2018高中数学第2章推理与证明2.1.1合情推理（1）学案苏教版选修1_2.doc

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1、- 1 -21.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发展中的作用知识链接1归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠2由合情推理得到的结论可靠吗？答 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了预习导引1归纳推理(1)定义：从个别事实中推演出一般性的结论的推理称为归纳推理归

2、纳推理的思维过程大致是实验、观察概括、推广猜测一般性结论(2)归纳推理的特点：归纳推理是从特殊到一般的推理；由归纳推理得到的结论不一定正确；归纳推理是一种具有创造性的推理2类比推理(1)类比推理的定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法(2)类比推理的思维过程： 观 察 、 比 较 联 想 、 类 推 猜 测 新 的 结 论3合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理是数学活动中常用的合情推理- 2 -要点一 归纳推理的应

3、用例 1 观察如图所示的“三角数阵”1第 1 行 2 2第 2 行 3 4 3第 3 行 4 7 7 4第 4 行 51114115第 5 行 记第 n(n1)行的第 2 个数为 an(n2， nN *)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第 6 行的 6 个数依次为_、_、_、_、_、_；(2)依次写出 a2、 a3、 a4、 a5；(3)归纳出 an1 与 an的关系式解 由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数(1)6,16,25,25,16,6(2)a22， a34， a47， a511(3) a3 a22

4、， a4 a33， a5 a44由此归纳： an1 an n.规律方法 对于数阵问题的解决方法，既要清楚每行、每列数的特征，又要对上、下行，左、右列间的关系进行研究，找到规律，问题即可迎刃而解跟踪演练 1 根据下列条件，写出数列中的前 4 项，并归纳猜想它的通项公式(1)a13， an1 2 an1；(2)a1 a， an1 ；12 an(3)对一切 nN *， an0，且 2 an1.Sn解 (1)由已知可得 a132 21，a22 a1123172 31，a32 a21271152 41，a42 a312151312 51.猜想 an2 n1 1， nN *.- 3 -(2)由已知可得 a

5、1 a， a2 ，12 a1 12 aa3 ， a4 .12 a2 2 a3 2a 12 a3 3 2a4 3a猜想 an (nN *)(n 1) (n 2)an (n 1)a(3)2 an1，2 a11，Sn S1即 2 a11， a11.a1又 2 a21，S22 a21， a 2 a230.a1 a2 2对一切 nN *， an0， a23.同理可求得 a35， a47，猜想出 an2 n1( nN *)要点二 类比推理的应用例 2 如图所示，在 ABC 中，射影定理可表示为 a bcosC ccosB，其中 a， b， c 分别为角A， B， C 的对边类比上述定理，写出对空间四面体性

6、质的猜想解 如右图所示，在四面体 P ABC 中，设 S1， S2， S3， S 分别表示 PAB， PBC， PCA， ABC的面积， ， ， 依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 S S1cos S2cos S3cos .规律方法 (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论(2)平面图形与空间图形的类比：平面图形 空间图形点 线线 面边长 面积- 4 -面积 体积线线角 二面角三角形 四

7、面体跟踪演练 2 已知 P(x0， y0)是抛物线 y22 px(p0)上的一点，过 P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在 y22 px 两边同时对 x 求导，得 2yy2 p，则 y ，所以过 P 的切py线的斜率 k .类比上述方法求出双曲线 x2 1 在 P( ， )处的切线方程为py0 y22 2 2_答案 2 x y 02解析 将双曲线方程化为 y22( x21)，类比上述方法两边同时对 x 求导得 2yy4 x，则y ，即过 P 的切线的斜率 k ，由于 P( ， )，故切线斜率 k 2，因此切线2xy 2x0y0 2 2 222方程为 y 2( x )，整理得 2x y

8、0.2 2 2要点三 平面图形与空间图形的类比例 3 三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解 三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边四

9、面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的 ，14且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且- 5 -点是三角形内切圆的圆心 这个点是四面体内切球的球心规律方法 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法跟踪演练 3 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是_各棱长相等，同一顶

