2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文及答案解析.docx

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1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 浙 江 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 8 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 40 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .）1.已 知 集 合 2 2 3x x x ， Q 2 4x x ， 则 Q （ ）A. 3,4B. 2,3C. 1,2 D. 1,3解 析 ： 由 题 意 得 ， | 3 1P x x x 或 ， 所 以 3,4)P Q ， 故 选 A.答 案 ： A2.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示

2、（ 单 位 ： cm） ， 则 该 几 何 体 的 体 积 是 （ ） A. 8 3cmB.12 3cmC.323 3cmD. 403 3cm 解 析 ： 由 三 视 图 可 如 ， 该 几 何 体 是 一 个 棱 长 为 2 的 正 方 体 与 一 个 底 面 边 长 为 2， 高 为 2 的 正四 棱 锥 的 组 合 体 ， 故 其 体 积 为 V= 3 2 31 222 2 23 3 cm .故 选 C.答 案 ： C3.设 a， b 是 实 数 ， 则 “ 0a b ” 是 “ 0ab ” 的 （ ）A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件

3、D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 解 析 ： 本 题 采 用 特 殊 值 法 ， 当 a=3， b=-1时 ， a-b 0， 但 ab 0， 故 是 不 充 分 条 件 ； 当 a=-3，b=-1时 ， ab 0， 但 a-b 0， 故 是 不 必 要 条 件 .所 以 “ a-b 0” 是 “ ab 0” 的 既 不 充 分 也 不必 要 条 件 .故 选 D.答 案 ： D4.设 ， 是 两 个 不 同 的 平 面 ， l ， m 是 两 条 不 同 的 直 线 ， 且 l ， m （ ）A.若 l ， 则 B.若 ， 则 l m C.若 /l ， 则 / D.若 / ， 则 /

4、l m解 析 ： 采 用 排 除 法 ， 选 项 A 中 ， 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 ， 故 正 确 ； 选 项 B中 ， 当 时 ，,l m 可 以 垂 直 ， 也 可 以 平 行 ， 也 可 以 异 面 ； 选 项 C 中 ， /l 时 ， , 可 以 相 交 ； 选 项 D中 ， / 时 ， ,l m也 可 以 异 面 .故 选 A.答 案 ： A 5.函 数 1 cosf x x xx （ x 且 0 x ） 的 图 象 可 能 为 （ ） A.B.C. D.解 析 ： 因 为 1 1( ) ( )cos ( )cos ( )f x x x x x f xx x ， 故

5、 函 数 是 奇 函 数 ， 所 以 排 除A, B； 取 x ， 则 1 1( ) ( )cos ( ) 0f ， 故 选 D.答 案 ： D6.有 三 个 房 间 需 要 粉 刷 ， 粉 刷 方 案 要 求 ： 每 个 房 间 只 用 一 种 颜 色 ， 且 三 个 房 间 颜 色 各 不 相 同 .已 知 三 个 房 间 的 粉 刷 面 积 （ 单 位 ： 2m ） 分 别 为 x ， y， z ， 且 x y z ， 三 种 颜 色 涂 料 的 粉 刷 费 用 （ 单 位 ： 元 / 2m ） 分 别 为 a ， b ， c， 且 a b c .在 不 同 的 方 案 中 ， 最 低

6、的总 费 用 （ 单 位 ： 元 ） 是 （ ）A. ax by cz B. az by cx C. ay bz cx D. ay bx cz 解 析 ： 由 x y z， a b c， 所 以 ax+by+cz-（ az+by+cx） =a（ x-z） +c（ z-x） =（ x-z） （ a-c） 0， 故 ax+by+cz az+by+cx； 同 理 ， ay+bz+cx-（ ay+bx+cz） =b（ z-x） +c（ x-z） =（ x-z）（ c-b） 0， 故 ay+bz+cx ay+bx+cz.因 为 az+by+cx-（ ay+bz+cx） =a（ z-y） +b（ y-z）

