，且 P( ，1)或 P( ，1)不妨取点 P( ，1)，3 3 3则 (2 ，1)， (2 ，1)PF1 3 PF2 3 (2 ，1)(2 ，1)PF1 PF2 3 3(2 )(2 )10.3 3148设双曲线 C： y21( a0)与直线 l： x y1 相交于两个不同的点，则双曲线x2a2C 的离心率 e
28、 的取值范围为( )A. B( ，)(62， 2) 2C. D. ( ，)(62， ) (62， 2) 2解析：选 D 由Error!消去 y 并整理得(1 a2)x22 a2x2 a20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点，则 1 a20 a21，且此时 4 a2(2 a2)0a20)，则抛物线过点(40,30)，从而有 3022 p40，即 2p ，所以所求抛物线方程为 y2 x.虽然选项中没有 y2 x，但 C 中的 2p452 452 452符合题意45211.我们把离心率为黄金分割系数 的椭圆称为“黄金椭圆”5 12如图， “黄金椭圆” C 的中心在坐标原点， F 为左焦点， A，
29、B 分别为长轴和短轴上的顶点，则 ABF( )A90 B60C45 D30解析：选 A 设椭圆的方程为 1( ab0)x2a2 y2b2由已知，得 A(a,0)， B(0， b)， F( c,0)，则 ( c， b)， ( a， b)BF BA 离心率 e ，ca 5 12 c a， b5 12 a2 c2 a，a2 (5 12 a)2 5 12 b2 ac0， ABF90.BF BA 12已知直线 y k(x2)( k0)与抛物线 C： y28 x 相交于 A， B 两点， F 为 C 的焦点，若| FA|2| FB|，则 k( )A. B.13 23C. D.23 223解析：选 D 将
30、y k(x2)代入 y28 x，得 k2x2(4 k28) x4 k20，设 A(x1， y1), B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x24，8 4k2k2抛物线 y28 x 的准线方程为 x2，16由| FA|2| FB|及抛物线定义得 x122( x22)，即 x122 x2，代入 x1x24，整理得 x x220，2解得 x21 或 x22(舍去)所以 x14， 5，解得 k2 ，8 4k2k2 89又因为 k0，所以 k .223二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中的横线上)13以双曲线 1 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_x
31、24 y212解析：双曲线焦点(4,0)，顶点(2,0)，故椭圆的焦点为(2,0)，顶点(4,0)答案： 1x216 y21214已知双曲线 1( a0， b0)的一个焦点与抛物线 x y2的焦点重合，且双x2a2 y2b2 14曲线的离心率等于 ，则该双曲线的方程为_5解析：抛物线 x y2的方程化为标准形式为 y24 x，焦点坐标为(1,0)，则得14a2 b21，又 e ，易求得 a2 ， b2 ，ca 5 15 45所以该双曲线的方程为 5x2 y21.54答案：5 x2 y215415已知二次曲线 1，当 m2，1时，该曲线的离心率的取值范围是x24 y2m_解析： m2，1，曲线方
32、程化为 1，曲线为双曲线，x24 y2 m e . m2，1， e .4 m2 52 62答案： ，52 621716设 F1， F2分别是椭圆 1 的左、右焦点， P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标x225 y216为(6,4)，则| PM| PF1|的最大值为_解析：由椭圆的定义知| PF1| PF2|10，|PF1|10| PF2|，|PM| PF1|10| PM| PF2|，易知 M 点在椭圆外，连接 MF2并延长交椭圆于点 P，此时| PM| PF2|取最大值| MF2|，故| PM| PF1|的最大值为 10| MF2|10 15. 6 3 2 42答案：15三、解答题(本大题共
33、6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 1( a0， b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与x2a2 y2b2双曲线交于点 P ，求抛物线的方程和双曲线的方程(32， 6)解：依题意，设抛物线的方程为 y22 px(p0)，点 P 在抛物线上，6 2 p . p2，(32， 6) 32所求抛物线的方程为 y24 x.双曲线的左焦点在抛物线的准线 x1 上， c1，即 a2 b21，又点 P 在双曲线上， 1，(32， 6) 94a2 6b2解方程组Error!得Err
34、or! 或Error!(舍去)所求双曲线的方程为 4x2 y21.4318(本小题满分 12 分)已知椭圆 1 及直线 l： y x m，x24 y29 32(1)当直线 l 与该椭圆有公共点时，求实数 m 的取值范围；(2)求直线 l 被此椭圆截得的弦长的最大值解：(1)由Error!消去 y，并整理得9x26 mx2 m2180.18 36 m236(2 m218)36( m218)直线 l 与椭圆有公共点， 0，据此可解得3 m3 .2 2故所求实数 m 的取值范围为3 ，3 2 2(2)设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由得： x1 x2 ， x1x
