2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海春季卷）数学文及答案解析.docx

《2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海春季卷）数学文及答案解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海春季卷）数学文及答案解析.docx（12页珍藏版）》请在麦多课文档分享上搜索。

1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (上 海 春 季 卷 )数 学 文一 、 填 空 题 (本 大 题 满 分 36分 )本 大 题 共 有 12题 ， 要 求 直 接 填 写 结 果 ， 每 题 填 对 得 3分 ，否 则 一 律 得 0 分 .1.(3分 )函 数 y=log2(x+2)的 定 义 域 是 _.解 析 ： 欲 使 函 数 有 意 义 ， 须 有 x+2 0， 解 得 x -2，所 以 函 数 的 定 义 域 为 (-2， + ).答 案 ： (-2， + ).2.(3分 )方 程 2 x=8 的 解 是 _.解 析 ： 由 2x=8=23，

2、可 得 x=3， 即 此 方 程 的 解 为 3，答 案 ： 3.3.(3分 )抛 物 线 y2=8x的 准 线 方 程 是 _.解 析 ： 抛 物 线 的 方 程 为 y2=8x 抛 物 线 以 原 点 为 顶 点 ， 开 口 向 右 .由 2p=8， 可 得 =2， 可 得 抛 物 线 的 焦 点 为 F(2， 0)， 准 线 方 程 为 x=-2答 案 ： x=-24.(3分 )函 数 y=2sinx的 最 小 正 周 期 是 _. 解 析 ： 函 数 y=2sinx的 最 小 正 周 期 是 = =2 ，答 案 ： 2 .5.(3分 )已 知 向 量 ， .若 ， 则 实 数 k=_.

3、解 析 ： 根 据 向 量 平 行 的 充 要 条 件 可 得 关 于 k 的 方 程 ， 解 出 即 可 .答 案 ： 由 ， 得 1 (k-6)-9k=0， 解 得 k=- ，故 答 案 为 ： .6.(3分 )函 数 y=4sinx+3cosx的 最 大 值 是 _. 解 析 ： 函 数 y=4sinx+3cosx=5( sinx+ cosx)=5sin(x+)， (其 中 ， cos= ， sin= )故 函 数 的 最 大 值 为 5，答 案 ： 5.7.(3分 )复 数 2+3i(i是 虚 数 单 位 )的 模 是 _.解 析 ： 利 用 模 长 公 式 |z|= ， 代 入 计

4、算 即 可 得 出 复 数 2+3i(i 是 虚 数 单 位 )的 模 .答 案 ： 复 数 2+3i， 2+3i的 模 = .故 答 案 为 ： .8.(3分 )在 ABC中 ， 角 A， B， C 所 对 边 长 分 别 为 a， b， c， 若 a=5， c=8， B=60 ， 则 b=_.解 析 ： 在 ABC中 ， a=5， c=8， B=60 ， 根 据 余 弦 定 理 ， 得b 2=a2+c2-2accosB=25+64-2 5 8 cos60 =49解 之 得 b=7(舍 负 )答 案 ： 79.(3分 )正 方 体 ABCD-A1B1C1D1中 ， 异 面 直 线 A1B与

5、B1C 所 成 角 的 大 小 为 _.解 析 ： 连 接 A 1D， 由 正 方 体 的 几 何 特 征 可 得 ： A1D B1C，则 BA1D 即 为 异 面 直 线 A1B 与 B1C 所 成 的 角 ，连 接 BD， 易 得 ：BD=A1D=A1B故 BA1D=60答 案 ： 6010.(3分 )从 4 名 男 同 学 和 6 名 女 同 学 中 随 机 选 取 3 人 参 加 某 社 团 活 动 ， 选 出 的 3人 中 男 女同 学 都 有 的 概 率 为 _ (结 果 用 数 值 表 示 ).解 析 ： 先 求 对 立 事 件 “ 选 出 的 3人 中 只 有 男 同 学 或

6、只 有 女 同 学 ” 的 概 率 ， 然 后 根 据 对 立 事 件的 概 率 和 为 1 可 得 答 案 .答 案 ： 从 10人 中 选 出 的 3 人 中 只 有 男 同 学 或 只 有 女 同 学 的 概 率 为 ： = ， 则 选 出 的 3人 中 男 女 同 学 都 有 的 概 率 为 ： 1- = .故 答 案 为 ： .11.(3分 )若 等 差 数 列 的 前 6 项 和 为 23， 前 9 项 和 为 57， 则 数 列 的 前 n项 和 Sn=_.解 析 ： 设 等 差 数 列 的 前 n 项 和 Sn=an2+bn， 则 由 题 意 可 得 ， 解 得 a、 b的 值