7、 =（ a-b） （ z-y） 0， 故 az+bx+cx ay+bz+cx.故 最 低 费 用 为 az+by+cx.故 选 B.答 案 ： B7.如 图 ， 斜 线 段 与 平 面 所 成 的 角 为 60 ， 为 斜 足 ， 平 面 上 的 动 点 满 足30 ， 则 点 的 轨 迹 是 （ ） A.直 线B.抛 物 线C.椭 圆D.双 曲 线 的 一 支解 析 ： 由 题 可 知 ， 当 P 点 运 动 时 ， 在 空 间 中 ， 满 足 条 件 的 AP绕 AB旋 转 形 成 一 个 圆 锥 ， 用 一个 与 圆 锥 高 成 60 角 的 平 面 截 圆 锥 ， 所 得 图 形 为

8、椭 圆 .故 选 C.答 案 ： C 8.设 实 数 a ， b ， t 满 足 1 sina b t （ ）A.若 t 确 定 ， 则 2b 唯 一 确 定B.若 t 确 定 ， 则 2 2a a 唯 一 确 定C.若 t 确 定 ， 则 sin 2b 唯 一 确 定D.若 t 确 定 ， 则 2a a 唯 一 确 定解 析 ： 因 为 1 sina b t ， 所 以 2 2 2( 1) sina b t ， 所 以 2 22 1a a t ， 故 当 t 确 定 时 ， 2 1t 确 定 ， 所 以 2 2a a 唯 一 确 定 .故 选 B.答 案 ： B 二 、 填 空 题 （ 本

9、大 题 共 7 小 题 ， 多 空 题 每 题 6 分 ， 单 空 题 每 题 4 分 ， 共 36 分 .）9.计 算 ： 2 2log 2 ， 2 4log 3 log 32 .解 析 ：答 案 ： 1 ,3 3210.已 知 na 是 等 差 数 列 ， 公 差 d 不 为 零 .若 2a ， 3a ， 7a 成 等 比 数 列 ， 且 1 22 1a a ， 则 1a ， d .解 析 ： 由 题 可 得 ， 21 1 1( 2 ) ( )( 6 )a d a d a d ， 故 有 13 2 0a d ， 又 因 为 1 22 1a a ，即 13 1a d ， 所 以 1 21,

10、3d a .答 案 ： 2, 13 11.函 数 2sin sin cos 1f x x x x 的 最 小 正 周 期 是 ， 最 小 值 是 .解 析 ： 2 1 1 cos2 1 1 3sin sin cos 1 sin2 1 sin2 cos22 2 2 2 2xf x x x x x x x 2 3sin(2 )2 4 2x ， 所 以 22T ； min 3 2( ) 2 2f x .答 案 ： 3 2, 2 12.已 知 函 数 2, 16 6, 1x xf x x xx ， 则 2f f ， f x 的 最 小 值是 . 解 析 ： ， 所 以 .当 x 1 时 ， ； 当 x

11、 1 时 ， ， 当 6x x ， 6x 时 取 到 等 号 .因 为 2 6 -6 1， 所 以 函 数 的 最小 值 为 2 6 -6.答 案 ： 1;2 6 62 13.已 知 1e ， 2e 是 平 面 单 位 向 量 ， 且 1 2 12e e .若 平 面 向 量 b 满 足 1 2 1b e b e ， 则b . 解 析 ： 由 题 可 知 ， 不 妨 1 (1,0)e ， 2 1 3( , )2 2e ， 设 ( , )b x y ， 则 1 1b e x ，2 1 3 12 2b e x y ， 所 以 3(1, )3b ， 所 以 1 2 31 3 3b .答 案 ： 2

12、3314.已 知 实 数 x ， y满 足 2 2 1x y ， 则 2 4 6 3x y x y 的 最 大 值 是 .解 析 ： 试 题 分 析 ： 2 2 , 2 22 4 6 3 10 3 4 , 2 2x y y xz x y x y x y y x 由 图 可 知 当 2 2y x 时 ， 满 足 的 是 如 图 的 AB劣 弧 ， 则 2 2z x y 在 点 (1,0)A 处 取 得最 大 值 5； 当 2 2y x 时 ， 满 足 的 是 如 图 的 AB优 弧 ， 则 10 3 4z x y 与 该 优 弧 相 切时 取 得 最 大 值 ， 故 10 15zd ， 所 以

