2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理及答案解析.docx

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理及答案解析.docx

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试 (安徽卷 )数学理一 .选择题 (每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的 )1.设 i是虚数单位，则复数 21 ii 在复平面内对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论 .21 ii =i(1+i)=-1+i，对应复平面上的点为 (-1， 1

2、)，在第二象限，故选： B 2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ( )A.y=cosxB.y=sinxC.y=lnxD.y=x2+1解析：对于 A，定义域为 R，并且 cos(-x)=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于 B， sin(-x)=-sinx，是奇函数，由无数个零点；对于 C，定义域为 (0， + )，所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于 D，定义域为 R，为偶函数，都是没有零

3、点；故选 A3.设 p： 1 x 2， q： 2 x 1，则 p是 q成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：由 1 x 2 可得 2 2x 4，则由 p 推得 q成立，若 2x 1 可得 x 0，推不出 1 x 2.由充分必要条件的定义可得 p是 q成立的充分不必要条件 .故选 A4.下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y= 2x 的是 ( ) A.B.C. D

4、.解析：由 A可得焦点在 x轴上，不符合条件；由 B 可得焦点在 x 轴上，不符合条件；由 C 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y= 2x，符合条件；由 D 可得焦点在 y 轴上，渐近线方程为 y= 12 x，不符合条件 .故选 C5.已知 m， n 是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是 ( )A.若，垂直于同一平面，则与平行B.若 m， n 平行于同一平面，

5、则 m 与 n 平行C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线D.若 m， n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：对于 A，若，垂直于同一平面，则与不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；对于 B，若 m， n平行于同一平面，则 m与 n平行 .相交或者异面；故 B错误；对于 C，若，不平行，则在内存在无数条与平行的直线；故 C错误；对于 D，若 m，

6、n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故 D正确；故选 D6.若样本数据 x 1， x2，， x10的标准差为 8，则数据 2x1-1， 2x2-1，， 2x10-1的标准差为 ( )A.8B.15C.16D.32解析：样本数据 x1， x2，， x10的标准差为 8， DX =8，即 DX=64，数据 2x 1-1， 2x2-1，， 2x10-1的方差为 D(2X-1)=4DX=4 6

7、4，则对应的标准差为 2 1 4 64D X =16.故选： C7.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ( ) A.1+ 3B.2+ 3C.1+2 2D.2 2解析：根据几何体的三视图，得，该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；该几何体的表面积为 S 表面积 =S PAC+2S PAB+S ABC =2+ 3 .故选： B8. ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a ，

8、b 满足，，则下列结论正确的是 ( )A.B.C. D.解析：因为已知三角形 ABC 的等边三角形， a ， b 满足，，又，所以，，所以，，，所以，即，即0，所以 .故选 D 9. 函数 f(x)= 的图象如图所示，则下列结论成立的是 ( )A.a 0， b 0， c 0 B.a 0， b 0， c 0C.a 0， b 0， c 0D.a 0， b 0， c 0解析：函数在 P处无意义，即 -c 0，则 c 0，f(0)= 2bc 0， b 0

9、，由 f(x)=0 得 ax+b=0，即 x=- ba ，即函数的零点 x=-ba 0， a 0，综上 a 0， b 0， c 0，故选： C 10.已知函数 f(x)=Asin( x+ )(A，，均为正的常数 )的最小正周期为，当 x= 23 时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是 ( ) A.f(2) f(-2) f(0)B.f(0) f(2) f(-2)C.f(-2) f(0) f(2)D.f(2) f(0) f(-2)解析：依题意得，函数 f(x)的周期为， 0，

10、= 2 =2.又当 x= 23 时，函数 f(x)取得最小值， 2 23 + =2k + 32 ， k Z，可解得： =2k + 6 ， k Z， f(x)=Asin(2x+2k + 6 )=Asin(2x+ 6 ). f(-2)=Asin(-4+ 6 )=Asin( 6 -4+2 ) 0.f(2)=Asin(4+ 6 ) 0f(0)=Asin 6 =Asin 56 0又 23 6 -4+2 56 6 ，而 f(x)=Asin(2x+ 6 )在区间 ( 6 ， 23 )是单调递减的， f(2) f(-2) f(0)故选： A二 .填空题 (每

