【考研类试卷】考研数学一-441及答案解析.doc

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1、考研数学一-441 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 n 阶矩阵，对于齐次线性方程()A nx=0 和()A n+1x=0，则必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解是()的解，但()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)是可微函数且 f(0，0)=0，则下列等式中对任何 x 与 y 都成立的是（分数：4.00）A.B.C.D.4.对任意正整数 m

2、，n，随机变量 X 都满足 PXm+n|Xm=PXn，记 PX1=P，则下列结论中一定不正确的是（分数：4.00）_5.下列等式中（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列四个条件 |f(x)|在点 x=a 处可导； f(x)=(x-a)(x)，其中 (x)在点 x=a 处连续； 使得 有f(x)|f|x-a| ，其中 L0，1 为常数； n 为正整数中能分别推出 （分数：4.00）A.B.C.D.7.下列命题中不正确的是（分数：4.00）A.在区域 D=(x，y)|(x，y)(1，0)内与路径无关B.在区域 D=(x，y)|(x，y)(0，0)内不是与路径无关C.设 P(x，y)，Q(x，y

3、)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 则D.在区域 D=(x，y)|(x，y)(0，0)上不存在原函数8.设总体 XN(，4)，据某一容量为 16 的样本，计算得知总体均值 的置信度为 95%的置信区间I=(9.02，10.98)现对于显著性水平 =0.05，检验 H0:= 0，H 1: 0，记统计量 V= （分数：4.00）_二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在 x=0 邻域有二阶连续导数，且满足 f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_10.设 y(x)是 y(3)+y=0 的解且 x0 时 y(x)是 x2的等价无穷小，则 y(x)=_（分数：4.00

4、）填空项 1:_11.函数 在点 M0(1，1，1)处沿曲面 2z=x2+y2在点 M0处外法线方向 n 的方向导数 （分数：4.00）填空项 1:_12.设 是由曲面 x2+y2-z2=0 与平面 z=2 围成的空间区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 ABC=D，其中（分数：4.00）填空项 1:_14.设总体 X 的数学期望和方差都存在，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，则对于任意 i，j(ij)， （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设()求证： （分数：11.00）_16.设有摆线 试求：(

5、)L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积；()L 上任意点处的曲率；()L 与 x 轴所围平面图形的形心 （分数：11.00）_17.设 当 r0 时有连续的二阶偏导数且满足（分数：11.00）_18.设 A(2，2)，B(1，1)， 是从点 A 到点 B 的线段 下方的一条光滑定向曲线 y=y(x)，且它与围成的面积为 2，又 (y)有连续导数，求曲线积分（分数：11.00）_19.设曲线 (正整数 n1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为 I(n)，证明：()()() （分数：11.00）_20.已知矩阵 （分数：11.00）_21.已知矩阵（分数：11.00）_22.设 X，Y 是两个离

6、散型随机变量，X 只取-1 和 1 两个值，Y 只取-1，0，1 三个值，已知EX=0.2。EY=0.25，PX=-1，Y=1=0.2，PX=1，Y=-1=0.1，PY=-1=0.2试求：()X 与 Y 的联合概率分布与它们的协方差；()X 与 Y2的联合概率分布与它们的协方差（分数：11.00）_23.设 X 与 Y 都是只取非负整数值的离散型随机变量，X 服从参数为 p 的泊松分布，在 X=m 为已知时，Y的条件概率函数为（分数：11.00）_考研数学一-441 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 A 为 n 阶矩阵，对于齐

7、次线性方程()A nx=0 和()A n+1x=0，则必有（分数：4.00）A.()的解是()的解，()的解也是()的解 B.()的解是()的解，但()的解不是()的解C.()的解是()的解，但()的解不是()的解D.()的解不是()的解，()的解也不是()的解解析：分析 若 是()的解，即 An=0，显然 An+1=A(A n)=A0=0，即 必是()的解可排除(C)和(D)若 是()的解，即 An+1=O假若 不是()的解，即 An0，那么对于向量组，A,A 2，A n，一方面这是 n+1 个 n 维向量必线性相关；另一方面，若k+k 1A+k 2A2+k nAn=0，用 An左乘上式，并

