【考研类试卷】考研数学一-211及答案解析.doc

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1、考研数学一-211 及答案解析(总分：157.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.2F1(x)+0.8F1(2x)，其中 F1(y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：4.00）A.0.36B.0.44C.0.64D.12.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 （分数：4.00）A.B.C.D.5.学生考试成绩服从正态分布 N(，3 2)，任取 36 个学生的成绩，平均成绩 x=60，

2、则 的置信度为 0.95的置信区间为( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.下列级数收敛的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个8.设 A 为 mn 矩阵，且 r（分数：4.00）A.=mn，则下列结论正确的是( )(A) A 的任意 m 阶子式都不等于零B.A 的任意 m 个列向量线性无关C.方程组 AX=b 一定有无数个解D.矩阵 A 经过初等行变换化为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_1

3、0.设 =(x，y，z)|x 2+y2+(z-1)21，x0，Y0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_11.设 ，有一阶连续的偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 y“-3y+2y=2ex满足 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1+2E|= 1（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令 U= （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：101.00)15.设 且 g

4、(x)的一个原函数为 ln(x+1)，求 （分数：9.00）_16.设 f(x)在0,1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)。证明：存在 (0,1),使得（分数：10.00）_设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 （分数：11.01）(1).证明：F(x)单调增加（分数：3.67）_(2).当 x 取何值时，F(x)取最小值?（分数：3.67）_(3).当 F(x)的最小值为 f(a)-a2-1 时，求函数 f(x)（分数：3.67）_17.现有两个分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2L/min

5、 的速度注入第二只桶中，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：10.00）_18.计算 （分数：10.00）_19.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组（分数：11.00）_设 =(1，1，-1)T 是 （分数：11.00）(1).确定参数 a，b 及特征向量所对应的特征值；（分数：5.50）_(2).问 A 是否可以对角化?说明理由（分数：5.50）_设 X 的概率密度为且 （分数：18.00）(1).求 a，b 的值；（分数：6.00）_(2).求随机变量 X 的分布函数；（分数：6.00）_(3).求 Y=X3的密度函数（分数：6.0

6、0）_设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为（分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_(2).求 的极大似然估计量（分数：5.50）_考研数学一-211 答案解析(总分：157.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设随机变量 X 的分布函数为 F(x)=0.2F1(x)+0.8F1(2x)，其中 F1(y)是服从参数为 1 的指数分布的随机变量的分布函数，则 D(X)为( )（分数：4.00）A.0.36B.0.44 C.0.64D.1解析：详解 设 X1E(1)，其密度函数为*其分布函数为

7、F1(x)=*2.曲线 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：详解 *3.设 f(x，y)在(0，0)处连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：详解 *4.设 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 *因为 f(x)在 x=0 处可导，所以 k-2=3，即 k=5，选(C)5.学生考试成绩服从正态分布 N(，3 2)，任取 36 个学生的成绩，平均成绩 x=60，则 的置信度为 0.95的置信区间为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 取*6.下列级数收敛的是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 *7.设 ， 为四维非零的正交向量，且 A

8、= T，则 A 的线性无关的特征向量个数为( )（分数：4.00）A.1 个B.2 个C.3 个 D.4 个解析：详解 令 AX=X，则 A2X= 2X，因为 ， 正交，所以 T= T=0，A 2= T T=O，于是 2X=0，故 1= 2= 3= 4=0，因为 ， 为非零向量，所以 A 为非零矩阵，故 r(A)1；又 r(A)=r() Tr()=1，所以 r(A)=1因为 4-r(OE-A)=4-r(A)=3，所以 A 的线性无关的特征向量是 3 个，选(C)8.设 A 为 mn 矩阵，且 r（分数：4.00）A.=mn，则下列结论正确的是( )(A) A 的任意 m 阶子式都不等于零B.A

9、 的任意 m 个列向量线性无关C.方程组 AX=b 一定有无数个解 D.矩阵 A 经过初等行变换化为解析：详解 因为 A 与 A 都是 m 行，所以 r(A)=r(*)=mn，因此方程组 AX=b 一定有无数个解，选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *于是法线为 y-1=*，即法线方程为*10.设 =(x，y，z)|x 2+y2+(z-1)21，x0，Y0)，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *11.设 ，有一阶连续的偏导数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*