13、15z ， 故 该 目 标 函 数 的 最 大 值 为 15.答 案 ： 15 15.椭 圆 2 22 2 1x ya b （ 0a b ） 的 右 焦 点 F ,0c 关 于 直 线 by xc 的 对 称 点 Q在 椭 圆 上 ，则 椭 圆 的 离 心 率 是 .解 析 ： 设 F(c， 0)关 于 直 线 的 对 称 点 为 Q（ m， n） ， 则 有 ， 解 得， 所 以 在 椭 圆 上 ， 即 有， 解 得 2 22a c ， 所 以 离 心 率 22ce a . 答 案 ： 22三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 74分 .解 答 应 写 出 文 字 说

14、明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .）16. （ 本 题 满 分 14 分 ） 在 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 所 对 的 边 分 别 为 , ,a b c .已 知tan( A) 24 .（ 1） 求 2sin2sin2 cosAA A+ 的 值 ；（ 2） 若 B , 34 a ， 求 ABC 的 面 积 . 解 析 ： （ 1） 利 用 两 角 和 与 差 的 正 切 公 式 ， 得 到 tanA=13 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 关 系 式 得 到 结 论 ；（ 2） 利 用 正 弦 定 理 得 到 边 b的 值 ， 根 据 三 角 形 ， 两 边 一 夹

15、 角 的 面 积 公 式 计 算 得 到 三 角 形 的面 积 .答 案 ： （ 1） 由 ， 得 tanA=13 ，所 以（ 2） 由 tanA=13 ， 可 得 ， a=3， B= 4 ， 由 正 弦 定 理 知 ： b= 3 5 .由 ，所 以 .17. （ 本 题 满 分 15 分 ） 已 知 数 列 na 和 nb 满 足 ， *1 1 12, 1, 2 (n N ),n na b a a *1 2 3 11 1 1 1(n N )2 3 n nb b b b bn .（ 1） 求 na 与 nb ; （ 2） 记 数 列 n na b 的 前 n 项 和 为 nT ， 求 nT .

16、解 析 ： (1)根 据 数 列 递 推 关 系 式 ， 确 定 数 列 的 特 点 ， 得 到 数 列 的 通 项 公 式 ； (2)根 据 (1)问 得到 新 的 数 列 的 通 项 公 式 ， 利 用 错 位 相 减 法 进 行 数 列 求 和 .答 案 ： （ 1） 18. （ 本 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 在 三 棱 锥 1 1 1ABC ABC- 中 ，在 底 面 ABC的 射 影 为 BC 的 中 点 ， D 为 1 1BC 的 中 点 . (1)证 明 : 1 1D A BCA 平 面 ；(2)求 直 线 1A B和 平 面 1 1B CB C 所 成 的 角 的

17、正 弦 值 .解 析 ： （ 1） 利 用 线 面 垂 直 的 定 义 得 到 线 线 垂 直 ， 根 据 线 面 垂 直 的 判 定 证 明 直 线 与 平 面 垂 直 ；（ 2） 通 过 添 加 辅 助 线 ， 证 明 1A F 平 面 1 1BB C C ， 以 此 找 到 直 线 与 平 面 所 成 角 的 平 面 角 1A BF ， 在 直 角 三 角 形 1A BF 中 通 过 确 定 边 长 ， 计 算 1A BF 的 正 弦 值 .答 案 ： （ 1 ） 设 E 为 BC中 点 .由 题 意 得 1A E 平 面 ABC， 所 以 1A E AE.因 为 AB=AC ， 所 以

18、 AE BC. 所 以 AE 平 面 1A BC .由 1D E 分 别 为 1 1BC ， BC 的 中 点 ， 得 DE/ 1BB ， 从 而 DE / 1AA ,且 DE= 1AA ，所 以 1AA DE 是 平 行 四 边 形 ， 所 以 1A D/AE.因 为 AE 平 面 1A BC ， 所 以 1A D 平 面 1A BC .(2)作 1AF DE ， 垂 足 为 F， 连 结 BF. 因 为 AE 平 面 1ABC ， 所 以 1BC AE .因 为 BC AE ， 所 以 BC 平 面 1AADE. 所 以 1 1,BC AF AF 平 面 1 1BBCC .所 以 1ABF