8、把 An+1=0，A n+2=0，代入，得 kA n=0由于 An0，必有 k=0对k1A+k 2A2+k nAn=0，用 An-1左乘上式可推知 k1=0类似可知 ki=0(i=2，3，n)于是向量组 ，A,A 2，A n 线性无关，两者矛盾所以必有An=0，即()的解必是()的解由此可排除(B)故应选(A)2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以*矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩*所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化矩阵 C 是实对称矩阵，故必有*矩阵 D 的特征

9、值也是 2，2，5，由于*所以，=2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化故应选(B)评注 本题归纳了判断相似对角化的基本思路与方法.当 AT=A 或 A 有 n 个不同的特征值时，矩阵 A 必可相似对角化；而当特征值有重根时，要通过秩来判断.3.设 f(x，y)是可微函数且 f(0，0)=0，则下列等式中对任何 x 与 y 都成立的是（分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 由于 f(0，0)=0，因此 f(x，y)可看成的一元函数 F(t)=f(ts，ty)的改变量，即 f(x，y)=F(1)-F(0)*其中 F(t)是二元函数 f(u，v)与 t 的一元函数 u=

10、xt，v=yt 的复合函数由复合函数求导法*代入上式得*因此选(C)4.对任意正整数 m，n，随机变量 X 都满足 PXm+n|Xm=PXn，记 PX1=P，则下列结论中一定不正确的是（分数：4.00）_解析：分析 离散型随机变量中的几何分布与连续型随机变量中的指数分布都满足题设条件若 X 服从几何分布，则 p=PX1=0，若 X 服从指数分布，则 p=PX15.下列等式中（分数：4.00）A.B. C.D.解析：分析 要逐一分析是错误的由于*在0，上连续，又 f(x)0(0)，(x0，*不正确错误的步骤是*应是*，也是错误的由 f(x)在(-，+)连续且是奇函数*可能积分*对于来说，*因为*

11、发散*发散*不正确对于，*是瑕积分，x=0 是瑕点，*发散*发散*不正确是正确的易知*f(x)在-1，1上连续，且是奇函数*因此，选(B)评注 *6.下列四个条件 |f(x)|在点 x=a 处可导； f(x)=(x-a)(x)，其中 (x)在点 x=a 处连续； 使得 有f(x)|f|x-a| ，其中 L0，1 为常数； n 为正整数中能分别推出 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：分析 这类题目要逐一分析由不能推出 f(a)存在，如*显然|f(x)|=1 在点 x=a 处可导，但 f(x)在点 x=a 处不连续，因而不可导由可推出 f(x)在点 x=a 处可导这里 (x)不一定可导，只

12、能按定义讨论考察*由可推出 f(a)存在，在不等式中，取 x=a 得 f(a)=0，又可得*因 1，*存在且为零由不能推出 f(a)存在，这只是极限*当*离散地趋于零的特殊情形综上分析，应选(C)*7.下列命题中不正确的是（分数：4.00）A.在区域 D=(x，y)|(x，y)(1，0)内与路径无关B.在区域 D=(x，y)|(x，y)(0，0)内不是与路径无关C.设 P(x，y)，Q(x，y)在区域 D 内有连续的一阶偏导数，又 则 D.在区域 D=(x，y)|(x，y)(0，0)上不存在原函数解析：分析一 若熟悉积分与路径无关的判别法则，则可知(C)不正确在(C)中的条件下，若又有区域D

13、是单连通的，则*在区域 D 与路径无关；若 D 不是单连通的，则积分*不一定与路径无关分析二 关于(A)：易求原函数*因此*在 D 内与路径无关当 P(x，y)，Q(x，y)在 D 连续时，*在 D 内与路径无关*原函数因而(B)，(D)或均正确或均不正确由于这四个结论中只有一个不正确，因而(B)，(D)均正确故应选(C)评注 *8.设总体 XN(，4)，据某一容量为 16 的样本，计算得知总体均值 的置信度为 95%的置信区间I=(9.02，10.98)现对于显著性水平 =0.05，检验 H0:= 0，H 1: 0，记统计量 V= （分数：4.00）_解析：分析 根据正态总体方差已知关于求期

