2014届河南省中原名校高三高考仿真模拟统一考试理科数学试卷与答案（带解析）.doc

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1、2014届河南省中原名校高三高考仿真模拟统一考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，则 A B 1 C 0， 1 D 答案： D 试题分析：由题知 M=0， + ）， N=- ， ，所以 0， ，故选 D 考点：二次函数值域，圆的性质，集合运算 过原点的直线交双曲线 于 P， Q两点，现将坐标平面沿直线y= -x折成直二面角，则折后 PQ长度的最小值等于 A B 4 C D 答案： B 试题分析： 双曲线 是等轴双曲线，以直线 y=x为渐近线 将双曲线按逆时针方向旋转 45角，可得双曲线 的图象 双曲线 的顶点（ ， 0），逆时针方向旋转 45 变为点（ ， ） 点（ ， ）在

2、的图象上，可得 m= ， 即双曲线按逆时针方向旋转 45角，得到双曲线 的图象 问题转化为：过原点的直线交双曲线 于 P、 Q两点 将坐标平面沿直线 y轴折成直二面角，求折后线段 PQ的长度的最小值 设 P（ t， ）（ t 0），过点 P作 PM y轴于 M，连结 MQ， 可得 M（ 0， ）， Q（ -t， - ）， |MQ|= = ，在折叠后的图形中， Rt PMQ中，|PM|=t， 得 |PQ|2=|PM|2+|MQ|2= =16， 当且仅当 t2=4，即 t=2时等号成立， 当 t=2时，即 P坐标为（ 2， ）时， |PQ|的最小值为 =4 综上所述，折后线段 PQ的长度的最小值等

3、于 4，故选 B 考点：两点间的距离公式、面面垂直的性质、勾股定理，基本不等式求最值，逻辑推理能力，运算能力，转化与化归思想，数形结合思想 已知函数 的值域为 ，若关于 x的不等式 的解集为 ，则实数 m的值为 A 25 B -25 C 50 D -50 答案： C 试题分析：由函数 的值域为 知， =，所以 = ，不等式 ，即 ，即的解集为 ，设方程 =0 的两根为 ，则 ， = ，所以 10=|n+10-n|=| - |= = ，所以 =50，故选 C 考点：二次函数性质，二次函数与不等式的关系，根与系数关系 已知函数 的导函数为 ，满足 ，且 ，则 的单调性情况为 A先增后减 B单调递增

4、 C单调递减 D先减后增 答案： C 试题分析：由 知， ，故= ，所以 = ，因为 ，所以 c= ，所以 = ，所以 = = ，设 =，所以 = ， 当 0 时， 0，当 时， 0，则 在（ 0， ）是增函数，在（ ， + ）上是减函数，所以当 时， 取最大值 =0，所以当 0时， 0，即 0，所以 单调递减，故选 C 考点：常见函数的导数，导数的运算法则，导数的综合运用 设 为单位向量，若 满足 ，则 的最大值为 A B 2 C D 1 答案： A 试题分析：由若 满足 知， = ，当且仅当 与 同向且 | | |时，取等号，所以 | | ，而有基本不等式知， ( )2 =8，所以 ，当且

5、当即 时，取等号，故 | |的最大值为 ，故选 A 考点：向量加法的平行四边形法则，基本不等式 设变量 x， y满足约束条件 ，则目标函数 z= 的最大值为 A 11 B 10 C 9 D 13 答案： D 试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线 ： ，平移直线 ，由图可知，直线 ： z= 过点 A（ 0， 4）时， z取最大值 13，故选 D 考点：简单线性规划解法 设随机变量 服从正态分布 若 ，则 的值为 A -1 B l CD 答案： D 试题分析：由 知， =1- = ，由正态分布曲线的对称性知 = ，故选 D 考点：正态分布 已知双曲线 的一条渐近线方程是 ，它的一个焦点

