2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理及答案解析.docx

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1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (安 徽 卷 )数 学 理一 .选 择 题 (每 小 题 5分 ， 共 50分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 是 正 确 的 )1.设 i是 虚 数 单 位 ， 则 复 数 21 ii 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 先 化 简 复 数 ， 再 得 出 点 的 坐 标 ， 即 可 得 出 结 论 .21 ii =i(1+i)=-1+i， 对 应 复 平 面 上 的 点 为 (-1， 1

2、)， 在 第 二 象 限 ，故 选 ： B 2.下 列 函 数 中 ， 既 是 偶 函 数 又 存 在 零 点 的 是 ( )A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1解 析 ： 对 于 A， 定 义 域 为 R， 并 且 cos(-x)=cosx， 是 偶 函 数 并 且 有 无 数 个 零 点 ；对 于 B， sin(-x)=-sinx， 是 奇 函 数 ， 由 无 数 个 零 点 ；对 于 C， 定 义 域 为 (0， + )， 所 以 是 非 奇 非 偶 的 函 数 ， 有 一 个 零 点 ；对 于 D， 定 义 域 为 R， 为 偶 函 数 ， 都 是 没 有 零

3、 点 ；故 选 A3.设 p： 1 x 2， q： 2 x 1， 则 p是 q成 立 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 1 x 2 可 得 2 2x 4， 则 由 p 推 得 q成 立 ，若 2x 1 可 得 x 0， 推 不 出 1 x 2.由 充 分 必 要 条 件 的 定 义 可 得 p是 q成 立 的 充 分 不 必 要 条 件 .故 选 A4.下 列 双 曲 线 中 ， 焦 点 在 y 轴 上 且 渐 近 线 方 程 为 y= 2x 的 是 ( ) A.B.C. D

4、.解 析 ： 由 A可 得 焦 点 在 x轴 上 ， 不 符 合 条 件 ；由 B 可 得 焦 点 在 x 轴 上 ， 不 符 合 条 件 ；由 C 可 得 焦 点 在 y 轴 上 ， 渐 近 线 方 程 为 y= 2x， 符 合 条 件 ；由 D 可 得 焦 点 在 y 轴 上 ， 渐 近 线 方 程 为 y= 12 x， 不 符 合 条 件 .故 选 C5.已 知 m， n 是 两 条 不 同 直 线 ， ， 是 两 个 不 同 平 面 ， 则 下 列 命 题 正 确 的 是 ( )A.若 ， 垂 直 于 同 一 平 面 ， 则 与 平 行B.若 m， n 平 行 于 同 一 平 面 ，

5、则 m 与 n 平 行C.若 ， 不 平 行 ， 则 在 内 不 存 在 与 平 行 的 直 线D.若 m， n 不 平 行 ， 则 m 与 n 不 可 能 垂 直 于 同 一 平 面 解 析 ： 对 于 A， 若 ， 垂 直 于 同 一 平 面 ， 则 与 不 一 定 平 行 ， 如 果 墙 角 的 三 个 平 面 ； 故A错 误 ；对 于 B， 若 m， n平 行 于 同 一 平 面 ， 则 m与 n平 行 .相 交 或 者 异 面 ； 故 B错 误 ；对 于 C， 若 ， 不 平 行 ， 则 在 内 存 在 无 数 条 与 平 行 的 直 线 ； 故 C错 误 ；对 于 D， 若 m，

6、n 不 平 行 ， 则 m 与 n 不 可 能 垂 直 于 同 一 平 面 ； 假 设 两 条 直 线 同 时 垂 直 同 一 个平 面 ， 则 这 两 条 在 平 行 ； 故 D正 确 ；故 选 D6.若 样 本 数 据 x 1， x2， ， x10的 标 准 差 为 8， 则 数 据 2x1-1， 2x2-1， ， 2x10-1的 标 准 差 为 ( )A.8B.15C.16D.32解 析 ： 样 本 数 据 x1， x2， ， x10的 标 准 差 为 8， DX =8， 即 DX=64，数 据 2x 1-1， 2x2-1， ， 2x10-1的 方 差 为 D(2X-1)=4DX=4 6