14、望 的置信区间公式：*其中样本统计量 UN(0，1)且 满足P|U|=0.95由题设条件可计算出样本均值的观察值为*在检验 H0:= 0，H 1: 0时，选取的统计量*其 H0的拒绝域为*因此对于统计量*的拒绝域应为R=|V|0.98二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.设 f(x)在 x=0 邻域有二阶连续导数，且满足 f(0)=1，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 所求极限是“-”型未定式，可通分化为求*型未定式的极限*10.设 y(x)是 y(3)+y=0 的解且 x0 时 y(x)是 x2的等价无穷小，则 y(x)=_（分数：4.00）填空项 1

15、:_ （正确答案：2(1-cosx)）解析：分析 令 P=y，则得 P“+P=0，它的特征方程是 2+1=0，于是通解为 =P=C 1cosx+C2sinx，再积分一次，即得原方程的通解是y=C1sinx-C2cosx+C3下面要定出常数 C1，C 2，C 3方法 1。 由泰勒公式*及 y(x)x 2 (x0)* y(0)=0，y(0)=0，y“(0)=2* y(x)=2(1-cosx)方法 2 由*因此 y(x)=2(1-cosx)11.函数 在点 M0(1，1，1)处沿曲面 2z=x2+y2在点 M0处外法线方向 n 的方向导数 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析

16、 记*则1 *2 M0在曲面 2z=x2+y2上，M 0处外法向 n 的方向余弦*3 代公式得*12.设 是由曲面 x2+y2-z2=0 与平面 z=2 围成的空间区域，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析一 选用球坐标，则 的球坐标表示：*分析二 选用柱坐标变换，且选择先对 r 积分的顺序由于0z2，D(z)：02，0rz，*13.已知 ABC=D，其中（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 A、C 都是初等矩阵，它们可逆，故 B=A -1DC-1我们可以求出 B，然后按定义法求 B*这样计算量较大，若注意到 D 可逆，于是 B 可逆，而由*

17、因此亦可通过求 B-1来达到求 B*易见，|B|=|A -1|D|C-1|=-6又 B -1=(A-1DC-1)=CD-1A*故*14.设总体 X 的数学期望和方差都存在，X 1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，则对于任意 i，j(ij)， （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 记 =EX， 2=DX对任意 i，j(ij)，因 Xi和 Xj独立同分布，故 cov(Xi，X j)=0且*于是*现在计算*的方差：*因此，对于任意 i，j(ij)，得观测值*的相关系数*三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设()求证： （分数：11.00

18、）_正确答案：(分析与求解 ()由变限积分求导法得f(x)=arcsin|sinx|2sinxcosx*arccos|cosx|2sinxcosx=2sinxcosx(arcsin|sinx|-arccos cosx|)记 =arcsin|sinx|，=arccos|cosx|，下证 =显然，* sin2+cos 2=1，sin 2=sin 2* =因此*，即 f(x)为常数*()方法 1*方法 2 *方法 3 最简单的方法应选择*注意*)解析：16.设有摆线 试求：()L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积；()L 上任意点处的曲率；()L 与 x 轴所围平面图形的形心 （分数：11.00）

19、_正确答案：(分析与求解 ()这是由参数方程给出的曲线由于x()=1-cos， y()=sin，则按旋转面面积计算公式，可得该旋转面的面积*()按参数式求导法，先求出*再求出*最后按曲率公式，L 上*点处的曲率为*()由平面图形的形心公式，有*当 x=-sin 时 -，对应 x-，相应地*因此*由对称性知，*故所求平面图形的质心为*)解析：17.设 当 r0 时有连续的二阶偏导数且满足（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 由复合函数求导法，建立 u 对 x，y 的偏导数与 u 对 r 的导数的关系，把题设方程(*)转化为 u(r)的常微分方程，然后求出 u(r)u(x，y)是 u(r)