7、 ，即 可 求 得 数 列 的 前 n 项 和 S n的 解 析 式 . 答 案 ： 设 等 差 数 列 的 前 n项 和 Sn=an2+bn， 则 由 题 意 可 得 ， 解 得 ，故 数 列 的 前 n 项 和 Sn= ，故 答 案 为 .12.(3分 )36的 所 有 正 约 数 之 和 可 按 如 下 方 法 得 到 ： 因 为 36=2 2 32， 所 以 36的 所 有 正 约 数之 和 为 (1+3+32)+(2+2 3+2 32)+(22+22 3+22 32)=(1+2+22)(1+3+32)=91， 参 照 上 述 方 法 ，可 求 得 2000的 所 有 正 约 数 之

8、和 为 _.解 析 ： 这 是 一 个 类 比 推 理 的 问 题 ， 在 类 比 推 理 中 ， 参 照 上 述 方 法 ， 2000的 所 有 正 约 数 之 和可 按 如 下 方 法 得 到 ： 因 为 2000=24 53， 所 以 2000的 所 有 正 约 数 之 和 为(1+2+22+23+24)(1+5+52+53)， 即 可 得 出 答 案 .答 案 ： 类 比 36 的 所 有 正 约 数 之 和 的 方 法 ， 有 ：2000的 所 有 正 约 数 之 和 可 按 如 下 方 法 得 到 ： 因 为 2000=2 4 53，所 以 2000 的 所 有 正 约 数 之 和

9、 为 (1+2+22+23+24)(1+5+52+53)=4836.可 求 得 2000的 所 有 正 约 数 之 和 为 4836.故 答 案 为 ： 4836.二 .选 择 题 (本 大 题 满 分 36分 )本 大 题 共 有 12 题 ， 每 题 都 给 出 四 个 结 论 ， 其 中 有 且 只 有 一 个结 论 是 正 确 的 .考 生 必 须 把 真 确 结 论 的 代 码 写 在 题 后 的 括 号 内 ， 选 对 得 3 分 ， 否 则 一 律 得 0分 .13.(3分 )展 开 式 为 ad-bc的 行 列 式 是 ( )A.B. C.D.解 析 ： 根 据 叫 做 二 阶

10、 行 列 式 ， 它 的 算 法 是 ： ad-bc，由 题 意 得 ， =ad-bc.答 案 ： B.14.(3分 )设 f -1(x)为 函 数 f(x)= 的 反 函 数 ， 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )A.f-1(2)=2B.f-1(2)=4C.f-1(4)=2D.f-1(4)=4 解 析 ： f-1(x)为 函 数 f(x)= 的 反 函 数 ， f-1(x)=x2， (x 0)， f-1(2)=4， f-1(4)=16，答 案 ： B.15.(3分 )直 线 2x-3y+1=0的 一 个 方 向 向 量 是 ( )A.(2， -3)B.(2， 3)C.(-3， 2)D.(

11、3， 2)解 析 ： 由 题 意 可 得 ： 直 线 2x-3y+1=0 的 斜 率 为 k= ， 所 以 直 线 2x-3y+1=0的 一 个 方 向 向 量 =(1， )， 或 (3， 2)答 案 ： D.16.(3分 )函 数 f(x)= 的 大 致 图 象 是 ( )A. B.C.D.解 析 ： 因 为 - 0， 所 以 f(x)在 (0， + )上 单 调 递 减 ， 排 除 选 项 B、 C； 又 f(x)的 定 义 域 为 (0， + )，故 排 除 选 项 D，答 案 ： A. 17.(3分 )如 果 a b 0， 那 么 下 列 不 等 式 成 立 的 是 ( )A.B.ab

12、 b2C.-ab -a2D.解 析 ： 由 于 a b 0， 不 妨 令 a=-2， b=-1， 可 得 =-1， ， 故 A 不 正 确 .可 得 ab=2， b 2=1， ab b2， 故 B不 正 确 .可 得 -ab=-2， -a2=-4， -ab -a2， 故 C 不 正 确 .答 案 ： D.18.(3分 )若 复 数 z1， z2满 足 z1= ， 则 z1， z2在 复 数 平 面 上 对 应 的 点 Z1， Z2( )A.关 于 x 轴 对 称B.关 于 y 轴 对 称C.关 于 原 点 对 称D.关 于 直 线 y=x对 称解 析 ： 若 复 数 z 1， z2满 足 z1

