四川省宜宾市一中2017_2018学年高中数学下学期第3周1.2.1《应用实例》教学设计.doc

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1、11.2.1 解三角形应用举例第一课时一、教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量高度、角度问题等实际问题，了解常用的测量相关术语过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角

2、形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学过程一、课题导入1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题， “遥不可及的月亮 离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施

3、.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，研究 如何测量距离，高度，角度等问题.二.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.例题讲解2（2）例 1、如图，设 A、 B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m， BAC= 51， ACB= 75.求 A、 B 两点

4、的 距离（精确到 0.1m）启发提问 1： ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启 发提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答.分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边 AB 的对角， AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边.解：根据正弦定理，得 ACBsin= AsinAB = = BC5 = )75180sin( = 4sin75 65.7（m）答: A、 B 两点间的距离为 65.7 米变式练习：两灯塔 A、 B 与海洋观察站 C 的距离

5、都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60，则 A、 B 之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型.解略： 2a km例 2、如图， A、 B 两点都在河的对岸（不可到达） ，设计一种测量 A、 B 两点间距离的方法.分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定 C、 D 两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离.解：测量者可以在河岸边选定两点 C、 D，测得 CD=a，并且在 C

6、、 D 两点分别测得 BCA=，ACD=， CDB=， BDA =，在 ADC 和 BDC 中，应用正弦定理得:3AC = )(180sina = )sin(aBC = i = 计算出 AC 和 BC 后，再在 ABC 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离AB = cos22BCAC分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析.变式训练：若在河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点，测得BCA=60， ACD=30， CDB=45， BDA =60略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=20 6评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决

7、问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式.例 3、 AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法.分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在 ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计算出 AE 的长.解：选择一条水平基线 HG，使 H、 G、 B 三点在同一条直线上.由在 H、 G 两点用测角仪器测得 A 的仰角分别是 、 ， CD = a，测角仪器的高是 h，那么，在 ACD 中，根据正弦定理可得AC =

8、)sin(AB = AE + h = AC sin+ h = )sin(a + h例 4、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 =54 04，在塔底 C 处测得 A 处的俯角 =50 1.已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD（精确到 1 m）师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给时间给学生讨论思考）若在 ABD 中求 CD，则关键需要求出哪条边呢？生：需求出 BD 边.4师：那如何求 BD 边呢？生：可首先求出 AB 边，再根据 BAD=求得.解:在 ABC 中 , BCA=90+, ABC =90- , BAC=- ,BAD =.根据正弦定理,)s

9、in(BC = )90si(A所以 AB = )si(= )sin(coBC解 Rt ABD 中,得 BD =ABsinBAD= )i(c将测量数据代入上式,得BD = )1504sin(ico3.27 = 934sin051co.27 177 （m）CD =BD -BC177-27.3=150（m）答:山的高度约为 150 米.师：有没有别的解法呢？生：若在 ACD 中求 CD，可先求出 AC.师：分析得很好，请大家接着思考如何求出 AC？生：同理，在 ABC 中，根据正弦定理求得.（解题过程略）例 5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东

10、偏南 15的方向上 ,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25的方向上,仰角为 8,求此山的高度 CD.师：欲求出 CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？生：在 BCD 中师：在 BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长？生： BC 边解:在 ABC 中 , A=15, C= 25-15 =10,根据正弦定理,BCsin= i ,BC = is= 10in5 7.4524（km）5CD=BCtanDBC BCtan81047（m）答:山的高度约为 1047 米3、课堂练习课本第 14 页练习 1、2 题四、课堂小结解斜三角形应用题的一般

11、步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1.2.2 解三角形应用举例第二课时授课类型：新授课一、教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；过程与方法：通过实际问题的解决，提高知识的综合运用能力和应用意识；情感、态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应 用价值；

12、同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力二重点难点 重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解难点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学方法问题引导，主动探究，启发式教学四、教学过程（一）知识梳理：1、正弦定理和余弦定理2仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)63方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图， B 点的方位角为 )4方向角相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东 ：指从正北方向顺时针旋转 到达目标方向(2)东北方向：指北偏东 45. (3)其他方向角类似

13、考点一 测量角度 例 3、 如图，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援，求 cos 的值规律方法 解决测量角度问题的注意事项：(1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重 要的一步；(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用练习 3.如图，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行当2甲船位于

14、A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105方向的 B1处，此时两船相距 20 海里，当甲船航行 20 分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2处，此时两船相距 10 海里问：乙船每小时航行多少海里？27例 6、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?（角度精确到 0.1,距离精确到 0.01n mile）学生看图思考并讲述解题思路教师根据学生的回答归纳分析：首

15、先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出 AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 CAB.解：在 ABC 中， ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，AC= ABCABCcos22= 1370.54670.54.67113.15根据正弦定理,CABsin = sinsin CAB = C= 15.37si040.3255,所以 CAB =19.0,75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1的方向航行,需要航行 113.15n mile师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另 一个表达公式.

16、在ABC 中，边 BC、 CA、 AB 上的高分别记为 ha、h b、h c，那么它们如何用已知边和角表示？生： ha=bsinC=csinBh =csinA=asinChc=asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式 S= 21ah,应用以上求出的高的公式如 ha=bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式， S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗？8生：同理可得， S= 21bcsinA, S= 21acsinB师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解考点二：三

17、角形面积公式的应用例 7、在 ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S（精确到 0.1cm2）（1）已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知 B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.解：（1）应用 S= 21acsinB，得S= 14.8 23.5 sin148.590.9（cm 2）（2）根据正弦定理，B

18、bsin = Ccsic = S = 21bcsinA = b2AsinA = 180-（ B + C）= 180 -（62.7 + 65.8）=51.5 S = 213.162i65.8sin1.74 .0（cm 2）（3）根据余弦定理的推论，得cosB = cab2 = 4.17382.20.7697sinB = os1 69.010.6384应用 S= 2acsinB，得S 41.4 38.7 0.6384511.4（cm 2）9例 8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积

19、是多少？（精确到 0.1cm2）？师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解.由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结.解：设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= c2= 681720.7532sinB= 253.00.6578应用 S= acsinB S 168 127 0.65782840.38（m 2）答：这个区域的面积是 2840.38m2.例 9、在 ABC 中，求证：（1）2222sini4;abABbaccC（2） + 2+ =2（ bccosA+cacosB+abco

20、sC）分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明证明：（1）根据正弦定理，可设Aasin = Bbi = Ccsin = k显然 k0，所以左边=222iisnkc=222sini4ABbacC=右边（2）根据余弦定理的推论，10右边=2（ bc bca2+ca cab2+ab abc2）=（ b2+c - a2）+（ c2+a -b ）+（ a2+b -c ）=a +b +c =左边变式练习 1：已知在 ABC 中， B=30,b=6,c=6 3,求 a 及 ABC 的面积 S提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个

21、数.答案： a=6,S=9 3;a=12,S=18 3三.课时小结1、解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2、解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题 的解.3、利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式 ，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用.