20、与*的复合函数*将它们相加得*于是题设方程(*)变成*令 p=u(r)，降阶得*这是伯努利方程，改写成*两边乘*得*积分得*再积分得*)解析：18.设 A(2，2)，B(1，1)， 是从点 A 到点 B 的线段 下方的一条光滑定向曲线 y=y(x)，且它与围成的面积为 2，又 (y)有连续导数，求曲线积分（分数：11.00）_正确答案：(分析与求解 把所求曲线积分分成两部分，其中一个积分的被积表达式易求原函数，另一积分可添加辅助线*后用格林公式*其中*为用格林公式求 I2，添加辅助线*围成区域 D，并构成 D 的负向边界，于是*又*的方程：y=x，x1，2，则*因此*=-4+3=-故 I=I

21、1+I2=)解析：评注 *19.设曲线 (正整数 n1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为 I(n)，证明：()()() （分数：11.00）_正确答案：(分析与证明 ()如图，由题设有*，从而*令*于是*()对题()中的 I(n)表达式，令 t=sin，则有*方法 1 将式作如下变形*方法 2 将式作如下变形*将，两式相加得*由连续函数定积分的比较性质可得*() 由*为求此级数的和，考察*则有*取*因此*)解析：20.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：(解 由矩阵 A 的特征多项式*知矩阵 A 的特征值是 1，1，2因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，所以秩 r(E-A)=1又*

22、故 a=1由(E-A)x=0，即*得基础解系 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，0) T由 (2E-A)x=0，即*得基础解系 3=(2，-1，3) T那么令 P=( 1， 2， 3)，有*于是*)解析：评注 要搞清相似对角化的充分必要条件，掌握相似对角化的应用求 An.21.已知矩阵（分数：11.00）_正确答案：(解 ()因为 AT=A，则(AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P，又*构造二次型*经配方*那么，令*即*则二次型化为标准形*于是，二次型合同故*其中*()由|E-A|=( 2-1)(-5)，知矩阵 A 的特征值为：1，5，0，-1，进而可知 A+kE 的特征值为k+

23、1，k+5，k，k-1于是由 A+kE 正定可知，k1)解析：22.设 X，Y 是两个离散型随机变量，X 只取-1 和 1 两个值，Y 只取-1，0，1 三个值，已知EX=0.2。EY=0.25，PX=-1，Y=1=0.2，PX=1，Y=-1=0.1，PY=-1=0.2试求：()X 与 Y 的联合概率分布与它们的协方差；()X 与 Y2的联合概率分布与它们的协方差（分数：11.00）_正确答案：(解 ()首先我们列出 X 与 Y 的联合概率分布结构表(见表 1)，表中未知的 pij待求*根据联合分布与边缘分布间的关系及数学期望定义容易求出表 1 中 pij(i=1，2，j=1，2，3)各值，对

24、照表1，具体计算如下：1)P11=P1-P21=0.2-0.1=0.1；*于是 P12=P1-p11-P13=0.4-0.1=0.2=0.1，P22=P2-P12=0.35-0.1=0.25从上述计算结果可得 X 与 Y 的联合概率分布(见表 2)为：*EXY=(-1)(-1)0.1+(-1)10.2+1(-1)0.1+110.25=0.05，于是 cov(X，Y)=EXY-EXEY=0.05-0.20.25=0()从 X 与 Y 的联合概率分布容易求出 X 与 Y2的联合概率分布、边缘分布(见表 3)*EX=0.2，EY 2=0.65，EXY 2=0.05，于是 COV(X，Y 2)=EXY2-EXEY2=0.05-0.20.65=-0.08)解析：23.设 X 与 Y 都是只取非负整数值的离散型随机变量，X 服从参数为 p 的泊松分布，在 X=m 为已知时，Y的条件概率函数为（分数：11.00）_正确答案：(解 ()依题意*则(X，Y)的联合概率函数为*()由()知，当 mn 时，PX=m，Y=n=0，因此 Y 的边缘概率函数为*() 在 Y=n 为已知时，X 的条件概率函数为*)解析：