2019高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算学案新人教B版选修2_2.doc

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1、11.2 导数的运算1掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数2熟练运用导数的运算法则3正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数1基本初等函数的导数公式表y f(x) y f (x)y c y 0y xn(nN ) y _， n 为正整数y x (x0， 0 且 Q) y x 1 ， 为有理数y ax(a0， a1) y _ylog ax(a0， a1， x0) y _ysin x y _ycos x y _(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求(2)幂函数的求导规律：求导幂减 1，原幂作系数【做一做 11】

2、给出下列结论：若 y ，则 y ；若 y ，则 y 1x3 3x4 3x 13； 若 y ，则 y 2x3 ；若 y f(x)3 x，则 f (1)3；若 ycos x，则3x1x2y sin x；若 ysin x，则 y cos x其中正确的个数是( )A3 B4 C5 D6【做一做 12】下列结论中正确的是( )A(log ax) B(log ax)ax ln 10xC(5 x)5 x D(5 x)5 xln 52导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则：设 f(x)， g(x)是可导的，则( f(x)g(x)_，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的_(2)函数积的求导法

3、则：设 f(x)， g(x)是可导的，则 f(x)g(x)_，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数由上述法则立即可以得出 Cf(x) Cf (x)，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以_(3)函数的商的求导法则：设 f(x)， g(x)是可导的， g(x)0，则 _.f(x)g(x)(1)比较： f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g( x)， f(x)g(x)，注意差异，加以区分g(x)f (x) f(x)g (x)g2(x)2(2) ，且 .f(x)g(x) f (x)g (x) f(x)g(x) g(x)f (x) f(x)

4、g (x)g2(x)(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导例如，设 f(x)sin x ， g(x)cos x ，则 f(x)， g(x)在 x0 处均不可导，但1x 1x它们的和 f(x) g(x)sin xcos x 在 x0 处可导【做一做 2】下列求导运算正确的是( )A 11x2B(log 2x)1xln 2C(3 x)3 xlog3eD( x2cos x)2 xsin x3复合函数的求导法则对于两个函数 y f(u)和 u g(x)

5、，如果通过变量 u， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y f(u)和 u g(x)的复合函数，记作 y fg(x)如函数 y(2 x3) 2是由 y u2和 u2 x3 复合而成的复合函数 y fg(x)的导数和函数 y f(u)， u g(x)的导数间的关系为y x y uu x.即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数如(sin 2 x)2cos 2 x，而

6、(sin 2 x)cos 2 x.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数如求 ysin 的导数，设 ysin u， u2 x ，则 3y x y uu xcos u22cos .(4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写【做一做 3】函数 yln(2 x3)的导数为_1如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数2导数公式表中 y 表示什么？剖析： y 是

7、 f (x)的另一种写法，两者都表示函数 y f(x)的导数3如何理解 y C(C 是常数)， y 0； y x， y 1?剖析：因为 y C 的图象是平行于 x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是 0；因为 y x 的图象是斜率为 1 的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为 1.题型一 利用公式求函数的导数【例题 1】求下列函数的导数：3(1)y x ；(2) y ；(3) y ；x1x4 5x3(4)ylog 2x2log 2x；(5) y2sin (12cos 2 )x2 x4分析：熟练掌握常用函数的求导公式运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数

8、后再求导数反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导题型二 利用四则运算法则求导【例题 2】求下列函数的导数：(1)y x43 x25 x6；(2)y xtan x；(3)y( x1)( x2)( x3)；(4)y .x 1x 1分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误题型三 求复合函数的导数【例题 3】求下

9、列函数的导数：(1)y(2 x1) n(xN )；(2)y 5；(3)ysin 3(4x3)；(4)y xcos x2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样

10、，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键【例题 4】求函数 y (exe x)的导数12错解： y (exe x) (ex)(e x) (exe x)12(ex e x) 12 12 121 下列各组函数中导数相同的是( )A f(x)1 与 f(x) xB f(x)sin x 与 f(x)cos xC f(x)1cos x 与 f(x)sin xD f(x) x1 与 f(x) x12 已知函数 f(x) ax33 x