11、小题 5分，共 25分 ) 11.(x3+ 1x )7的展开式中的 x5的系数是 (用数字填写答案 )解析：根据所给的二项式写出展开式的通项，；要求展开式中含 x5的项的系数， 21-4r=5， r=4，可得： 47C =35.故答案为： 3512.在极坐标系中，圆 =8sin 上的点到直线 = 3 ( R)距离的最大值是 .解析：圆 =8sin 化为 2=8 sin ， x2+y2=8y，化为 x2+(y-4)2=16. 直线 = 3

12、 ( R)化为 y= 3 x. 圆心 C(0， 4)到直线的距离 d= =2，圆 =8sin 上的点到直线 = 3 ( R)距离的最大值 =d+r=2+4=6.故答案为： 613.执行如图所示的程序框图 (算法流程图 )，输出的 n 为 . 解析：模拟执行程序框图，可得 a=1， n=1，满足条件 |a-1.414| 0.005， a= 32 ， n=2，满足条件 |a-1.414| 0.005， a= 75 ， n=3，满足条件 |a-1.414| 0.005， a=17

13、12 ， n=4，不满足条件 |a-1.414|=0.00267 0.005，退出循环，输出 n 的值为 4.故答案为： 414.已知数列 a n是递增的等比数列， a1+a4=9， a2a3=8，则数列 an的前 n项和等于 .解析：数列 an是递增的等比数列， a1+a4=9， a2a3=8，可得 a1a4=8，解得 a1=1， a4=8， 8=1 q3， q=2，数列 an的前 n项和为： .故答案为： 2n-115.设 x 3+ax+b=0，其中 a， b 均为

14、实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .(写出所有正确条件的编号 ) a=-3， b=-3. a=-3， b=2. a=-3， b 2. a=0， b=2. a=1， b=2.解析：设 f(x)=x3+ax+b， f(x)=3x2+a， a=-3， b=-3时，令 f(x)=3x2-3=0，解得 x= 1， x=1时 f(1)=-5， f(-1)=-1；并且 x 1 或者 x -1时 f(x) 0，所以 f(x)在 (- ， -1)和 (1， + )都是增函数，所以函数图象与

15、 x 轴只有一个交点，故 x3+ax+b=0仅有一个实根；如图 a=-3， b=2时，令 f(x)=3x2-3=0，解得 x= 1， x=1时 f(1)=0， f(-1)=4；如图 a=-3， b 2 时，函数 f(x)=x 3-3x+b， f(1)=-2+b 0，函数图象形状如图，所以方程x3+ax+b=0 只有一个根； a=0， b=2 时，函数 f(x)=x3+2， f(x)=3x2 0 恒成立，故原函数在 R上是增函数；故方程方程 x3+ax+b=0只有一

16、个根； a=1， b=2时，函数 f(x)=x3+x+2， f(x)=3x2+1 0 恒成立，故原函数在 R 上是增函数；故方程方程 x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是 .故答案为：三 .解答题 (共 6 小题， 75 分 )16.在 ABC中， A= 34 ， AB=6， AC=3 2 ，点 D在 BC边上， AD=BD，求 AD的长 . 解析：由已知及余弦定理可解得 BC的值，由正弦定理可求得

17、 sinB，从而可求 cosB，过点 D作 AB 的垂线 DE，垂足为 E，由 AD=BD 得： cos DAE=cosB，即可求得 AD的长 .答案： A= 34 ， AB=6， AC=3 2 ，在 ABC中，由余弦定理可得： BC2=AB2+AC2-2AB ACcos BAC=90， BC=3 10 ，在 ABC中，由正弦定理可得：， sinB= 1010 ， cosB= 3 1010 . 过点 D 作 AB 的垂线 DE，垂足为 E，由 AD=BD 得： cos DAE=cosB， Rt A

18、DE中， AD= = 10 .17.已知 2 件次品和 3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出 2件次品或者检测出 3 件正品时检测结束 . ( )求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；( )已知每检测一件产品需要费用 100元，设 X 表示直到检测出 2件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费

19、用 (单位：元 )，求 X 的分布列和均值 (数学期望 )解析： ( )记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 ” 为事件 A，利用古典概型的概率求解即可 .( )X的可能取值为： 200， 300， 400.求出概率，得到分布列，然后求解期望即可 .答案： ( )记 “ 第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品 ” 为事件 A，则 P(A)= =310.( )X的可能取值为

20、： 200， 300， 400 P(X=200)= =110.P(X=300)= .P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)= 610 .X的分布列为： EX=200 110 +300 310 +400 610 =350.18.设 n N*， xn是曲线 y=x2n+2+1在点 (1， 2)处的切线与 x轴交点的横坐标 .( )求数列 xn的通项公式；( )记 Tn=x12x32 x2n-12，证明： Tn 14n .解析： (1)利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；(