6、在抛物线 的准线上，则双曲线线的方程为 A B C D 答案： A 试题分析：由题知 ， =12，所以 ，所以 ，解得=36，所以 =108，所以双曲线的标准方程为 ，故选 A 考点：双曲线的标准方程与几何性质，抛物线的性质 等差数列 的前项 n 和为 ，满足 ，则 的值为 A 2014 B -2014 C 1 D 0 答案： A 试题分析：由等差数列性质 “若 ，则 =0”知， ，得 =0， =2 =0，所以 =0 2014+ 2014，故选 A 考点：等差数列性质，平面向量数量积 一只蚂蚁从正方体 ，的顶点 A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 位置，则下列图形中可以表示正方

7、体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是 A B C D 答案： C 试题分析：由点 A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 C1位置，共有 6种展开方式，若把平面 ABA1B1和平面 BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过 BB1的中点，故此时的正视图为 若把平面 ABCD和平面 CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接 AC1会经过CD的中点，此时正视图会是 其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在 中了，故选 C 考点：空间几何体的展开图，三视图 如图，在程序框图中输入 n=14，按程序运行后输出的结果是 A 0 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：运行第一次

8、n=14，是奇数，否， =7， =1， n=7=1否，循环， 运行第二次 n=7，是奇数，是， =3， =2， n=3=1否，循环， 运行第三次 n=3，是奇数， =1， =3， n=1=1是，输出 i=3，故选C 考点：程序框图 ，则 A B C D 答案： B 试题分析：由题知 z= = = = ，所以 |z|= ，故选 B 考点：复数的运算，复数的模 填空题 已知数列 的前 n项和为 ，满足 ， 的前 n项和为 ，则 _ 答案： 试题分析：当 n=1时， = = ，所以 = ， 当 时， = ， 当 （ ）时， = ，即 = ， 当 （ ）时， = ，所以 =0， 所以 = = +0+

9、+0+ + +0= = 考点：数列第 n项与前 n项和的关系，递推数列，分组求和思想，等比数列前n项和公式 已知 ABC的三个顶点在以 O为球心的球面上，且 ， BC=1，AC=3，三棱锥 O- ABC的体积为 ，则球 O的表面积为 _。 答案： 试题分析：设球的半径为 R， ABC的外接圆半径为 r，球心 O到截面 ABC的距离为 ，由 得， = ，= ，解得 AB= ，所以 = = ，所以 = = = ，解得 = ，由正弦定理知， 2r= =3，所以 r= ，由球的截面性质知， =2，所以球 O的表面积为 = 考点：球的截面性质，球的表面积公式，棱锥的体积公式，正弦定理，余弦定理，运算求解

10、能力 己知 ，则 tan 2a=_ 答案： 试题分析：由 得， = ，代入整理得， ，解得 = 或 = ， 当 = 时， = ，所以 =2，所以 = = ； 当 = 时， =- ，所以 = ，所以 = = ， 综上所述， 的值为 考点：同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想 的展开式中 的系数是 _（用数字作答） 答案： -784 试题分析：因为 = ，所以 的系数为当 展开式分别取常数项， 而 展开式分别取 ，常数项对应项系数乘积的和，即为 =-784 考点：二项式定理，分类整合思想 解答题 在直角坐标系中，以原点为极点， x轴的正半辐为极轴建立极坐标系，已知曲线 ，过点 P(-2

11、， -4)的直线 的参数方程为：（ t为参数），直线 与曲线 C相交于 M， N两点 ( )写出曲线 C的直角坐标方程和直线 的普通方程； ( )若 成等比数列，求 a的值 答案： ( ) ， ； ( )1 试题分析： ( ) 将 两边乘以 得， ，将代入上式得曲线 C的直角坐标方程，消去直线 的参数方程中的参数 得直线 普通方程； ( )将将直线 的参数方程代入曲线 C的普通方程中，整理关于 t的二次方程，设 M， N两点对应的参数分别为 ，利用一元二次方程根与系数将 ， 用 表示出来，由 成等比数列，知，利用直线参数方程中参数 t的几何意义，将上式用 表示出来，再转化为关于 与 的方程，利

