版选修2_1.doc
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1、123.2 双曲线的几何性质对 应 学 生 用 书 P28双曲线的简单几何性质歌曲悲伤双曲线的歌词如下:如果我是双曲线,你就是那渐近线,如果我是反比例函数,你就是那坐标轴,虽然我们有缘,能够坐在同一平面,然而我们又无缘,漫漫长路无交点问题 1:双曲线的对称轴、对称中心是什么?提示:坐标轴;原点问题 2:过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲线有交点吗?提示:有一个交点双曲线的几何性质 标准方程 1( a0, b0)x2a2 y2b2 1( a0, b0)y2a2 x2b2图形焦点 (c,0) (0, c)焦距 2c范围 x a 或 x a, yR y a 或 y a, xR顶点 (a,0
2、) (0, a)对称性 关于 x 轴、 y 轴、坐标原点对称轴长 实轴长2 a,虚轴长2 b离心率 e (1,)ca性质渐近线 y xba y xab等轴双曲线2观察所给两个双曲线方程(1) 1;x24 y24(2)x2 y29.问题 1:两个双曲线方程有何共同特点?提示:所给的两个双曲线方程的实轴长和虚轴长相等问题 2:两个双曲线的离心率是多少?提示: .2问题 3:两双曲线的渐近线方程是什么?提示:渐近线方程 y x.实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线1离心率 e 反映了双曲线开口的大小, e 越大,双曲线的开口就越大2双曲线有两条渐近线,渐近线与双曲线没有交点渐近线方程用 a, b
3、 表示时,受焦点所在坐标轴的影响对 应 学 生 用 书 P28双曲线的几何性质例 1 求双曲线 9y24 x236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程思路点拨 先化方程为标准形式,然后根据标准方程求出基本量 a, b, c 即可得解,但要注意焦点在哪条坐标轴上精解详析 由 9y24 x236 得 1,x29 y24 a29, b24.c2 a2 b213. c .133顶点坐标为(3,0),(3,0)焦点坐标为( ,0),( ,0),13 13实轴长为 2a6,虚轴长为 2b4,离心率为 e ,ca 133渐近线方程为 y x.23一点通 求解双曲线的几何性质问题时,首先
4、将方程化为标准方程,分清焦点所在的轴,写出 a 与 b 的值,进而求出 c,即可求得双曲线的性质1(湖北高考改编)已知 00, b0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由题知 2b12, ,且 c2 a2 b2,ca 54 b6, c10, a8.所求双曲线的标准方程为 1 或 1.x264 y236 y264 x236(2)当焦点在 x 轴上时,由 且 a3,得 b .ba 32 92所求双曲线的标准方程为 1.x29 4y281当焦点在 y 轴上时,由 且 a3,得 b2.ab 32所求双曲线的标准方程为 1.y29 x24(3)设与双曲线 y21 有公共渐近线的双曲线方程为 y2 k
5、,将点(2,2)代入,x22 x22得k (2) 22,222双曲线的标准方程为 1.y22 x24一点通 由双曲线的性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,其步骤为:(1)判断:利用条件判断焦点的位置;(2)设:设出双曲线的标准方程;(3)列:利用已知条件构造关于参数的方程;(4)求:解参数方程,进而得标准方程54(广东高考改编)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率为 ,则 C32的方程是_解析:由题意可知 c3, a2, b ,故双曲线的方程为c2 a2 32 22 5 1.x24 y25答案: 1x24 y255已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),
6、且焦距与虚轴长之比为 54,则双曲线的标准方程是_解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在 x 轴上,且 a3,焦距与虚轴长之比为 54,即 c b54,解得 c5, b4,则双曲线的标准方程是 x291.y216答案: 1x29 y2166求中心在原点,焦点在坐标轴上,过点 M(3,4)且虚轴长是实轴长的 2 倍的双曲线方程解:若焦点在 x 轴上,则双曲线方程为 1.x2a2 y2b2 M(3,4)在双曲线上, 1.9a2 16b2又 b2 a,94164 a2,解得 a25, b220,双曲线方程为 1.x25 y220若焦点在 y 轴上,则双曲线方程为 1.y2a2
7、x2b2 M(3,4)在双曲线上, 1,16a2 9b2又 b2 a,16494 a2,解得 a2 , b255,554双曲线方程为 1.4y255 x255综上可知,双曲线方程为 1 或 1.x25 y220 4y255 x255求双曲线的离心率及其范围6例 3 (1)设 ABC 是等腰三角形, ABC120,则以 A, B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为_(2)已知双曲线 1( a0, b0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60的直线x2a2 y2b2与双曲线的右支有且只有一个交点,则双曲线离心率的范围是_思路点拨 (1)根据图形并由双曲线的定义确定 a 与 c 的关系,求出
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