[考研类试卷]考研数学三（微积分）模拟试卷159及答案与解析.doc

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1、考研数学三（微积分）模拟试卷 159 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列叙述正确的是( ) 2 曲线 yx(x1)(2 x)与 x 轴所围成的图形面积可表示为( )（A） 02x(x1)(2 x)dx（B） 01x(x1)(2 x)dx 12x(x1)(2x)dx（C） 01x(x1)(2 x)dx 12x(x1)(2x)dx（D） 02x(x 1)(2x)dx3 设 f(x)在( ，) 上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B） x0 为f( x) 的极小值点（C） x0 为f(x)的极小值点

2、（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)4 设 b，其中 a，b 为常数，则( ) 。（A）a1， b1（B） a1，b1（C） a1，b1（D）a1 ，b1二、填空题5 (x2x 3sin )_6 设 yx 55 xtan(x 21)，则 y_7 _8 设 zln _9 计算 _10 设 y3yay5e x 的特解形式为 Axex ，则其通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 13 讨论函数 f(x) 的连续性14 设 f(x)在 xa 处二阶可导，证明： f(a)15 设 f(x)在a，b上满足f(x)2，且 f(x)在(a，b)内取到最小值证明：f(a)

3、f(b)2(ba)16 求曲线 y 的斜渐近线17 求 18 设 f(x) 求 02f(x1)dx19 设 f(2) ，f(2)0， 02f(x)dx1，求 01x2f(2x)dx20 设曲线 ya xx 3，其中 a0当 x0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 x 轴上方与 x 轴所围成图形的面积相等，求 a 21 设 zf(x 2y 2，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 22 设 f(x)连续，f(0)1，令 F(t) f(x2y 2)dxdy(t0)，求 F(0)23 判断级数 的敛散性24 求幂级数 (2n1)x n 的收敛域及和函数2

4、5 设 f(x)二阶可导，且 0xf(t)dt 0xtf(xt)dt x1，求 f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 159 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 yx(x1)(2x) 与 x 轴的三个交点为 x0，x1，x2，当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0，所以围成的面积可表示为(C)的形式，选(C)【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 yf(x)的图像与 yf(x) 的图像关于 y 轴对称，所以x 0 为f(x)的极大值点，从而x

5、 0 为f( x)的极小值点，选(B) 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 5x 45 xln52xsec 2(x21)【试题解析】 y5x 45 xln52xsec 2(x21)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 1sin1【试题解析】 改变积分次序得 dx 01(1y)sinydy 01(y1)d(cosy)(y1)cosy 01 01cosydy1sin1【知识模块】

6、 微积分10 【正确答案】 yC 1ex C 2e4xxe x【试题解析】 因为方程有特解 Axex ，所以1 为特征值，即(1) 23(1)a0 a4所以特征方程为 23 4 0 11， 24，齐次方程y3yay0 的通解为 yC 1ex ，再把 Axex 代入原方程得 A1，原方程的通解为 yC 1e xC 2e4xxe x 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 当 x0 时，函数 f(x)连续， x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】

7、 微积分14 【正确答案】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内取到最小值，所以存在 c(a，b)，使得 f(c)为f(x)在a，b上的最小值，从而 f(c)0由微分中值定理得 其中 (a,c)，(c,b)，两式取绝对值得 两式相加得f(a) f(b)2(ba) 【知识模块】 微积分16 【正确答案】 由 11 得曲线 y 的斜渐近线为 y2x11【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 02f(x1)dx 02f(x1)d(x1) 1 1f(x)dx 1 0 01ln(1x)dxarctanx 1 0xln(1x) 01

8、 01 dx 2ln2 1【知识模块】 微积分19 【正确答案】 01x2f(2x)dx 01(2x)2f(2x)d(2x) 02x2f(x)dx 02x2df(x) x2f(x) 022 02xf(x)dx 02xdf(x) xf(x) 02 02f(x)dx 2f(2)10【知识模块】 微积分20 【正确答案】 设曲线 yaxx 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，()，由条件得 0a(axx 3)dx (axx 3)dx，移项得 0a(axx 3)dx (axx 3)dx 0(axx 3)dx (4a2 3)0，因为 0，所以 4a2 30又因为( ， 0)为曲线 ya x x3 与

9、x 轴的交点，所以有 30，从而有 3a【知识模块】 微积分21 【正确答案】 2xf 1yf 2f 3， 2x(2yf 11xf 12)f 2y(2yf 21f 22)2yf 31xf 324xyf 112(x 2y 2)f12f 2xyf 222yf 31xf 32【知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 xrcos，yrsin，则 F(t) 02xd0trf(r2)dr2 0trf(r2)dr，因为 f(x)连续，所以 F(t)2tf(t 2)且 F(0)0，于是 2f(t2)2f(0)2【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由 得该级数的收敛半径为 R1，因为当 x1 时，(2n1)(t1) n 发散，所以级数的收敛域为(1，1)【知识模块】 微积分25 【正确答案】 0xtf(xt)dt x0xf(u)du 0xuf(du)x 0xf(t)dt 0xtf(t)dt， 0xf(t)dt 0xtf(xt)dtx1 可化为 0xf(t)dtx 0xf(t)dt 0xtf(t)dtx1，两边求导得 f(x) 0xf(t)dt1，两边再求导得 f(x)f(x) 0，解得 f(x)Ce x ，因为 f(0)1，所以C1，故 f(x)e x 【知识模块】 微积分