10、点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等答案 解析 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确.1下列推理中，是归纳推理的有_ A， B 为定点，动点 P 满足 PA PB2 a AB，得 P 的轨迹为椭圆；由 a11， an3 n1，求出 S1， S2， S3，猜出数列的前 n 项和 Sn的表达式；由圆 x2 y2 r2的面积 r2，猜想出椭圆 1 的面积 S ab；x2a2 y2b2科学家利用

11、鱼的沉浮原理制造潜艇答案 解析 从 S1， S2， S3猜想出数列的前 n 项和 Sn是从特珠到一般的推理2下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第 36 颗珠子的颜色是_答案 白色解析 由图知：三白二黑周而复始相继排列，3657 余 1.第 36 颗珠子的颜色为白色3将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15- 6 -按照以上排列的规律，第 n 行( n3)从左向右的第 3 个数为_答案 n2 n 62解析 前 n1 行共有正整数 12( n1)个，即 个，因此第 n 行第 3 个数是全体n2 n2正整数中第 3 个，即为

12、 .n2 n2 n2 n 624古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1,3,6,10，第 n个三角形数为 n(n 1)2n2 n，记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k3)，以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达12 12式：三角形数 N(n,3) n2 n，12 12正方形数 N(n,4) n2，五边形数 N(n,5) n2 n，32 12六边形数 N(n,6)2 n2 n可以推测 N(n， k)的表达式，由此计算 N(10,24)_.答案 1000解析 由 N(n,4) n2， N(n,6)2 n2 n，可以推测：当 k 为偶数时，N(n， k) n

13、2 n，k 22 4 k2 N(10,24) 100 1024 22 4 24211001001000.1.合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向合情推理的过程概括为： 从 具 体 问 题 出 发 观 察 、 分 析 、 比 较 、 联 想 归 纳 、 类 比 提 出 猜 想一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明2归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些- 7 -

14、特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理.一、基础达标1下面几种推理是合情推理的是_由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180，归纳出所有三角形的内角和是 180；某次考试张军的成绩是 100 分，由此推出全班同学的成绩都是 100 分；三角形内角和是 180，四边形内角和是 360，五边形内角和是 540，由此得出凸 n 边形内角和是( n2)18

15、0.答案 2对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等” ，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_” ，这个类比命题的真假性是_答案 夹在两平行平面间的平行线段相等 真命题3观察下列等式：11,14(12)，149123,14916(1234)，由此推测第 n 个等式为_.答案 1 22 23 24 2(1) n1 n2(1) n1 (123 n)4如图(1)有面积关系： ，则图(2)有体积关系：S PA BS PAB PA PBPAPB_.VP A B CVP ABC答案 PA PB PCPAPBPC- 8 -解析 把平面中三角形的知识类比到空间三棱锥中，得 .VP A

16、 B CVP ABC PA PB PCPAPBPC5观察下列等式：1 32 3(12) 2,132 33 3(123) 2,132 33 34 3(1234)2，根据上述规律，第四个等式为_答案 1 32 33 34 35 3(12345) 2(或 152)解析 观察前 3 个等式发现等式左边分别是从 1 开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：132 33 34 35 3(12345) 215 2.6观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第 n 个等式为_答案 n( n1)(3 n2)(2 n1) 27在 A

17、BC 中，若 C90，则 cos2Acos 2B1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥 P ABC 中，三个侧面 PAB， PBC， PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为 ， ， ，则 cos2 cos 2 cos 2 1” 证明 设 P 在平面 ABC 的射影为 O，延长 CO 交 AB 于 M，记 PO h，由 PC PA， PC PB 得 PC面 PAB，从而 PC PM，又 PMC ，cos sin PCO ，cos ，cos ，hPC hPA hPB VP ABC PAPBPC Error!16 13Error!Erro

18、r!h， h1，(cosPC cosPA cosPB )即 cos2 cos 2 cos 2 1.二、能力提升8设 ABC 的三边长分别为 a、 b、 c， ABC 的面积为 S，内切圆半径为 r，则- 9 -r ，类比这个结论可知：四面体 S ABC 的四个面的面积分别为 S1、 S2、 S3、 S4，内2Sa b c切球半径为 r，四面体 S ABC 的体积为 V，则 r_.答案 3VS1 S2 S3 S4解析 设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和则四面体的体积为 V 四面体A BCD