19、 为 直 线 1AB与 平 面 1 1BBCC 所 成 角 的 平 面 角 .由 2, 90AB AC CAB ， 得 2EA EB .由 AE 平 面 1ABC， 得 1 1 14, 14A A AB AE .由 1 1 14, 2, 90DE BB DA EA DAE ， 得 1 72AF .所 以 1 7sin 8ABF 19. （ 本 题 满 分 15 分 ） 如 图 ， 已 知 抛 物 线 21 1C 4 x： y= ， 圆 2 22C (y 1) 1x + - =： ， 过 点P(t,0)(t0)作 不 过 原 点 O 的 直 线 PA， PB分 别 与 抛 物 线 1C 和 圆

20、2C 相 切 ， A， B为 切 点 .(1)求 点 A， B 的 坐 标 ； (2)求 PAB 的 面 积 .注 ： 直 线 与 抛 物 线 有 且 只 有 一 个 公 共 点 ， 且 与 抛 物 线 的 对 称 轴 不 平 行 ， 则 该 直 线 与 抛 物 线 相切 ， 称 该 公 共 点 为 切 点 .解 析 ： (1） 设 定 直 线 PA 的 方 程 ， 通 过 联 立 方 程 ， 判 别 式 为 零 ， 得 到 点 A的 坐 标 ； 根 据 圆 的性 质 ， 利 用 点 关 于 直 线 对 称 ， 得 到 点 B的 坐 标 ；（ 2） 利 用 两 点 求 距 离 及 点 到 直

21、线 的 距 离 公 式 ， 得 到 三 角 形 的 底 边 长 与 底 边 上 的 高 ， 由 此 计算 三 角 形 的 面 积答 案 ： （ 1） 由 题 意 可 知 ， 直 线 PA的 斜 率 存 在 ， 故 可 设 直 线 PA的 方 程 为 y=k（ x-t） .所 以 ， 消 去 y ， 整 理 得 ： . 因 为 直 线 PA与 抛 物 线 相 切 ， 所 以 216 16 0k kt ， 解 得 k t .所 以 2x t ， 即 点 2(2 , )A t t . 设 圆 2C 的 圆 心 为 (0,1)D ， 点 B的 坐 标 为 0 0( , )x y ， 由 题 意 知 ，

22、 点 B,O 关 于 直 线 PD 对 称 ，故 有 0 00 0 12 2 0y xtx t y ，解 得 20 02 22 2,1 1t tx yt t .即 点 22 22 2( , )1 1t tB t t .(2)由 (1)知 ， 21AP t t ，直 线 AP的 方 程 为 2 0tx y t ， 所 以 点 B 到 直 线 PA 的 距 离 为 2 21td t .所 以 PAB 的 面 积 为 312 2tS AP d .20. （ 本 题 满 分 15 分 ） 设 函 数 2( ) ,( , )f x x ax b a b R .(1)当 2 14ab = + 时 ， 求

23、函 数 ( )f x 在 1,1- 上 的 最 小 值 ( )g a 的 表 达 式 ；(2)已 知 函 数 ( )f x 在 1,1- 上 存 在 零 点 ， 0 2 1b a ， 求 b 的 取 值 范 围 .解 析 ： （ 1） 将 函 数 进 行 配 方 ， 利 用 对 称 轴 与 给 定 区 间 的 位 置 关 系 ， 通 过 分 类 讨 论 确 定 函 数 在 给 定 上 的 最 小 值 ， 并 用 分 段 函 数 的 形 式 进 行 表 示 ；（ 2） 设 定 函 数 的 零 点 ， 根 据 条 件 表 示 两 个 零 点 之 间 的 不 等 关 系 ， 通 过 分 类 讨 论 ， 分 别 确 定参 数 b的 取 值 情 况 ， 利 用 并 集 原 理 得 到 参 数 b 的 取 值 范 围 .答 案 ： （ 1）