12、用前面 ， 关于 的表示式，将上述方程化为关于 的方程，即可解出 的值 试题： ( ) 将 两边乘以 得， ， 将 代入上式得曲线 C的直角坐标方程为 ， 消去直线 的参数方程中的参数 得直线 普通方程为 ；（ 3分） ( )将直线 的参数方程代入 中，得 ， 设 M， N两点对应的参数分别为 ，则有 = ， = ，（ 6分） 因为 成等比数列，所以 ， ， 即 = ，解得 =1或 =-4（舍） (10分 ) 考点：极坐标方程与直角坐标互化，参数方程与普通方程互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数 t的几何意义，设而不求思想 如图，四边形 ABCD是边长为 a的正方形，以 D为圆心

13、， DA为半径的圆弧与以 BC为直径的半圆 O交于点 C、 F，连接 CF并延长交 AB于点 E ( )求证： E是 AB的中点。 ( )求线段 BF的长 答 案： ( ) 见； ( ) a 试题分析： ( ) 由以 D为圆心 DA为半径作圆，而 ABCD为正方形，所以DA AE，所以 EA为圆 D的切线，依据切割线定理，得 EA2=EF EC，又圆 O以 BC为直径，所以 OB BE，所以 EB是圆 O的切线，同样依据切割线定理得EB2=EF EC，故 AE=EB， E是 AB中点 ( )根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段。

14、试题： ( )由以 D为圆心 DA为半径作圆，而 ABCD为正方形， EA为圆 D的切线， 依据切割线定理，得 EA2=EF EC （ 2分） 另外圆 O以 BC为直径， EB是圆 O的切线， 同样依据切割线定理得 EB2=EF EC （ 4分） 故 AE=EB，故 E是 AB中点 （ 5分） ( )连接 BF， BEF= CEB， ABC= EFB FEB BEC，得 ， ABCD是边长为 a的正方形， 所以 BF a （ 10分） 考点：切割线定理，三角形相似的判定与性质，弦切角定理 设函数 ( )若 ，是否存在 k和 m，使得 ，若存在，求出 k和 m的值，若不存在，说明理由 ( )设

15、有两个零点 ，且 成等差数列， 是 G (x)的导函数，求证： 答案： ( ) 存在 k=2， m=-1； ( )见 试题分析： ( )先求 ，然后根据条件很容易求出 a， b，此时会发现 和图象有一个公共点（ 1， 1），根据问题：是否存在 k和 m，使得， ，也就是找到一条直线要同时满足这两个不等式根据存在的公共点可以想到是否是过这一点的直线，故先求出还 在（ 1， 1）的切线，然后去验证它是否同时满足 ， 即可 ( )先求出 ，根据条件 x1， x2是它的两个零点，所以 x12 alnx1 bx1+2 0且 x22 alnx2 bx2+2 0根据所要证的结论： ，所以需要求 ，利用x1+

16、x2=2x0，将 用 x1， x2表示出来，然后判断它是否大于 0即可 试题： ( ) = ， = ，由 得： a+b 2， b 1，解得，解得 a=b=1 = 因 与 有一个公共点（ 1， 1），易求得函数 = 在点（ 1， 1）的切线方程为 下面验证 ， 都成立即可 设 h（ x） =lnx+x-(2x-1)=lnx-x+1，所以 = x （ 0， 1）时， 0； x （ 1， +）时， 0， x=1时， 取最大值 =0； lnx+x2x-1恒成立，即 2 由于 ，得 ， 恒成立 故存在这样的 k， m，且 k=2， m=-1 6分 ( )因为 = = ，有两个零点 x1， x2， 则 x