7、4，则 对 应 的 标 准 差 为 2 1 4 64D X =16.故 选 ： C7.一 个 四 面 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 四 面 体 的 表 面 积 是 ( ) A.1+ 3B.2+ 3C.1+2 2D.2 2解 析 ： 根 据 几 何 体 的 三 视 图 ， 得 ，该 几 何 体 是 底 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 的 三 棱 锥 ， 如 图 所 示 ； 该 几 何 体 的 表 面 积 为 S 表 面 积 =S PAC+2S PAB+S ABC =2+ 3 .故 选 ： B8. ABC是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 ， 已 知 向 量 a ，

8、b 满 足 ， ， 则 下 列结 论 正 确 的 是 ( )A.B.C. D.解 析 ： 因 为 已 知 三 角 形 ABC 的 等 边 三 角 形 ， a ， b 满 足 ， ， 又， 所 以 ， ，所 以 ， ， ， 所 以 ， 即 ， 即0， 所 以 .故 选 D 9. 函 数 f(x)= 的 图 象 如 图 所 示 ， 则 下 列 结 论 成 立 的 是 ( )A.a 0， b 0， c 0 B.a 0， b 0， c 0C.a 0， b 0， c 0D.a 0， b 0， c 0解 析 ： 函 数 在 P处 无 意 义 ， 即 -c 0， 则 c 0，f(0)= 2bc 0， b 0

9、，由 f(x)=0 得 ax+b=0， 即 x=- ba ，即 函 数 的 零 点 x=-ba 0， a 0，综 上 a 0， b 0， c 0，故 选 ： C 10.已 知 函 数 f(x)=Asin( x+ )(A， ， 均 为 正 的 常 数 )的 最 小 正 周 期 为 ， 当 x= 23 时 ，函 数 f(x)取 得 最 小 值 ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( ) A.f(2) f(-2) f(0)B.f(0) f(2) f(-2)C.f(-2) f(0) f(2)D.f(2) f(0) f(-2)解 析 ： 依 题 意 得 ， 函 数 f(x)的 周 期 为 ， 0，

10、= 2 =2.又 当 x= 23 时 ， 函 数 f(x)取 得 最 小 值 ， 2 23 + =2k + 32 ， k Z， 可 解 得 ： =2k + 6 ， k Z， f(x)=Asin(2x+2k + 6 )=Asin(2x+ 6 ). f(-2)=Asin(-4+ 6 )=Asin( 6 -4+2 ) 0.f(2)=Asin(4+ 6 ) 0f(0)=Asin 6 =Asin 56 0又 23 6 -4+2 56 6 ， 而 f(x)=Asin(2x+ 6 )在 区 间 ( 6 ， 23 )是 单 调 递 减 的 ， f(2) f(-2) f(0)故 选 ： A二 .填 空 题 (每

11、 小 题 5分 ， 共 25分 ) 11.(x3+ 1x )7的 展 开 式 中 的 x5的 系 数 是 (用 数 字 填 写 答 案 )解 析 ： 根 据 所 给 的 二 项 式 写 出 展 开 式 的 通 项 ，；要 求 展 开 式 中 含 x5的 项 的 系 数 ， 21-4r=5， r=4， 可 得 ： 47C =35.故 答 案 为 ： 3512.在 极 坐 标 系 中 ， 圆 =8sin 上 的 点 到 直 线 = 3 ( R)距 离 的 最 大 值 是 .解 析 ： 圆 =8sin 化 为 2=8 sin ， x2+y2=8y， 化 为 x2+(y-4)2=16. 直 线 = 3

12、 ( R)化 为 y= 3 x. 圆 心 C(0， 4)到 直 线 的 距 离 d= =2， 圆 =8sin 上 的 点 到 直 线 = 3 ( R)距 离 的 最 大 值 =d+r=2+4=6.故 答 案 为 ： 613.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 (算 法 流 程 图 )， 输 出 的 n 为 . 解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得 a=1， n=1，满 足 条 件 |a-1.414| 0.005， a= 32 ， n=2，满 足 条 件 |a-1.414| 0.005， a= 75 ， n=3，满 足 条 件 |a-1.414| 0.005， a=17