19、 (S1 S2 S3 S4)R， R .13 3VS1 S2 S3 S49观察分析下表中的数据：多面体 面数( F) 顶点数( V) 棱数( E)三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12猜想一般凸多面体中 F， V， E 所满足的等式是_答案 F V E2解析 观察 F， V， E 的变化得 F V E2.10观察下列等式：121122 23122 23 26122 23 24 210照此规律，第 n 个等式可为_答案 1 22 23 2(1) n1 n2 n(n1)( 1)n 12解析 分 n 为奇数、偶数两种情况当 n 为偶数时，分组求和：(1 22 2)(3 24 2)

20、( n1) 2 n2 .n(n 1)2- 10 -当 n 为奇数时，第 n 个等式 n2 .n(n 1)2 n(n 1)2综上，第 n 个等式：1 22 23 2(1) n1 n2 n(n1)( 1)n 1211某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin 213cos 217sin13cos17；sin 215cos 215sin15cos15；sin 218cos 212sin18cos12；sin 2(18)cos 248sin(18)cos48；sin 2(25)cos 255sin(25)cos55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据

21、(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解 (1)选择式，计算如下：sin215cos 215sin15cos151 sin30121 .14 34(2)三角恒等式为 sin2 cos 2(30 )sin cos(30 ) .34证明如下：sin2 cos 2(30 )sin cos(30 )sin 2 (cos30cos sin30sin )2sin (cos30cos sin30sin )sin 2 cos2 sin cos sin2 sin cos sin234 32 14 32 12 sin2 cos2 .34 34 3412(1)椭圆 C： 1( ab0)与

22、x 轴交于 A、 B 两点，点 P 是椭圆 C 上异于 A、 B 的任意x2a2 y2b2一点，直线 PA、 PB 分别与 y 轴交于点 M、 N，求证： 为定值 b2 a2.AN BM (2)类比(1)可得如下真命题：双曲线 1( a0， b0)与 x 轴交于 A、 B 两点，点 P 是双x2a2 y2b2曲线 C 上异于 A、 B 的任意一点，直线 PA、 PB 分别与 y 轴交于点 M、 N，求证 为定值，AN BM 请写出这个定值(不要求写出解题过程)(1)证明 设点 P(x0， y0)(x0 a)，依题意，得 A( a,0)， B(a,0)，- 11 -所以直线 PA 的方程为 y

23、(x a)y0x0 a令 x0，得 yM ，ay0x0 a同理得 yN ，ay0x0 a所以 yMyN .a2y20a2 x20又点 P(x0， y0)在椭圆上，所以 1，x20a2 y20b2因此 y (a2 x )，20b2a2 20所以 yMyN b2.a2y20a2 x20因为 ( a， yN)， ( a， yM)，AN BM 所以 a2 yMyN b2 a2.AN BM (2)解 定值为( a2 b2)三、探究与创新13在平面几何中，对于 Rt ABC，设 BC a， CA b， AB c， C90.则(1)a2 b2 c2；(2)cos 2Acos 2B1；(3)Rt ABC 的外

24、接圆的半径 r ；(4) S ABC ab.把12a2 b2 12上面的结论类比到空间，写出相类似的结论解 (1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为 S1， S2， S3，底面面积为 S，则 S S S S2.21 2 23(检验：设 PA， PB， PC 两两互相垂直， PA m， PB n， PC t， PE AB 于点 E，则S2 (m2 n2)(t2 ) S S S )14 m2n2m2 n2 21 2 23(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为 ， ， ，则cos2 cos 2 cos 2 1.(检验：因为 S1 Scos ， S2 Scos ， S3 Scos )(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 m、 n、 t，则这个直四面体的外接球的半径R .(检验：补形为长、宽、高分别为 m、 n、 t 的长方体)m2 n2 t22(4)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为 m、 n、 t，则这个直四面体的体积为 V mnt.16