[考研类试卷]考研数学二（微分方程）模拟试卷6及答案与解析.doc

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1、考研数学二（微分方程）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y“+2y+y=sh x 的一个特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )（A）ash x（B） ach x（C） ax2e 一 x+bex（D）axe 一 x+bex2 设 f(x)连续，且满足 f(x)=02xf( )dt+ln 2，则 f(x)= ( )（A）e xln 2（B） exln 2（C） ex+ln 2（D）e 2x+ln 23 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )（A）y=f(x)+Ce

2、 一 f(x)（B） y=f(x)+1+Ce 一 f(x)（C） y=f(x)一 C+Ce 一 f(x)（D）y=f(x)一 1+Ce 一 f(x)4 方程 y(4)一 2y“一 3y=e 一 3x 一 2e 一 x+x 的特解形式(其中 a，b，c ，d 为常数)是 ( )（A）axe 一 3x+bxe 一 x+cx3（B） ae 一 3x+bxe 一 x+cx+d（C） ae 一 3x+bxe 一 x+cx3+dx2（D）axe 一 3x+be 一 x+cx3+dx5 已知 y1=xex+e2x 和 y2=xex+e 一 x 是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）

3、y“一 2y+y=e2x（B） y“y一 2y=xex（C） y“一 y一 2y=ex 一 2xex（D）y“一 y=e2x6 微分方程 y“一 y=ex+1 的特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx二、填空题7 微分方程 y“= 的通解为_8 微分方程 y“一 2y=xx+e2x+1 的待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是_9 特征根为 r1=0，r 2,3= i 的特征方程所对应的三阶常系数线性齐次微分方程为_10 满足 f(x)+xf(一 x)=x 的函数 f(x)=_11 已知 01f(tx

4、)dt= f(x)+1，则 f(x)=_12 微分方程 xdyydx=ydy 的通解是_13 微分方程 =0 的通解是_14 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求(y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一 3x2yx3+y2)dy=0 的通解16 求微分方程 y“(3y2x)=y满足初值条件 y(1)=y(1)一 1 的特解17 求微分方程 =y4 的通解18 求微分方程 y“+2y+2y=2e 一 xcos2 的通解19 求 y“一 y=e|x|的通解20 设函数 f(u)有连续的一阶导数

5、，f(2)=1，且函数 z= 满足 ，x0，y0， 求 z 的表达式21 设 z=z(u，v)具有二阶连续偏导数，且 z=z(x 一 2y，x+3y)满足 ， 求 z=z(u，v)的一般表达式22 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y“一(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解23 求二阶常系数线性微分方程 y“+y=2x+1 的通解，其中 为常数24 (1)用 x=et 化简微分方程 25 设 L 是一条平面曲线，其上任意一点 P(x，y)(x0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 y 轴上的截距，且 L 经过点( ，0) (1)试求曲线 L 的方程； (2) 求L 位于第一象限部分

6、的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围图形的面积最小26 设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及到 z 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S1，区间 0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S2，并设 2S1S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程27 位于上半平面向上凹的曲线 y=y(z)在点(0，1)处的切线斜率为 0，在点(2，2)处的切线斜率为 1邑知曲线上任一点处的曲率半径与 及(1+y 2)的乘积成正比，求该曲线方程考研数学二（微分方程）模拟试卷 6 答案与解

7、析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程为 r2+2r+1=0，r=一 1 为二重特征根，而 f(x)=sh x=，故特解为 y*=ax2e 一 x+bex【知识模块】 微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 =2，积分得 f(x)=Ce2x，又 f(0)=ln 2，故 C=ln 2，从而 f(x)=e2xln 2【知识模块】 微分方程3 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得 y=e 一f(x)dx C+f(x)y(x)e 一 f(x)dx =e 一fx)C+f(x)

8、def(x)=Ce 一 f(x)+f(x)一 1(其中 C 为任意常数)【知识模块】 微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r2 一 2r 一 3)=0，特征根为 r1=3，r 2=一 1，r 3=r4=0，对f1=e 一 3x， 1=一 3 非特征根，y 1*=ae 一 3x；对 f2=一 2e 一 x， 2=一 1 是特征根，y2*=bxe 一 x；对 f3=x， 3=0 是二重特征根，y 3*=x2(cx+d)，所以特解y*=y1*+y2*+y3*=ae 一 3x+bxe 一 x+cx3+dx2【知识模块】 微分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解

9、之差必为对应齐次方程之解，由 y1 一 y2=e2x 一e 一 x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2e 一 x，故特征根 r1=2，r 2=一 1对应齐次线性方程为 y“一 y一 2y=0 再由特解 y*=xex 知非齐次项 f(x)=y *“一 y*一 2y*=ex 一 2xex， 于是所求方程为 y“ 一 y一 2y=ex 一 2xex【知识模块】 微分方程6 【正确答案】 B【试题解析】 根据非齐次方程 y“一 y=ex+1 可得出对应的齐次方程 y“一 y=0，特征根为 1=一 1， 2=1，非齐次部分分成两部分 f1(x)=ex，f 2(x)=1，可知 y“一

10、y=ex+1 的特解可设为 axex+b【知识模块】 微分方程二、填空题7 【正确答案】 y=xln(x+ +C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微分方程8 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r2 一 2r=0，特征根为 r1=0，r 2=2 对 f1=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y1*=x(Ax2+Bx+C) 对 f2=e2x， 2=2 也是特征根，故有y2*=Dxe2x从而 y*如上【知识模块】 微分方程9 【正确答案】 y“一 y“+ y=0【试题解析】 特征方程为其相应的微分方程即所答方程【知识

