2015年四川省乐山市中考真题数学.docx

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1、 2015 年四川省乐山市中考真题数学 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求 . 1.(3 分 )3 的相反数是 ( ) A. -3 B. 3 C. - D. 解 析 ： 根据相反数的含义，可得 3 的相反数是： -3. 故选： A. 2.(3 分 )下列几何体中，正视图是矩形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、球的正视图是圆，故此选项错误； B、圆柱的正视图是矩形，故此选项正确； C、圆锥的正视图是等腰三角形，故此选项错误； D、圆台的正视图是等腰梯形，故此选项错误； 故选： B. 3.(3 分

2、 )某班开展 1 分钟仰卧起坐比赛活动， 5 名同学的成绩如下 (单位：个 )： 37、 38、 40、40、 42.这组数据的众数是 ( ) A. 37 B. 38 C. 40 D. 42 解 析 ： 由题意得， 40 出现的次数最多，众数为 40. 故选： C. 4.(3 分 )下列说法不一定成立的是 ( ) A. 若 a b，则 a+c b+c B. 若 a+c b+c，则 a b C. 若 a b，则 ac2 bc2 D. 若 ac2 bc2，则 a b 解 析 ： A、在不等式 a b 的两边同时加上 c，不等式仍成立，即 a+c b+c，故本选项错误； B、在不等式 a+c b+c

3、 的两边同时减去 c，不等式仍成立，即 a b，故本选项错误； C、当 c=0 时，若 a b，则不等式 ac2 bc2不成立，故本选项正确； D、在不等式 ac2 bc2的两边同时除以不为 0 的 c2，该不等式仍成立，即 a b，故本选项错误 . 故选： C. 5.(3分 )如图， l1l 2l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A、 B、 C和 D、 E、 F.已知 ，则 的值为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： l 1l 2l 3， ， ， 故选： D. 6.(3 分 )二次函数 y=-x2+2x+4 的最大值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解 析 ：

4、 y=-(x-1)2+5， a= -1 0， 当 x=1 时， y 有最大值，最大值为 5. 故选： C. 7.(3 分 )如图，已知 ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 过 B 点作 BDAC ，如图， 由勾股定理得， ， 故选： D. 8.(3 分 )电影刘三姐中，秀才和刘三姐对歌的场面十分精彩 .罗秀才唱到： “ 三百条狗交给你，一少三多四下分， 不要双数要单数，看你怎样分得均？ ” 刘三姐示意舟妹来答，舟妹唱道： “ 九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条财主请来当奴才 .” 若用数学方法解决罗秀才提出的问题

5、，设 “ 一少 ” 的狗有 x 条， “ 三多 ” 的狗有 y 条，则解此问题所列关系式正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 设 “ 一少 ” 的狗有 x 条， “ 三多 ” 的狗有 y 条，可得： ， 故选： B. 9.(3 分 )已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，记 m=|a-b+c|+|2a+b+c|，n=|a+b+c|+|2a-b-c|.则下列选项正确的是 ( ) A. m n B. m n C. m=n D. m、 n 的大小关系不能确定 解 析 ： 抛物线开口向下， a 0， 对称轴在 y 轴右边， b 0， 抛物线经过原点， c=0 ， a -b

6、+c 0； x=1 时， y 0， a+b+c 0， c=0 ， a+b 0. x= - 1， a 0， b -2a， 2a+b 0， m=|a-b+c|+|2a+b+c| =b-a+(2a+b) =a+2b n=|a+b+c|+|2a-b-c| =a+b+(b-2a) =2b-a m-n=(a+2b)-(2b-a) =2a a 0， 2a 0， 即 m-n 0， m n. 故选： A. 10.(3 分 )如图，已知直线 y= x-3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， P 是以 C(0， 1)为圆心，1 为半径的圆上一动点，连结 PA、 PB.则 PAB 面积的最大值是 ( )