13、12 ， n=4，不 满 足 条 件 |a-1.414|=0.00267 0.005， 退 出 循 环 ， 输 出 n 的 值 为 4.故 答 案 为 ： 414.已 知 数 列 a n是 递 增 的 等 比 数 列 ， a1+a4=9， a2a3=8， 则 数 列 an的 前 n项 和 等 于 .解 析 ： 数 列 an是 递 增 的 等 比 数 列 ， a1+a4=9， a2a3=8，可 得 a1a4=8， 解 得 a1=1， a4=8， 8=1 q3， q=2，数 列 an的 前 n项 和 为 ： .故 答 案 为 ： 2n-115.设 x 3+ax+b=0， 其 中 a， b 均 为

14、实 数 ， 下 列 条 件 中 ， 使 得 该 三 次 方 程 仅 有 一 个 实 根 的是 .(写 出 所 有 正 确 条 件 的 编 号 ) a=-3， b=-3. a=-3， b=2. a=-3， b 2. a=0， b=2. a=1， b=2.解 析 ： 设 f(x)=x3+ax+b， f(x)=3x2+a， a=-3， b=-3时 ， 令 f(x)=3x2-3=0， 解 得 x= 1， x=1时 f(1)=-5， f(-1)=-1；并 且 x 1 或 者 x -1时 f(x) 0，所 以 f(x)在 (- ， -1)和 (1， + )都 是 增 函 数 ， 所 以 函 数 图 象 与

15、 x 轴 只 有 一 个 交 点 ， 故 x3+ax+b=0仅 有 一 个 实 根 ； 如 图 a=-3， b=2时 ， 令 f(x)=3x2-3=0， 解 得 x= 1， x=1时 f(1)=0， f(-1)=4； 如 图 a=-3， b 2 时 ， 函 数 f(x)=x 3-3x+b， f(1)=-2+b 0， 函 数 图 象 形 状 如 图 ， 所 以 方 程x3+ax+b=0 只 有 一 个 根 ； a=0， b=2 时 ， 函 数 f(x)=x3+2， f(x)=3x2 0 恒 成 立 ， 故 原 函 数 在 R上 是 增 函 数 ； 故 方 程方 程 x3+ax+b=0只 有 一

16、个 根 ； a=1， b=2时 ， 函 数 f(x)=x3+x+2， f(x)=3x2+1 0 恒 成 立 ， 故 原 函 数 在 R 上 是 增 函 数 ； 故方 程 方 程 x3+ax+b=0只 有 一 个 根 ；综 上 满 足 使 得 该 三 次 方 程 仅 有 一 个 实 根 的 是 .故 答 案 为 ： 三 .解 答 题 (共 6 小 题 ， 75 分 )16.在 ABC中 ， A= 34 ， AB=6， AC=3 2 ， 点 D在 BC边 上 ， AD=BD， 求 AD的 长 . 解 析 ： 由 已 知 及 余 弦 定 理 可 解 得 BC的 值 ， 由 正 弦 定 理 可 求 得

17、 sinB， 从 而 可 求 cosB， 过 点 D作 AB 的 垂 线 DE， 垂 足 为 E， 由 AD=BD 得 ： cos DAE=cosB， 即 可 求 得 AD的 长 .答 案 ： A= 34 ， AB=6， AC=3 2 ， 在 ABC中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ： BC2=AB2+AC2-2AB ACcos BAC=90， BC=3 10 ， 在 ABC中 ， 由 正 弦 定 理 可 得 ： ， sinB= 1010 ， cosB= 3 1010 . 过 点 D 作 AB 的 垂 线 DE， 垂 足 为 E， 由 AD=BD 得 ： cos DAE=cosB， Rt A

18、DE中 ， AD= = 10 .17.已 知 2 件 次 品 和 3件 正 品 混 放 在 一 起 ， 现 需 要 通 过 检 测 将 其 区 分 ， 每 次 随 机 一 件 产 品 ，检 测 后 不 放 回 ， 直 到 检 测 出 2件 次 品 或 者 检 测 出 3 件 正 品 时 检 测 结 束 . ( )求 第 一 次 检 测 出 的 是 次 品 且 第 二 次 检 测 出 的 是 正 品 的 概 率 ；( )已 知 每 检 测 一 件 产 品 需 要 费 用 100元 ， 设 X 表 示 直 到 检 测 出 2件 次 品 或 者 检 测 出 3件 正品 时 所 需 要 的 检 测 费