13、= ， 则 z1， z2的 实 部 相 等 ， 虚 部 互 为 相 反 数 ， 故 z1， z2在 复 数平 面 上 对 应 的 点 Z1， Z2关 于 x轴 对 称 ，答 案 ： A.19.(3分 )(1+x)10的 二 项 展 开 式 中 的 一 项 是 ( )A.45xB.90 x 2C.120 x3D.252x4解 析 ： (1+x)10的 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 为 Tr+1= xr， 故 当 r=3 时 ， 此 项 为 120 x3，答 案 ： C.20.(3分 )既 是 偶 函 数 又 在 区 间 (0， )上 单 调 递 减 的 函 数 是 ( )A.y=sin

14、xB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x 解 析 ： 由 于 函 数 y=sinx 和 y=sin2x都 是 奇 函 数 ， 故 排 除 A、 C.由 于 函 数 y=cosx是 偶 函 数 ， 周 期 等 于 2 ， 且 在 (0， )上 是 减 函 数 ， 故 满 足 条 件 .由 于 函 数 y=cos2x是 偶 函 数 ， 周 期 等 于 ， 在 (0， )上 是 减 函 数 ， 在 ( ， )上 是 增 函数 ， 故 不 满 足 条 件 .答 案 ： B. 21.(3分 )若 两 个 球 的 表 面 积 之 比 为 1： 4， 则 这 两 个 球 的 体 积 之 比 为

15、 ( )A.1： 2B.1： 4C.1： 8D.1： 16解 析 ： 设 两 个 球 的 半 径 分 别 为 r1、 r2， 根 据 球 的 表 面 积 公 式 ，可 得 它 们 的 表 面 积 分 别 为 S 1=4 ， S2=4 两 个 球 的 表 面 积 之 比 为 1： 4， = = = ， 解 之 得 = (舍 负 )因 此 ， 这 两 个 球 的 体 积 之 比 为 = =( ) 3=即 两 个 球 的 体 积 之 比 为 1： 8答 案 ： C22.(3分 )设 全 集 U=R， 下 列 集 合 运 算 结 果 为 R 的 是 ( )A. Z uC NB. N uC NC. uC

16、 ( uC ) D. uC 0解 析 ： 全 集 U=R， Z uC N =R， N uC N =， uC ( uC )=， uC 0=x R|x 0.答 案 ： A.23.(3分 )已 知 a， b， c R， “ b2-4ac 0” 是 “ 函 数 f(x)=ax2+bx+c 的 图 象 恒 在 x 轴 上 方 ”的 ( )A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 又 非 必 要 条 件 解 析 ： 若 a 0， 欲 保 证 函 数 f(x)=ax2+bx+c 的 图 象 恒 在 x 轴 上 方 ， 则 必 须 保 证 抛 物 线 开

17、 口 向上 ， 且 与 x轴 无 交 点 ；则 a 0 且 =b2-4ac 0. 但 是 ， 若 a=0时 ， 如 果 b=0， c 0， 则 函 数 f(x)=ax2+bx+c=c 的 图 象 恒 在 x 轴 上 方 ， 不 能 得到 =b2-4ac 0；反 之 ， “ b2-4ac 0” 并 不 能 得 到 “ 函 数 f(x)=ax2+bx+c的 图 象 恒 在 x轴 上 方 ” ， 如 a 0 时 .从 而 ， “ b2-4ac 0” 是 “ 函 数 f(x)=ax2+bx+c 的 图 象 恒 在 x 轴 上 方 ” 的 既 非 充 分 又 非 必 要 条件 .答 案 ： D.24.(

18、3分 )已 知 A， B为 平 面 内 两 定 点 ， 过 该 平 面 内 动 点 M作 直 线 AB的 垂 线 ， 垂 足 为 N.若， 其 中 为 常 数 ， 则 动 点 M 的 轨 迹 不 可 能 是 ( )A.圆B.椭 圆C.抛 物 线 D.双 曲 线解 析 ： 以 AB所 在 直 线 为 x 轴 ， AB中 垂 线 为 y 轴 ， 建 立 坐 标 系 ，设 M(x， y)， A(-a， 0)、 B(a， 0)；因 为 ，所 以 y2= (x+a)(a-x)，即 x2+y2= a2， 当 =1 时 ， 轨 迹 是 圆 .当 0 且 1 时 ， 是 椭 圆 的 轨 迹 方 程 ；当 0