35、2 ，6m9 2m2 189故| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 (32)2 ( 6m9)2 42m2 189 ，133 m2 18当 m0 时，直线 l 被椭圆截得的弦长的最大值为 .2619(本小题满分 12 分)双曲线 x2 1( b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，直线 ly2b2过 F2且与双曲线交于 A， B 两点(1)若直线 l 的倾斜角为 ， F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； 2(2)设 b ，若直线 l 的斜率存在，且( ) 0，求 l 的斜率3 F1A F1B AB 解：(1)设 A(xA， yA)由题意得 F2(c,0)， c ， y
36、b2(c21) b4，1 b2 2A因为 F1AB 是等边三角形，所以 2c |yA|，3即 4(1 b2)3 b4，解得 b22.故双曲线的渐近线方程为 y x.2(2)由题意知 F1(2,0)， F2(2,0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l： y k(x2)，显然 k0.由Error! 得( k23) x24 k2x4 k230.因为 l 与双曲线交于两点，所以 k230，且 36(1 k2)0.设 AB 的中点为 M(xM， yM)由( ) 0 即 0，F1A F1A F1B AB F1M AB 知 F1M AB，故 kF1Mk1.而 xM ， yM k(xM2)
37、 ，x1 x22 2k2k2 3 6kk2 319kF1M ，所以 k1，解得 k2 ，3k2k2 3 3k2k2 3 35故 l 的斜率为 .15520(本小题满分 12 分)已知动圆 C 过定点 F(0,1)，且与直线 l1： y1 相切，圆心C 的轨迹为 E.(1)求动点 C 的轨迹 E 的方程；(2)已知直线 l2交轨迹 E 于两点 P， Q，且 PQ 中点的纵坐标为 2，求| PQ|的最大值解：(1)由题设知点 C 到点 F 的距离等于它到 l1的距离，所以点 C 的轨迹是以 F 为焦点， l1为准线的抛物线，所以所求轨迹的方程为 x24 y.(2)由题意易知直线 l2的斜率存在，又
38、抛物线方程为 x24 y，当直线 l2的斜率为 0 时，| PQ|4 .2当直线 l2的斜率 k 不为 0 时，设中点坐标为( t,2)， P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则有 x 4 y1， x 4 y2，21 2两式作差得 x x 4( y1 y2)，21 2即得 k ，x1 x24 t2则直线方程为 y2 (x t)，t2与 x24 y 联立得 x22 tx2 t280.由根与系数的关系得 x1 x22 t， x1x22 t28，则| PQ| x1 x2 2 y1 y2 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 (1 t24)4t2 4 2t2 8 6， 8 t2 4 t2当且
39、仅当 t 时取等号所以| PQ|的最大值为 6.221.(本小题满分 12 分)已知椭圆 1( ab0)的离心率 ex2a2 y2b2，过点 A(0， b)和 B(a,0)的直线与原点的距离为 .63 32(1)求椭圆的方程；(2)已知定点 E(1,0)，若直线 y kx2( k0)与椭圆交于C， D 两点，问：是否存在 k 的值，使以 CD 为直径的圆过 E 点，请说明理由20解：(1)直线 AB 的方程为： bx ay ab0.依题意Error! 解得Error!椭圆方程为 y21.x23(2)假设存在这样的 k 值，由Error!得(13 k2)x212 kx90. (12 k)236(
40、13 k2)0.设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则Error!而 y1y2( kx12)( kx22) k2x1x22 k(x1 x2)4.要使以 CD 为直径的圆过点E(1,0)，当且仅当 CE DE 时，则 1.y1x1 1 y2x2 1即 y1y2( x11)( x21)0.( k21) x1x2(2 k1)( x1 x2)50.将式代入整理解得 k .经验证 k 使成立76 76综上可知，存在 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E.7622(本小题满分 12 分)已知抛物线 C1： x24 y 的焦点 F 也是椭圆C2： 1( a b0)的一个焦点， C1与 C2的公共
41、弦的长为 2 .过点 F 的直线 l 与 C1y2a2 x2b2 6相交于 A， B 两点，与 C2相交于 C， D 两点，且 与 同向AC BD (1)求 C2的方程；(2)若| AC| BD|，求直线 l 的斜率解：(1)由 C1： x24 y 知其焦点 F 的坐标为(0,1)因为 F 也是椭圆 C2的一个焦点，所以 a2 b21.又 C1与 C2的公共弦的长为 2 ， C1与 C2都关于 y 轴对称，且 C1的方程为 x24 y，6由此易知 C1与 C2的公共点的坐标为 ，(6，32)所以 1.94a2 6b2联立，得 a29， b28.故 C2的方程为 1.y29 x2821(2)如图
42、，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)因 与 同向，且| AC| BD|，所以 ，从而 x3 x1 x4 x2，即AC BD AC BD x1 x2 x3 x4，于是( x1 x2)24 x1x2( x3 x4)24 x3x4.设直线 l 的斜率为 k，则 l 的方程为 y kx1.由Error! 得 x24 kx40.而 x1， x2是这个方程的两根，所以 x1 x24 k， x1x24.由Error! 得(98 k2)x216 kx640.而 x3， x4是这个方程的两根，所以 x3 x4 ， x3x4 .16k9 8k2 649 8k2将代入，得 16(k21) ，162k2 9 8k2 2 4649 8k2即 16(k21) ，1629 k2 1 9 8k2 2所以(98 k2)2169，解得 k ，即直线 l 的斜率为 .64 64