19、 用 (单 位 ： 元 )， 求 X 的 分 布 列 和 均 值 (数 学 期 望 )解 析 ： ( )记 “ 第 一 次 检 测 出 的 是 次 品 且 第 二 次 检 测 出 的 是 正 品 ” 为 事 件 A， 利 用 古 典 概 型的 概 率 求 解 即 可 .( )X的 可 能 取 值 为 ： 200， 300， 400.求 出 概 率 ， 得 到 分 布 列 ， 然 后 求 解 期 望 即 可 .答 案 ： ( )记 “ 第 一 次 检 测 出 的 是 次 品 且 第 二 次 检 测 出 的 是 正 品 ” 为 事 件 A，则 P(A)= =310.( )X的 可 能 取 值 为

20、： 200， 300， 400 P(X=200)= =110.P(X=300)= .P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)= 610 .X的 分 布 列 为 ： EX=200 110 +300 310 +400 610 =350.18.设 n N*， xn是 曲 线 y=x2n+2+1在 点 (1， 2)处 的 切 线 与 x轴 交 点 的 横 坐 标 .( )求 数 列 xn的 通 项 公 式 ；( )记 Tn=x12x32 x2n-12， 证 明 ： Tn 14n .解 析 ： (1)利 用 导 数 求 切 线 方 程 求 得 切 线 直 线 并 求 得 横 坐 标 ；(

21、2)利 用 放 缩 法 缩 小 式 子 的 值 从 而 达 到 所 需 要 的 式 子 成 立 .答 案 ： (1)y=(x 2n+2+1)=(2n+2)x2n+1， 曲 线 y=x2n+2+1 在 点 (1， 2)处 的 切 线 斜 率 为 2n+2，从 而 切 线 方 程 为 y-2=(2n+2)(x-1)令 y=0， 解 得 切 线 与 x 轴 的 交 点 的 横 坐 标 为 ，(2)证 明 ： 由 题 设 和 (1)中 的 计 算 结 果 可 知 ： ，当 n=1时 ， T 1 14 ，当 n 2 时 ， 因 为 x2n-12 ，所 以 ，综 上 所 述 ， 可 得 对 任 意 的 n

22、 N+， 均 有 Tn 14n .19.如 图 所 示 ， 在 多 面 体 A 1B1D1DCBA 中 ， 四 边 形 AA1B1B， ADD1A1， ABCD 均 为 正 方 形 ， E 为 B1D1的 中 点 ， 过 A1， D， E的 平 面 交 CD1于 F.( )证 明 ： EF B 1C；( )求 二 面 角 E-AD-B1的 余 弦 值 .解 析 ： ( )通 过 四 边 形 A1B1CD 为 平 行 四 边 形 ， 可 得 B1C A1D， 利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 得结 论 ；( )以 A为 坐 标 原 点 ， 以 AB、 AD、 AA1所 在 直 线

23、分 别 为 x、 y、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz，设 边 长 为 2， 则 所 求 值 即 为 平 面 A1B1CD 的 一 个 法 向 量 与 平 面 A1EFD的 一 个 法 向 量 的 夹 角 的 余弦 值 的 绝 对 值 ， 计 算 即 可 . 解 析 ： ( ) B1C=A1D且 A1B1=CD， 四 边 形 A1B1CD为 平 行 四 边 形 ， B1C A1D，又 B1C平 面 A1EFD， B1C 平 面 A1EFD，又 平 面 A1EFD 平 面 EF， EF B1C.( )以 A为 坐 标 原 点 ， 以 AB、 AD、 AA1所 在 直 线

24、分 别 为 x、 y、 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 A-xyz如 图 ， 设 边 长 为 2， AD1 平 面 A1B1CD， 1AD =(0， 1， 1)为 平 面 A1B1CD的 一 个 法 向 量 ，设 平 面 A1EFD的 一 个 法 向 量 为 n =(x， y， z)，又 1AD=(0， 2， -2)， 1AE =(1， 1， 0)， ， ，取 y=1， 得 n =(-1， 1， 1)， cos(n ， 1AD )= ， 二 面 角 E-AD-B1的 余 弦 值 为 63 .20. 设 椭 圆 E 的 方 程 为 (a b 0)， 点 O 为 坐 标 原 点 ， 点