10、）解析：详解 *12.微分方程 y“-3y+2y=2ex满足 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：y=-3e x+3e2x-2xex）解析：详解 特征方程为 2-3+2=0，特征值为 1=1， 2=2，y“-3y+2y=0 的通解为y=C1ex+C2e2x令原方程的特解为 y0(x)=Axex，代入原方程为 A=-2，原方程的通解为y=C1ex+C2ex-2xex由*代入通解得 C1=-3，C 2=3，特解为 y=-3ex+3e2x-2xex13.已知三阶方阵 A，B 满足关系式 E+B=AB，A 的三个特征值分别为 3，-3，0，则|B -1+2E|= 1（分数：4.00）填空项

11、1:_ （正确答案：-8）解析：详解 因为 A 的特征值为 3，-3，0，所以 A-E 的特征值为 2，-4，-1，从而 A-E 可逆，由 E+B=AB得(A-E)B=E，即 B 与 A-E 互为逆阵，则 B 的特征值为*B -1的特征值为 2，-4，-1，从而 B-1+2E 的特征值为 4，-2，1，于是|B -1+2E|=-814.设 X1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本，其中 E(X)=，D(X)= 2，令 U= （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：详解 *三、解答题(总题数：9，分数：101.00)15.设 且 g(x)的一个原函数为 ln(x+1)，

12、求 （分数：9.00）_正确答案：(*)解析：16.设 f(x)在0,1上二阶连续可导，且 f(0)=f(1)。证明：存在 (0,1),使得（分数：10.00）_正确答案：(*)解析：设 f(x)为-a，a上的连续的偶函数且 f(x)0，令 （分数：11.01）(1).证明：F(x)单调增加（分数：3.67）_正确答案：(*因为 F“(x)=2f(x)0：所以 F(x)为单调增加的函数)解析：(2).当 x 取何值时，F(x)取最小值?（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：(3).当 F(x)的最小值为 f(a)-a2-1 时，求函数 f(x)（分数：3.67）_正确答案：(*)解析：17

13、.现有两个分别盛有 10L 浓度为 15g/L 的盐水，现同时以 2L/min 的速度向第一只桶中注入清水，搅拌均匀后以 2L/min 的速度注入第二只桶中，然后以 2L/min 的速度从第二只桶中排出，问 5min 后第二只桶中含盐多少克?（分数：10.00）_正确答案：(设 时刻第一、二只桶中所含的盐的质量分别为 m1(t)，m 2(t)，则有*)解析：18.计算 （分数：10.00）_正确答案：(*)解析：19.就 a，b 的不同取值情况讨论方程组（分数：11.00）_正确答案：(*1) 当 a-1,a6 时，方程组只有唯一解；2) 当 aa=-1 时，*当 a=-1，b36 时，方程组

14、无解；当 a=-1，b=36 时，方程组有无数个解，*方程组的通解为*3) 当 a=6，b 为任意取值时，*)解析：设 =(1，1，-1)T 是 （分数：11.00）(1).确定参数 a，b 及特征向量所对应的特征值；（分数：5.50）_正确答案：(*)解析：(2).问 A 是否可以对角化?说明理由（分数：5.50）_正确答案：(由|E-A|=(+1) 3=0，得 =-1 是三重特征值因为 r(-E-A)=2，所以 =-1 对应的线性无关的特征向量只有一个，所以 A 不可以对角化)解析：设 X 的概率密度为且 （分数：18.00）(1).求 a，b 的值；（分数：6.00）_正确答案：(*)解析：(2).求随机变量 X 的分布函数；（分数：6.00）_正确答案：(*)解析：(3).求 Y=X3的密度函数（分数：6.00）_正确答案：(F Y(y)=PX3y)，当 y-8 时，F Y(y)=0；*)解析：设 X1，X 2，X n是来自总体 X 的简单随机样本，且总体 X 的密度函数为（分数：11.00）(1).求 的矩估计量；（分数：5.50）_正确答案：(*)解析：(2).求 的极大似然估计量（分数：5.50）_正确答案：(*)解析：