19、时 ， 是 双 曲 线 的 轨 迹 方 程 .当 =0时 ， 是 直 线 的 轨 迹 方 程 ；综 上 ， 方 程 不 表 示 抛 物 线 的 方 程 .答 案 ： C. 三 、 解 答 题 (本 大 题 满 分 78分 )本 大 题 共 有 7 题 ， 解 答 下 列 各 题 必 须 写 出 必 要 的 步 骤 .25.(7分 )如 图 ， 在 正 三 棱 柱 ABC-A1B1C1中 ， AA1=6， 异 面 直 线 BC1与 AA1所 成 角 的 大 小 为 ，求 该 三 棱 柱 的 体 积 .解 析 ： 因 为 CC 1 AA1.根 据 异 面 直 线 所 成 角 的 定 义 得 BC1

20、C 为 异 面 直 线 BC1与 AA1所 成 的 角 ，从 而 BC1C= .在 Rt BC1C 中 ， 求 得 BC， 从 而 求 出 S ABC， 最 后 利 用 柱 体 的 体 积 公 式 即 可 求出 该 三 棱 柱 的 体 积 .答 案 ： 因 为 CC1 AA1.所 以 BC1C为 异 面 直 线 BC1与 AA1所 成 的 角 ， 即 BC1C= . 在 Rt BC1C中 ， BC=CC1tan BC1C=6 =2 ，从 而 S ABC= =3 ，因 此 该 三 棱 柱 的 体 积 为 V=S ABC AA1=3 6=18 .26.(7分 )如 图 ， 某 校 有 一 块 形

21、如 直 角 三 角 形 ABC的 空 地 ， 其 中 B 为 直 角 ， AB 长 40米 ， BC长 50 米 ， 现 欲 在 此 空 地 上 建 造 一 间 健 身 房 ， 其 占 地 形 状 为 矩 形 ， 且 B 为 矩 形 的 一 个 顶 点 ，求 该 健 身 房 的 最 大 占 地 面 积 . 解 析 ： 设 出 矩 形 的 边 FP的 边 长 ， 利 用 三 角 形 相 似 求 出 矩 形 的 宽 ， 表 示 出 矩 形 面 积 ， 利 用 二次 函 数 的 最 值 求 解 即 可 .答 案 ： 如 图 ， 设 矩 形 为 EBFP， FP 长 为 x 米 ， 其 中 0 x 4

22、0，健 身 房 占 地 面 积 为 y平 方 米 .因 为 CFP CBA，以 ， ， 求 得 BF=50- ，从 而 y=BF FP=(50- ) x=-=- 500. 当 且 仅 当 x=20 时 ， 等 号 成 立 .答 ： 该 健 身 房 的 最 大 占 地 面 积 为 500平 方 米 .27.(8分 )已 知 数 列 a n的 前 n项 和 为 S ， 数 列 bn满 足 b ， 求.解 析 ： 先 由 Sn求 出 an， 进 而 得 到 bn， 由 bn的 表 达 式 可 判 断 数 列 bn是 无 穷 等 比 数 列 ， 从 而 可得 答 案 .答 案 ： 当 n 2 时 ，

23、=-2n+2， 且 a1=S1=0， 所 以 an=-2n+2.因 为 = ， 所 以 数 列 bn是 首 项 为 1、 公 比 为 的 无 穷 等 比 数 列 .故 = = .28.(13分 )已 知 椭 圆 C 的 两 个 焦 点 分 别 为 F 1(-1， 0)、 F2(1， 0)， 短 轴 的 两 个 端 点 分 别 为 B1，B2(1)若 F1B1B2为 等 边 三 角 形 ， 求 椭 圆 C的 方 程 ；(2)若 椭 圆 C 的 短 轴 长 为 2， 过 点 F2的 直 线 l 与 椭 圆 C 相 交 于 P， Q 两 点 ， 且 ， 求直 线 l的 方 程 .解 析 ： (1)由

24、 F1B1B2为 等 边 三 角 形 可 得 a=2b， 又 c=1， 集 合 a2=b2+c2可 求 a2， b2， 则 椭 圆 C的 方 程 可 求 ；(2)由 给 出 的 椭 圆 C 的 短 轴 长 为 2， 结 合 c=1求 出 椭 圆 方 程 ， 分 过 点 F 2的 直 线 l的 斜 率 存 在和 不 存 在 讨 论 ， 当 斜 率 存 在 时 ， 把 直 线 方 程 和 椭 圆 方 程 联 立 ， 由 根 与 系 数 关 系 写 出 两 个 交 点的 横 坐 标 的 和 ， 把 转 化 为 数 量 积 等 于 0， 代 入 坐 标 后 可 求 直 线 的 斜 率 ， 则 直 线