17、12 alnx1 bx1+2 0且 x22 alnx2 bx2+2 0， 两式相减得， x12 x22-a(lnx1 lnx2)-b(x1 x2) 0， 所以 = ，又因为 x1+x2=2x0， 因为 = ，所以 = 相关试题 2014届河南省中原名校高三高考仿真模拟统一考试理科数学试卷（带） 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ( )求椭圆的标准方程； ( )四边形 ABCD的顶点在椭圆上，且对角线 AC、 BD过原点 O，若 (i)求 的最值： （ i i）求证：四边形 ABCD的面积为定值 答案： ( ) ( )（ ） 2， （ i i）见 试题分析： ( ) 由离心率为 知 = ，将点 代

18、入椭圆方程，又可得到关于 a， b的方程，结合 即可求出 的值，得到椭圆方程； ( )（ ）设出点 A， B的坐标及直线 AB的方程，将直线 AB的方程代入椭圆方程，化为关于 x的二次方程，利用点 A、 B的横坐标分别为该二次方程的解，则判别式大于等于 0，且利用韦达定理，将横坐标之和和之积用参数表示出来，利用直线的斜率公式将直线 OA、 OB的斜率用参数表示出来，在利用条件找出参数的关系式，利用向量数量积坐标公式将 用参数表示出来，将其化为函数的最值问题，利用函数求最值的方法 的最值；（ i i）由椭圆的对称性知四边形 ABCD为平行四边形，故四边形 ABCD的面积化为 4个 OAB，利用点

19、到直线距离公式距离公式和弦长公式求出 AOB为定值，就证明了四边形 ABCD的面积为定值 试题： ( )由题意 又 解得 ，故椭圆的标准方程为 （ 4分） ( )设直线 AB的方程为 联立 ，得 又 = = =， (8分 ) （ ）当 （此时 满足 式），即直线 AB平行于 轴时， 的最小值为 -2 又直线 AB的斜率不存在时， ， 的最大值为 2 （ ）设原点到直线 AB的距离为 ，则 = = = = = = ， S 四边形 ABCD = 4SAOB = ， 即四边形 ABCD的面积为定值 （ 12分） 考点：椭圆的标准方程与几何性质，直线与椭圆的位置关系，平面向量的数量积，设而不求思想，运

20、算求解能力 （本小题满分 12分） 如图所示的几何体中，四边形 ABCD是等腰梯形， AD/CD， ， FC 平面 ABCD， AE BD， CB =CD=-CF ( )求证：平面 ABCD 平面 AED； ( )直线 AF与面 BDF所成角的余弦值 答案： ( )见 ( ) 试题分析： ( )通过计算可证得 AD BD，又因为 AE BD，由线面垂直的判定定理得， BD 面 ADE，由面面垂直的判定定理得，面 ADE 面 ABCD； ( )由 ( )知 AD BD，同理可证 AC BC，因为 CF 面 ABCD，所以以 CA，CB， CF分别为 建立空间直角坐标系，设 BC=1，求出 A、

21、B、 D， F点的坐标，求出 的坐标和平面 BDF法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算出这两个向量夹角的余弦值，利用同脚三角函数基本关系求出向量夹角的正弦值即为线面夹角的余弦值 试题： ( ) 四边形 ABCD是等腰梯形， AB CD， DAB=60， ADC= BCD=120， 又 CB=CD， CDB=30， ADB=90， AD BD， 又 AE BD，且 AEAD=A， AE， AD 平面 AED， BD 平面 AED， 平面 ABCD 平面 AED ( )连结 AC，由 ( )知 AD BD， AC BC， 又 FC 平面 ABCD， CA， CB， CF两两垂直， 以 C为坐标原