21、2)利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立 .答案： (1)y=(x 2n+2+1)=(2n+2)x2n+1，曲线 y=x2n+2+1 在点 (1， 2)处的切线斜率为 2n+2，从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1)令 y=0，解得切线与 x 轴的交点的横坐标为，(2)证明：由题设和 (1)中的计算结果可知：，当 n=1时， T 1 14 ，当 n 2 时，因为 x2n-12 ，所以，综上所述，可得对任意的 n

22、 N+，均有 Tn 14n .19.如图所示，在多面体 A 1B1D1DCBA 中，四边形 AA1B1B， ADD1A1， ABCD 均为正方形， E 为 B1D1的中点，过 A1， D， E的平面交 CD1于 F.( )证明： EF B 1C；( )求二面角 E-AD-B1的余弦值 .解析： ( )通过四边形 A1B1CD 为平行四边形，可得 B1C A1D，利用线面平行的判定定理即得结论；( )以 A为坐标原点，以 AB、 AD、 AA1所在直线

23、分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz，设边长为 2，则所求值即为平面 A1B1CD 的一个法向量与平面 A1EFD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可 . 解析： ( ) B1C=A1D且 A1B1=CD，四边形 A1B1CD为平行四边形， B1C A1D，又 B1C平面 A1EFD， B1C 平面 A1EFD，又平面 A1EFD 平面 EF， EF B1C.( )以 A为坐标原点，以 AB、 AD、 AA1所在直线

24、分别为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz如图，设边长为 2， AD1 平面 A1B1CD， 1AD =(0， 1， 1)为平面 A1B1CD的一个法向量，设平面 A1EFD的一个法向量为 n =(x， y， z)，又 1AD=(0， 2， -2)， 1AE =(1， 1， 0)，，，取 y=1，得 n =(-1， 1， 1)， cos(n ， 1AD )= ，二面角 E-AD-B1的余弦值为 63 .20. 设椭圆 E 的方程为 (a b 0)，点 O 为坐标原点，点

25、 A的坐标为 (a， 0)，点 B的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足 |BM|=2|MA|，直线 OM 的斜率为 .( )求 E 的离心率 e；( )设点 C的坐标为 (0， -b)， N为线段 AC的中点，点 N 关于直线 AB的对称点的纵坐标为 72 ，求 E 的方程 . 解析： (I)由于点 M 在线段 AB 上，满足 |BM|=2|MA|，即，可得 .利用 kOM ，可得 .(II)由 (I)可得直线 AB的方程为：，利用中

26、点坐标公式可得 N.设点 N 关于直线 AB的对称点为 S(x 1， 72 )，线段 NS的中点 T，又 AB 垂直平分线段 NS，可得 b，解得即可 .答案： (I) 点 M 在线段 AB 上，满足 |BM|=2|MA|，， A(a， 0)， B(0， b)， . k OM ，， a= 5 b. .(II)由 (I)可得直线 AB 的方程为：， .设点 N关于直线 AB 的对称点为，线段 NS的中点，又 AB 垂直平分线段 NS，，解得 b=3， a=

27、3 5 . 椭圆 E 的方程为： .21.设函数 f(x)=x2-ax+b.( )讨论函数 f(sinx)在 (- 2 ， 2 )内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；( )记 f n(x)=x2-a0 x+b0，求函数 |f(sinx)-f0(sinx)|在 - 2 ， 2 上的最大值 D2.( )在 ( )中，取 an=bn=0，求 s=b- 24a 满足条件 D 1 时的最大值 .解析： ( )设 t=sinx， f(t)=t2-at+b(-1 t 1)，讨论对称轴和区

28、间的关系，即可判断极值的存在；( )设 t=sinx， t -1， 1，求得 |f(t)-f 0(t)|，设 g(t)=|-t(a-a0)+(b-b0)|，讨论 g(1)， g(-1)取得最大值；( )由 ( )讨论 ab 0时， ab 0时， D的取值，求得点 (a， b)所在区域，求得 s=b-a 24a 的最大值 .答案： ( )设 t=sinx，在 x (- 2 ， 2 )递增，即有 f(t)=t 2-at+b(-1 t 1)， f (t)=2t-a，当 a 2 时， f (t) 0， f

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