11、22，若 f (1)4，则 a 的值为( )A B C D193 103 133 16343 函数 y 的导数是( )cos xxA Bsin xsin xx2C Dxsin x cos xx2 xcos x cos xx24 设 y (a 是常数)，则 y 等于( )1 a 1 xA B121 a 121 x 121 xC D121 a 121 x 121 x5 已知抛物线 y ax2 bx5( a0)，在点(2,1)处的切线方程为 y3 x7，则a_， b_.答案：基础知识梳理1 nxn1 axln a cos x sin x1xln a【做一做 11】B 由求导公式可知，正确【做一做 1

12、2】D2(1) f (x)g (x) 导数和(或差) (2) f (x)g(x) f(x)g (x) 函数的导数(3)f x g x f x g xg2 x【做一做 2】B 由求导公式知，B 选项正确. x( x1 )1 x2 1(x1x).(3x)3 xln 3，( x2cos x)( x2)cos x x2(cos x)2 xcos x x2sin x.1x2【做一做 3】 y 函数 yln(2 x3)可看作函数 yln u 和 u2 x3 的复合22x 3函数，于是 y x y uu x(ln u)(2 x3) 2 .1u 22x 3典型例题领悟【例题 1】解：(1) y ( x ) x

13、 1 .x (x32) 3232 32x(2)y ( x4 )4 x41 4 x5 .(1x4) 4x5(3)y ( ) x 1 x .5x3 (x35) 3535 35 25 355x2(4) ylog 2x2log 2xlog 2x， y (log 2x) .1xln 2(5) y2sin 2sin 2sin cos sin x，x2(1 2cos2 x4) x2(2cos2 x4 1) x2 x2 y cos x.【例题 2】解：(1) y ( x43 x25 x6)( x4)3( x2)5 x64 x36 x5.(2)y ( xtan x) (xsin xcos x )5 xsin x

14、 cos x xsin x cos x cos2x sin x xcos x cos x xsin2xcos2x .sin xcos x xcos2x xsin2xcos2x 12sin 2x xcos2x xsin2xcos2x sin 2x 2x2cos2x(3)方法 1： y ( x1)( x2)( x3)( x1)( x2)( x3)( x1)( x2)( x1)( x2)( x3)( x1)( x2)( x2 x1)( x3)( x1)( x2)(2 x3)( x3)( x1)( x2)3 x212 x11.方法 2： y x36 x211 x6，y 3 x212 x11.(4)方法

15、 1： y (x 1x 1) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2 . x 1 x 1 x 1 2 2 x 1 2方法 2： y1 ，2x 1y .(12x 1) ( 2x 1) 2 x 1 2 x 1 x 1 2 2 x 1 2【例题 3】解：(1) y (2 x1) n n(2x1) n1 (2x1)2 n(2x1) n1 .(2)y 5 4 .(x1 x)5 ( x1 x) ( x1 x) 5x4 x 1 6(3)y sin 3(4x3)3sin 2(4x3)sin(4 x3)3sin 2(4x3)cos(4 x3)(4 x3)12sin 2(4x3)cos(4 x3)(4)y (

16、 xcos x2) xcos x2(cos x2) xcos x22 x2sin x2.【例题 4】错因分析： ye x的求导错误， ye x由 ye u与 u x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行正解：令 ye u， u x，则 y x y uu x，所以(e x)(e u)( x)e x(1)e x，所以 y (ex)(e x)12 ex e x 12 (exe x)12随堂练习巩固1D2B f (x)3 ax26 x， f (1)3 a64， a .1033C y (cos xx ) cos x x cos xxx2 xsin x cos xx26.xsin x cos xx24D 由 x 是自变量， a 是常数，可知( )0，所以 y ( )( )1 a 1 a 1 x(1 x) (1 x) (1 x) .12 12 12 121 x53 9 y 2 ax b， y 4 a b，|x 2方程 y1(4 a b)(x2)与方程 y3 x7 相同，即Error!即 4a b3，又点(2,1)在 y ax2 bx5 上，4 a2 b51.即 4a2 b6.由Error! 得Error!