25、 A的 坐 标 为 (a， 0)， 点 B的 坐 标 为 (0， b)， 点 M 在 线 段 AB 上 ， 满 足 |BM|=2|MA|， 直 线 OM 的 斜 率 为 .( )求 E 的 离 心 率 e；( )设 点 C的 坐 标 为 (0， -b)， N为 线 段 AC的 中 点 ， 点 N 关 于 直 线 AB的 对 称 点 的 纵 坐 标 为 72 ， 求 E 的 方 程 . 解 析 ： (I)由 于 点 M 在 线 段 AB 上 ， 满 足 |BM|=2|MA|， 即 ， 可 得 .利 用 kOM ， 可 得 .(II)由 (I)可 得 直 线 AB的 方 程 为 ： ， 利 用 中

26、 点 坐 标 公 式 可 得 N.设 点 N 关 于 直 线 AB的 对 称 点 为 S(x 1， 72 )， 线 段 NS的 中 点 T， 又 AB 垂 直 平 分 线 段 NS， 可 得 b， 解 得 即 可 .答 案 ： (I) 点 M 在 线 段 AB 上 ， 满 足 |BM|=2|MA|， ， A(a， 0)， B(0， b)， . k OM ， ， a= 5 b. .(II)由 (I)可 得 直 线 AB 的 方 程 为 ： ， .设 点 N关 于 直 线 AB 的 对 称 点 为 ， 线 段 NS的 中 点 ， 又 AB 垂 直 平 分 线 段 NS， ， 解 得 b=3， a=

27、3 5 . 椭 圆 E 的 方 程 为 ： .21.设 函 数 f(x)=x2-ax+b.( )讨 论 函 数 f(sinx)在 (- 2 ， 2 )内 的 单 调 性 并 判 断 有 无 极 值 ， 有 极 值 时 求 出 最 值 ；( )记 f n(x)=x2-a0 x+b0， 求 函 数 |f(sinx)-f0(sinx)|在 - 2 ， 2 上 的 最 大 值 D2.( )在 ( )中 ， 取 an=bn=0， 求 s=b- 24a 满 足 条 件 D 1 时 的 最 大 值 .解 析 ： ( )设 t=sinx， f(t)=t2-at+b(-1 t 1)， 讨 论 对 称 轴 和 区

28、 间 的 关 系 ， 即 可 判 断 极 值的 存 在 ；( )设 t=sinx， t -1， 1， 求 得 |f(t)-f 0(t)|， 设 g(t)=|-t(a-a0)+(b-b0)|， 讨 论 g(1)， g(-1)取 得 最 大 值 ；( )由 ( )讨 论 ab 0时 ， ab 0时 ， D的 取 值 ， 求 得 点 (a， b)所 在 区 域 ， 求 得 s=b-a 24a 的最 大 值 .答 案 ： ( )设 t=sinx， 在 x (- 2 ， 2 )递 增 ，即 有 f(t)=t 2-at+b(-1 t 1)， f (t)=2t-a， 当 a 2 时 ， f (t) 0， f

29、(t)递 减 ， 即 f(sinx)递 减 ；当 a -2 时 ， f (t) 0， f(t)递 增 ， 即 f(sinx)递 增 .即 有 a 2 或 a -2 时 ， 不 存 在 极 值 . 当 -2 a 2 时 ， -1 t 2a ， f (t) 0， f(sinx)递 减 ；2a t 1， f (t) 0， f(sinx)递 增 .f(sinx)有 极 小 值 f( 2a )=b- 24a ；( )设 t=sinx， t -1， 1， |f(t)-f 0(t)|=|-t(a-a0)+(b-b0)|，易 知 t= 1时 ， 取 得 最 大 值 ， 设 g(t)=|-t(a-a0)+(b-b0)|，而 g(1)=|-(a-a0)+(b-b0)|， g(-1)=|(a-a0)+(b-b0)|，则 当 (a-a0)(b-b0) 0时 ， D=g(t)max=g(-1)=|(a-a0)+(b-b0)|；当 (a-a0)(b-b0) 0 时 ， D=g(t)max=g(1)=|-(a-a0)+(b-b0)|.( )由 ( )得 ab 0时 ， D=|a+b|， 当 ab 0 时 ， D=|a-b|.即 有 或 ，点 (a， b)在 如 图 所 示 的 区 域 内 ， 则 有 s=b- 24a ， 当 b 取 最 大 值 1时 ， 24a 取 最 小 值 0 时 ， smax=1.