2011届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理卷.doc

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1、2011届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理卷 选择题 已知集合 ， ，则 A B CD R 答案： B 已知抛物线 ： ，圆 ： （其中 为常数，） .过点（ 1， 0）的直线 交圆 于 、 D 两点，交抛物线 于 、 两点，且满足 的直线 只有三条的必要条件是 A B C D 答案： D 如果存在正整数 和实数 使得函数 （ ， 为常数）的图象如图所示（图象经过点（ 1,0），那么 的值为 A B C 3 D. 4 答案： B 已知非零向量 满足 ，向量 的夹角为 ，且 ，则向量 与 的夹角为 A B C D 答案： B 已知平面 ， 是 内不同于 的直线，那么下列命题中错误的是 A若

2、，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： D 执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 23，则输入的 值为 A B 1 C D 11 答案： C 在极坐标系下，已知圆 的方程为 ，则下列各点在圆 上的是 A B C D 答案： A 已知数列 为等差数列， 是它的前 项和 .若 ， ，则 A 10 B 16 C 20 D 24 答案： C 填空题 如图，线段 =8，点 在线段 上，且 =2， 为线段 上一动点，点 绕点 旋转后与点 绕点 旋转后重合于点 .设 = ， 的面积为 .则 的定义域为 ； 的零点是 . 答案： 若直线 被圆 所截的弦长不小于 2，则在下列曲线中： 与直线 一定有

3、公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）答案： 已知平面区域 ，在区域 内任取一点，则取到的点位于直线 （ ）下方的概率为 _ . 答案： 如图， A， B， C是 O 上的三点， BE切 O 于点 B， D是 与 O 的交点 .若 ，则 _；若 ， ，则 . 答案： ； 3 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了 “家庭每月日常消费额 ”的调查 .他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 ， ，则它们的大小关系为 . （用 “ ”连接） 答案： 复数 . 答案： 解答题 （本小题共 13分

4、） 在 中，内角 A、 B、 C 所对的边分别为 ，已知 ， ，且 . ( )求 ； ( )求 的面积 . 答案： （ II）因为 ，由（ I）结论可得： . 7 分 因为 ，所以 . 8分 所以 . 9 分 由 得 ， 11 分 所以 的面积为： . 13 分 （本小题共 14分） 在如图的多面体中， 平面 ， , ， ， ， ， ， 是 的 中点 ( ) 求证： 平面 ； ( ) 求证： ； ( ) 求二面角 的余弦值 . 答案： 解： ( )证明： ， . 又 , 是 的中点， ， 四边形 是平行四边形， . 2 分 平面 ， 平面 ， 平面 . 4 分 四边形 为正方形， ， 7 分

5、又 平面 ， 平面 , 平面 . 8 分 平面 , . 9 分 解法 2 平面 ， 平面 ， 平 面 ， ， 又 , 两两垂直 . 5 分 以点 E为坐标原点， 分别为 轴建立如图的空间直角坐标系 . 由已知得， （ 0， 0， 2）， （ 2， 0， 0）， （ 2， 4， 0）， （ 0， 3， 0）， （ 0， 2， 2）， （ 2， 2， 0） . 6 分 ， ， 7 分 , 8 分 . 9 分 （本小题共 13分） 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为 .现有 10件产品，其中 6件是一等品， 4件是二等品 . ( ) 随机选取

6、 1件产品，求能够通过检测的概率； ( )随机选取 3件产品，其中一等品的件数记为 ，求 的分布列； ( )随机选取 3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率 . 答案： 解： ( )设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为 1 分 事件 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测 ” 2 分 4 分 ( )由题可知 可能取值为 0,1,2,3. , , , . 8 分 0 1 2 3 9 分 ( )设随机选取 3件产品都不能通过检测的事件为 10 分 事件 等于事件 “随机选取 3件产品都是二等品且都不能通过检测 ” 所以， . 13 分 （本小题共 13分） 已知函数 ，

7、（ ）若 ，求函数 的极值； （ ）设函数 ，求函数 的单调区间； ( )若在 （ ）上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围 答案： 6 分 当 时，即 时，在 上 ，在 上 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 7 分 当 ，即 时，在 上 ， 所以，函数 在 上单调递增 . 8 分 （ III）在 上存在一点 ，使得 成立，即 在 上存在一点 ，使得 ，即 函数 在 上的最小值小于零 . 9 分 由（ ）可知 故 此时， 不成立 . 12 分 综上讨论 可得所求 的范围是： 或 . 13 分 （本小题共 14分） 已知椭圆 经过点 其离心率为 . （ ） 求椭圆 的方程； ( )设

8、直线 与椭圆 相交于 A、 B两点，以线段 为邻边作平行四边形 OAPB，其中顶点 P在椭圆 上， 为坐标原点 .求 的取值范围 . 答案：解：（ ）由已知可得 ，所以 1 分 又点 在椭圆 上，所以 2 分 由 解之，得 . 故椭圆 的方程为 . 5 分 ( ) 当 时， 在椭圆 上，解得 ，所以 . 6 分 当 时，则由 消 化简整理得： ， 8 分 设 点的坐标分别为 ，则 .9 分 由于点 在椭圆 上，所以 . 1 0分 从而 ，化简得 ，经检验满足 式 .11 分 又 12 分 因为 ，得 ，有 ， 故 . 13 分 综上，所求 的取值范围是 . 14 分 ( )另解：设 点的坐标分别为 ， 由 在椭圆上，可得 6 分 整理 7 分 由已知可得 ，所以 8 分 由已知当 ,即 9 分 把 代入 整理得 10 分 所求 的取值范围是 . 14 分 （本小题共 13分） 已知每项均是正整数的数列 ： ，其中等于 的项有 个， 设 ， . （ ）设数列 ，求 ； （ ）若数列 满足 ，求函数 的最小值 . 答案：解：（ 1）根据题设中有关字母的定义， 12 分 ， 最小值为 13 分