25、l的 方 程 可 求 .答 案 ： (1)设 椭 圆 C的 方 程 为 .根 据 题 意 知 ， 解 得 ，故 椭 圆 C 的 方 程 为 . (2)由 2b=2， 得 b=1， 所 以 a2=b2+c2=2， 得 椭 圆 C的 方 程 为 .当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时 ， 其 方 程 为 x=1， 不 符 合 题 意 ；当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 l的 方 程 为 y=k(x-1).由 ， 得 (2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设 P(x 1， y1)， Q(x2， y2)， 则 ，因 为 ， 所 以 ， 即 = ， 解 得 ， 即

26、 k= .故 直 线 l 的 方 程 为 或 .29.(12分 )已 知 抛 物 线 C： y 2=4x 的 焦 点 为 F.(1)点 A， P满 足 .当 点 A 在 抛 物 线 C 上 运 动 时 ， 求 动 点 P 的 轨 迹 方 程 ；(2)在 x 轴 上 是 否 存 在 点 Q， 使 得 点 Q 关 于 直 线 y=2x的 对 称 点 在 抛 物 线 C上 ？ 如 果 存 在 ， 求所 有 满 足 条 件 的 点 Q的 坐 标 ； 如 果 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)设 出 动 点 P 和 A 的 坐 标 ， 求 出 抛 物 线 焦 点 F 的 坐 标 ，

27、 由 得 出 P 点 和 A点 的 关 系 ， 由 代 入 法 求 动 点 P的 轨 迹 方 程 ；(2)设 出 点 Q 的 坐 标 ， 在 设 出 其 关 于 直 线 y=2x的 对 称 点 Q 的 坐 标 ， 由 斜 率 关 系 及 中 点 在 y=2x上 得 到 两 对 称 点 坐 标 之 间 的 关 系 ， 再 由 点 Q 在 抛 物 线 上 ， 把 其 坐 标 代 入 抛 物 线 方 程 即 可 求得 Q 点 的 坐 标 .答 案 ： (1)设 动 点 P 的 坐 标 为 (x， y)， 点 A的 坐 标 为 (xA， yA)， 则 ，因 为 F的 坐 标 为 (1， 0)， 所 以

28、 ，由 ， 得 (x-x A， y-yA)=-2(xA-1， yA).即 ， 解 得代 入 y2=4x， 得 到 动 点 P 的 轨 迹 方 程 为 y2=8-4x.(2)设 点 Q 的 坐 标 为 (t， 0).点 Q 关 于 直 线 y=2x 的 对 称 点 为 Q (x， y)，则 ， 解 得 .若 Q 在 C 上 ， 将 Q 的 坐 标 代 入 y2=4x， 得 4t2+15t=0， 即 t=0 或 .所 以 存 在 满 足 题 意 的 点 Q， 其 坐 标 为 (0， 0)和 ( ). 30.(13分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 点 A在 y轴 正 半 轴 上 ，

29、 点 Pn在 x轴 上 ， 其 横 坐 标 为xn， 且 xn 是 首 项 为 1、 公 比 为 2的 等 比 数 列 ， 记 PnAPn+1= n， n N*.(1)若 ， 求 点 A的 坐 标 ；(2)若 点 A 的 坐 标 为 (0， 8 )， 求 n的 最 大 值 及 相 应 n的 值 .解 析 ： (1)利 用 x n 是 首 项 为 1、 公 比 为 2 的 等 比 数 列 ， 确 定 通 项 ， 利 用 差 角 的 正 切 公 式 ，建 立 方 程 ， 即 可 求 得 A 的 坐 标 ；(2)表 示 出 tan n=tan( OAPn+1- OAPn)， 利 用 基 本 不 等

30、式 ， 结 合 正 切 函 数 的 单 调 性 ， 即 可 求得 结 论 .答 案 ： (1)设 A(0， t)(t 0)， 根 据 题 意 ， xn=2n-1.由 ， 知 ，而 tan 3=tan( OAP4- OAP3)= = ，所 以 ， 解 得 t=4 或 t=8.故 点 A的 坐 标 为 (0， 4)或 (0， 8).(2)由 题 意 ， 点 P n的 坐 标 为 (2n-1， 0)， tan OAPn= . tan n=tan( OAPn+1- OAPn)= = .因 为 ， 所 以 tan n = ，当 且 仅 当 ， 即 n=4时 等 号 成 立 . 0 n ， y=tanx