11、模块】 微分方程10 【正确答案】 ln(1+x2)+xarctanx+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 在原方程中以(一 x)代替 x 得 f(一 x)一 xf(x)=一 x，与原方程联立消去 f(一 x)项得 f(x)+x2f(x)=x+x2，所以 f(x)= ，积分得 f(x)= ln(1+x2)+x 一 arctan x+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程11 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得用线性方程通解公式计算即得 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 微分方程12 【正确答案】 =C，其中 C

12、 为任意常数【试题解析】 【知识模块】 微分方程13 【正确答案】 y=C 1x5+C2x3+C3x2+C4x+C5，C 1，C 2，C 3，C 4，C 5 为任意常数【试题解析】 令 u=Cx，积分四次即得上述通解【知识模块】 微分方程14 【正确答案】 y“一 3y“=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=r3=0(二重根)特征方程为 r33r2=0，相应齐次线性方程即 y“一 3y“=0【知识模块】 微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将原给方程通过观察分项组合 (y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3

13、xy2 一3x2yx3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)一 3xy(ydx+xdy)一(3x 2ydx+x3dy)+y2dy =0，即【知识模块】 微分方程16 【正确答案】 化为 3p 2dp 一(xdp+pdx)=0这是关于 p 与 x 的全微分方程，解之得 p3 一 xp=C1以初值条件：x=1 时， p=1 代入，得 1 1=C1，即 C1=0从而得 p3 一 xp=0分解成 p=0 及p2=x，即【知识模块】 微分方程17 【正确答案】 综合(1)，(2)，(3)便得原方程的通解【知识模块】 微分方程18 【正确答案】 应先用三角公式将自由项写成 e 一 x+e 一 x co

14、s x，然后再用叠加原理用待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1cos x+C2sin x)e 一 x为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e 一 x，e 一 xxcos x，分别考虑 y“+2y+2y=e一 x， 与 y“+2y+2y=e 一 x cos x 对于式 ，令 y 1*=Ae 一 x，代入可求得A=1，从而得 y1*=e 一 x 对于式，令 y 2*=xe 一 x(Bcosx+Csin x)，代入可求得B=0，C= 由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y1*+y2*=e 一 x(C1cos x+C2sin x)+e 一 x+ xe 一 xsin x，其中 C1

15、，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程19 【正确答案】 自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e|x|在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，方程为 y“一 y=ex，求得通解 y=C 1ex+C2e 一 x+ xex 当 x0 时，方程为 y“一 y=e一 x，求得通解 y=C 3ex+C4e 一 x 一 xe 一 x 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且y(x)也连续，据此，有其中C1，C 1 为任意常数此 y 在 x=0 处连续且 y连

16、续又因 y“=y+e|x|，所以在 x=0 处y“亦连续，即是通解【知识模块】 微分方程20 【正确答案】 初值条件是 u=2 时 f=1微分方程的解应该是 u 的连续函数，由于初值条件给在u=2 处，所以 f 的连续区间应是包含 u=2 在内的一个开区间 解式得通解【知识模块】 微分方程21 【正确答案】 以 z=z(u，u)，u=x 一 2y，v=x+3y 代入式，得到 z(u，v)应满足的微分方程，也许这个方程能用常微分方程的办法解之其中(u)为具有连续导数的 u 的任意函数，(v) 为具有二阶连续导数的 v 的任意函数，其中 u=x 一 2y，v=x+3y 【知识模块】 微分方程22

17、【正确答案】 令 t=ex，则 y=f(t)，y=f(t)e x=tf(t)，y“=tf(t) x=exf(t)+tf“(t)e x=tf(t)+t2f“(t)，代入方程得 t2f“(t)+tf(t)一(2t+1)tf(t)+t 2f(t)=t3，即 f“(t)一2f(t)+f(t)=t解得 f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以 y“=(2ex+1)y+e2xy=e3x 的通解为y=(C1+C2ex) +ex+2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程23 【正确答案】 对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程 r2+r=0 的特征根为 r=0 或 r=一 当 0 时，y“

18、+y=0 的通解为 y=C1+C2e 一 x设原方程的特解形式为y*=x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得【知识模块】 微分方程24 【正确答案】 (2)齐次方程 y“+2y+5y=0 的特征方程为 2+2+5=0，解得 1,2=一 12i，故 y 齐通(t)=e 一 t(C1 cos 2t+C2 sin 2t) 令 y*(t)=(at+6)et 代入得 a=2，b=一 1，故 y 通 (t)=e 一 t(C1cos 2t+C2sin 2t)+(2t 一 1)et，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微分方程25 【正确答案】 (1)设曲线 L 过点 P(x，y)的切线方程为 Yy=y(Xx)令 X=0，则得该切线在 y 轴上的截距为 y 一 xy【知识模块】 微分方程26 【正确答案】 曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y 一 y=y(x)(Xx)，它与 x 轴的交点为 N(x 一 ，0)由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是注意到 y(0)=1，并由式得 y(0)=1由此可得 C1=1，C 2=0，故所求曲线的方程是y=ex【知识模块】 微分方程27 【正确答案】 由已知，有 y(0)=1，y(0)=0 ，y(2)=2 ，y(2)=1 【知识模块】 微分方程