2019届高考数学二轮复习专题二第3讲平面向量学案.docx
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1、1第 3 讲平面向量1以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算,多以熟知的平面图形为背景,难度中低档;2以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积,多考查角、模等问题,难度中低档;3向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合,以解答题形式出现1平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量 a(a0)与 b 共线当且仅当存在唯一一个实数 ,使 b a(2)平面向量基本定理:如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a,有且只有一对实数 1, 2,使 a 1e1 2e2,其中 e1, e2是一组基底2平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a( x
2、1, y1), b( x2, y2),则(1)a ba bx1y2 x2y10(2)a bab0 x1x2 y1y203平面向量的三个性质(1)若 a( x, y),则| a| aa x2 y2(2)若 A(x1, y1), B(x2, y2),则| | AB ( x2 x1) 2 ( y2 y1) 2(3)若 a( x1, y1), b( x2, y2), 为 a 与 b 的夹角,则 cos ab|a|b|4平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件: O 为平面上一点,则 A, B, P 三点共线的充要条件是 1 2 (其中OP OA OB 1 21)(2)三角形中线向量公式:若 P 为
3、OAB 的边 AB 的中点,则向量 与向量 , 的关系是 ( )OP OA OB OP 12OA OB (3)三角形重心坐标的求法: G 为 ABC 的重心 0 G GA GB GC (xA xB xC3 , yA yB yC3 )热点一 平面向量的有关运算【例 1】(1)(2018大连八中)已知向量 1,a, 3,mb, ab,则 m=()A B2 C D3-2 -32(2)设 D, E 分别是 ABC 的边 AB, BC 上的点, AD AB, BE BC若 1 2 ( 1, 2为实数),12 23 DE AB AC 则 1 2的值为_解析 (1)向量 1,a, 3,mb, ,1mab,
4、ab,121(1+m) ,m3故选 C(2) ( ) , 1 2 ,DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23AC AB 16AB 23AC DE AB AC 1 , 2 ,因此 1 2 16 23 12答案 (1)C (2)12探究提高 对于平面向量的线性运算,首先要选择一组基底,同时注意共线向量定理的灵活运用其次运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系【训练 1】(2019广州一模)已知 的边 上有一点 满足 ,则 可表示为( )ABC BC DD BD=4DC ADA BAD=14AB+34AC AD=34AB+14ACC DAD=45AB+15AC AD=15AB+4
5、5AC解析由题意可知 ,故选 DAD=AB+BD=AB+45BC=AB+45(AC-AB)=AD=15AB+45AC答案 D热点二 平面向量的数量积命题角度 1 平面向量数量积的运算【例 21】(1) (2019株洲质检)在 中,点 为斜边 的中点, , ,则RtABC D BC |AB|=8 |AC|=6()ADAB=A48 B40 C32 D16(2)(2016山东卷)已知非零向量 m, n 满足 4|m|3| n|,cos m, n 若 n( tm n),则实数 t 的值为13()A4 B4 C D94 94解析 (1)因为点 为斜边 的中点,所以 ,D BC AD=12(AB+AC)所
6、以 ,ADAB=12(AB+AC)AB=12AB2+12ACAB又 中 ,所以 ,故选 CRtABCAC AB ADAB=12AB2=12|AB|2=323(2) n( tm n), n(tm n)0,即 tmn n20, t|m|n|cos m, n| n|20,由已知得 t|n|2 | n|20,解得 t434 13答案 (1)C (2)B探究提高 1求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义2进行向量的数量积的运算,首先要有“基底”意识,关键用基向量表示题目中所求相关向量其次注意向量夹角的大小,以及夹角 0,90,180三种特殊情形3求两向量的夹角:
7、cos ,要注意 0,ab|a|b|4两向量垂直的应用:两非零向量垂直的充要条件是: a bab0 |a b| a b|5求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有:(1)a2 aa| a|2或| a| aa(2)|ab| ( ab) 2 a22ab b2(3)若 a( x, y),则| a| x2 y2【训练 2】(1)(2015福建卷)已知 ,| | ,| | t,若点 P 是 ABC 所在平面内的一点,且 AB AC AB 1t AC AP ,则 的最大值等于()AB |AB |4AC |AC | PB PC A13 B15 C19 D21(2)(2019新泰一中)已知向量 与 的夹
8、角为 120,且 ,那么 的值为()a b |a|=|b|=2 b(2a-b)A8 B6 C0 D4解析 (1)建立如图所示坐标系,则 B , C(0, t), , (0, t),(1t, 0) AB (1t, 0) AC 则 t (0, t)(1,4)点 P(1,4),AP AB |AB |4AC |AC | (1t, 0) 4t则 (1, t4)17 172 13,PB PC (1t 1, 4) (1t 4t) 1t4t当且仅当 4t ,即 t 时取等号,故 的最大值为 131t 12 PB PC (2)向量 与 的夹角为 ,且 ,可得a b 120|a|=|b|=2,即有ab=|a|b|
9、cos120=22(-12)=-24故选 Ab(2a-b)=2ab-b2=2(-2)-4=-8答案 (1)A (2)A热点三 平面向量与三角的交汇综合【例 3】(2017郑州质检)已知向量 m(2sin x ,cos 2x sin 2x ), n( cos x ,1),其中 0,3xR若函数 f(x) mn 的最小正周期为 (1)求 的值;(2)在 ABC 中,若 f(B)2, BC ,sin B sin A,求 的值3 3 BA BC 解 (1) f(x) mn2 sin x cos x cos 2x sin 2x sin 2x cos 3 32x 2sin (2 x 6) f(x)的最小正
10、周期为 , 2Tw 0, 1(2)设 ABC 中角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c f(B)2,2sin 2,即 sin 1,解得 B (B(0,)(2B 6) (2B 6) 23 BC , a ,sin B sin A, b a, b33 3 3 3由正弦定理,有 ,解得 sin A 0 A , A C , c a 3sin A 3sin 23 12 3 6 6 3 cacos B cos BA BC 3 3 23 32探究提高 1破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法” ,即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化
11、简” ;然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系” ;再活用正、余弦定理,对三角形的边、角进行互化2这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣” ,转化为三角函数的相关知识进行求解【训练 3】(2018天津七校)在平面直角坐标系 中,已知向量xoya=(cosx,sinx),b=(1,3),x ( 3, )(1)若 ,求 的值;a b x(2)若 与 的夹角为 ,求 的值a b 6 cosx解(1) , ,a b ab=0又 ,ab=cosx+ 3sinx=2(12cosx+ 32sinx)=2cos(x- 3)=0 x- 3=k + 2(k Z)5
12、, x ( 3,) x=56(2) ,ab=|a|b|cos 6=1232= 3 , ,2cos(x- 3)= 3 cos(x- 3)= 32 x ( 3,) x- 3 (0,23) sin(x- 3)=12= cosx=cos(x- 3)+ 3=cos(x- 3)cos 3-sin(x- 3)sin 3061(2018全国 I 卷)在 中, 为 边上的中线, 为 的中点,则 ()ABC ADBC E AD EB=A B34AB-14AC 14AB-34ACC D34AB+14AC 14AB+34AC2(2018全国 II 卷)已知向量 a, b满足 , ab,则 2ab()A4 B3 C2
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