31、在 (0， )上 为 增 函 数 ， 当 n=4 时 ， n最 大 ， 其 最 大 值 为 . 31.(18分 )已 知 真 命 题 ： “ 函 数 y=f(x)的 图 象 关 于 点 P(a， b)成 中 心 对 称 图 形 ” 的 充 要 条 件为 “ 函 数 y=f(x+a)-b 是 奇 函 数 ” .(1)将 函 数 g(x)=x3-3x2的 图 象 向 左 平 移 1 个 单 位 ， 再 向 上 平 移 2 个 单 位 ， 求 此 时 图 象 对 应 的函 数 解 析 式 ， 并 利 用 题 设 中 的 真 命 题 求 函 数 g(x)图 象 对 称 中 心 的 坐 标 ；(2)求

32、函 数 h(x)= 图 象 对 称 中 心 的 坐 标 ；(3)已 知 命 题 ： “ 函 数 y=f(x)的 图 象 关 于 某 直 线 成 轴 对 称 图 象 ” 的 充 要 条 件 为 “ 存 在 实 数 a和 b， 使 得 函 数 y=f(x+a)-b 是 偶 函 数 ” .判 断 该 命 题 的 真 假 .如 果 是 真 命 题 ， 请 给 予 证 明 ；如 果 是 假 命 题 ， 请 说 明 理 由 ， 并 类 比 题 设 的 真 命 题 对 它 进 行 修 改 ， 使 之 成 为 真 命 题 (不 必 证明 ).解 析 ： (1)先 写 出 平 移 后 图 象 对 应 的 函 数

33、 解 析 式 为 y=(x+1) 3-3(x+1)2+2， 整 理 得 y=x3-3x， 由于 函 数 y=x3-3x是 奇 函 数 ， 利 用 题 设 真 命 题 知 ， 函 数 g(x)图 象 对 称 中 心 .(2)设 h(x)= 的 对 称 中 心 为 P(a， b)， 由 题 设 知 函 数 h(x+a)-b是 奇 函 数 ， 从 而求 出 a， b 的 值 ， 即 可 得 出 图 象 对 称 中 心 的 坐 标 .(3)此 命 题 是 假 命 题 .举 反 例 说 明 ： 函 数 f(x)=x的 图 象 关 于 直 线 y=-x成 轴 对 称 图 象 ， 但 是 对任 意 实 数

34、a和 b， 函 数 y=f(x+a)-b， 即 y=x+a-b总 不 是 偶 函 数 .修 改 后 的 真 命 题 ： “ 函 数 y=f(x)的 图 象 关 于 直 线 x=a成 轴 对 称 图 象 ” 的 充 要 条 件 是 “ 函 数 y=f(x+a)是 偶 函 数 ” .答 案 ： (1)平 移 后 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y=(x+1) 3-3(x+1)2+2， 整 理 得 y=x3-3x，由 于 函 数 y=x3-3x是 奇 函 数 ， 由 题 设 真 命 题 知 ， 函 数 g(x)图 象 对 称 中 心 的 坐 标 是 (1， -2).(2)设 h(x)=

35、的 对 称 中 心 为 P(a， b)，由 题 设 知 函 数 h(x+a)-b 是 奇 函 数 .设 f(x)=h(x+a)-b， 则 f(x)= -b，即 f(x)= .由 不 等 式 的 解 集 关 于 原 点 对 称 ， 则 -a+(4-a)=0， 得 a=2.此 时 f(x)= -b， x (-2， 2). 任 取 x (-2， 2)， 由 f(-x)+f(x)=0， 得 b=1，所 以 函 数 h(x)= 图 象 对 称 中 心 的 坐 标 是 (2， 1).(3)此 命 题 是 假 命 题 .举 反 例 说 明 ： 函 数 f(x)=x的 图 象 关 于 直 线 y=-x成 轴 对 称 图 象 ，但 是 对 任 意 实 数 a 和 b， 函 数 y=f(x+a)-b， 即 y=x+a-b总 不 是 偶 函 数 .修 改 后 的 真 命 题 ： “ 函 数 y=f(x)的 图 象 关 于 直 线 x=a成 轴 对 称 图 象 ” 的 充 要 条 件 是 “ 函 数y=f(x+a)是 偶 函 数 ” .