22、点，建立空间直角坐标系，设 CB=1， 则 A（ ， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， D（ ， ， 0）， F（ 0， 0， 1）， =（ ， ， 0）， = (0， 1， 1)， =（ - ， 0， 1）， 设平面 BDF的一个法向量为 (x， y， z)，则 ，取 z=1，则 =（ ， 1， 1）， 所以 = ， 直线 AF与面 BDF所成角的余弦值为 （ 12分） 考点：空间线面垂直的判定，空间面面垂直的判定，线面角的计算，推理论证能力，运算求解能力 在乒乓球比赛中，甲与乙以 “五局三胜 ”制进行比赛，根据以往比赛情况，甲在每一局胜乙的概率均为 已知比赛中，乙先赢了第一局，求：

23、( )甲在这种情况下取胜的概率； ( )设比赛局数为 X，求 X的分布列及数学期望（均用分数作答）。 答案： ( ) ( )见 试题分析： ( ) 由题知，在乙先赢了第一局的情况下，甲取胜是两个互斥事件的和，其概率用互斥事件的和概率公式计算，其中一个事件，比赛四局，第一局乙赢的条件下，后三局甲赢，因甲每局胜的概率相同，其概率按独立重复试验计算，另一事件为，比赛五局，在第一局乙胜的条件下，中间三局甲胜二局，其概率按独立重复试验计算，与最后一局甲胜是相互独立事件，用相互独立事件的积概率公式计算； ( )由题意知找出 X的所有可能取值，分析 X取每个值时的情况，将其分解成若干个互斥简单事件的和，利用

24、和概率公式计算，分析每个简单事件分成若干个相互独 立事件的积，利用积概率公式计算其概率，列出分布列，求出期望 试题： ( )甲取胜的概率为 （ 4分） ( )由题意知 X=3， 4， 5， 的分布列为： 3 4 5 12分 考点：独立重复试验，互斥事件的和概率公式，相互独立事件的积概率公式，离散型随机变量分布列及其期望，应用意识 在 ABC中，己知 ， sinB= sinCcos ，又 ABC的面积为 6( )求 ABC的三边长； ( )若 D为 BC边上的一点，且 CD=1，求 答案： ( ) 3， 4， 5； ( ) 试题分析： ( )由 及 sinB= sinCcos 得 sinCcos

25、 = =，所以 =0，因为 ，所以 ，所以 ，由平面向量数量积及三角形面积公式即可求出 tanA的值，在Rt ACB中， tanA= ，求出 ，代入三角形面积公式求出 ，利用勾股定理求出 c； ( )由 ( )知 tan BAC= ，由三角函数定义知 tan DAC= ，利用两角差的正切公式可求得 tan BAD 试题： ( )设三边分别为 ， sin（ A+C） =sinCcosA， 化为 sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA， sinAcosC=0，可得 又 两式相除可得 令 则 三边长分别为 3， 4， 5， （ 8分） ( )由 ( )知 tan BAC= ，由三角函数

26、定义知 tan DAC= ， 所以 tan =tan( BAC- DAC)= = = (12分 ) 考点：三角变换，平面向量数量积，三角形面积公式，运算求解能力 已知函数 ( )a=-3时，求不等式 的解集； ( )若关于 x的不等式 恒成立，求实数 a的取值范围 答案： ( ) -1， 2 ； ( ) （ - ， 试题分析： ( ) 当 a=-3 时， 即为 6，将 分成 ，和 三种情况，通过分类讨论去掉绝对值，将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组，解这些不等式组即可得到原不等式的解集； ( )利用绝对值不等式性质： 求出 的最小值 ，由关于 x的不等式 恒成立及不等式恒成立的知识知， ，解这个不等式，即可得到实数 的取值范围 试题： ( ) 当 a=-3 时， 为 6，等价于或 或 ，解得或 或 ， 所以不等式 的解集为 -1， 2； (5分 ) ( ) 因为 = ， 所以 ，解得 实数 a的取值范围（ - ， (10分 ) 考点：含绝对值不等式解法，绝对值不等式性质，恒成立问题