7、A. 8 B. 12 C. D. 解 析 ： 直线 y= x-3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点， A 点的坐标为 (4， 0)， B 点的坐标为 (0， -3)， 3x-4y-12=0， 即 OA=4， OB=3，由勾股定理得： AB=5， 点 C(0， 1)到直线 3x-4y-3=0 的距离是 ， 圆 C 上点到直线 y= x-3 的最大距离是 1+ = ， PAB 面积的最大值是 5 = ， 故选： C. 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3分，共 18分 . 11.(3 分 )的倒数是 _. 解 析 ： 的倒数是 2， 故答案为： 2. 12.(3 分 )函数 的自

8、变量 x 的取值范围是 _. 解 析 ： 根据题意得， x-20 ， 解得 x2. 故答案为： x2. 13.(3 分 )九年级 1 班 9 名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况，植了 2 棵树的有 5 人，植了 4 棵树的有 3 人，植了 5 棵树的有 1 人，那么平均每人植树 _棵 . 解 析 ： 平均每人植树 棵， 故答案为： 3. 14.(3 分 )如图，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC， DE 垂直平分 AB，已知 ADE=40 ，则 DBC= _. 解 析 ： DE 垂直平分 AB， AD=BD ， AED=90 ， A=ABD ， ADE=40 ， A=

9、90 -40=50 ， ABD=A=50 ， AB=AC ， ABC=C= (180 -A)=65 ， DBC=ABC -ABD=65 -50=15 ， 故答案为： 15. 15.(3 分 )如图，已知 A(2 ， 2)、 B(2 ， 1)，将 AOB 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 旋转到点 A( -2， 2 )的位置，则图中阴影部分的面积为 _. 解 析 ： 由 A(2 ， 2)使点 A 旋转到点 A( -2， 2 )的位置易得旋转 90 ，根据旋转的性质可得，阴影部分的面积等于 S 扇形 AOA-S 扇形 COC，从而根据 A， B 点坐标知 OA=4， OC=OB= ，可得出阴影部分

10、的面积 . 答案 ： A(2 ， 2)、 B(2 ， 1)， OA=4 ， OB= ， 由 A(2 ， 2)使点 A 旋转到点 A( -2， 2 )， AOA=BOB=90 ， 根据旋转的性质可得， S =SOBC， 阴影部分的面积等于 S 扇形 AOA-S 扇形 COC= 4 2- ( )2= ， 故答案为： . 16.(3 分 )在直角坐标系 xOy 中，对于点 P(x， y)和 Q(x， y) ，给出如下定义：若，则称点 Q 为点 P 的 “ 可控变点 ”. 例如：点 (1， 2)的 “ 可控变点 ” 为点 (1， 2)，点 (-1， 3)的 “ 可控变点 ” 为点 (-1， -3).

11、(1)若点 (-1， -2)是一次函数 y=x+3 图象上点 M 的 “ 可控变点 ” ，则点 M 的坐标为 _. (2)若点 P 在函数 y=-x2+16(-5xa) 的图象上，其 “ 可控变点 ”Q 的纵坐标 y 的取值范围是 -16y16 ，则实数 a 的取值范围是 _. 解 析 ： (1)直接根据 “ 可控变点 ” 的定义直接得出答案； (2)根据题意可知 y=-x2+16 图象上的点 P 的 “ 可控变点 ” 必在函数的图象上，结合图象即可得到答案 . 答案 ： (1)根据 “ 可控变点 ” 的定义可知点 M 的坐标为 (-1， 2)； (2)依题意， y=-x2+16 图象上的点

12、P 的 “ 可控变点 ” 必在函数 的图象上 . -16y16 ， 当 y=16 时， 16=-x2+16 或 -16=-x2+16. x=0 或 x=4 . 当 y= -16 时， -16=-x2+16. x=4 . a 的取值范围是 0a4 . 故答案为 (-1， 2)， 0a4 . 三、本大题共 3小题，每小题 9 分，共 27分 . 17.(9 分 )计算： |- |+ -4cos45+( -1)2015. 解 析 ： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果 . 答案 ： 原式 = +2

13、 -4 -1=- . 18.(9 分 )求不等式组 的解集，并把它们的解集在数轴上表示出来 . 解 析 ： 先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后再数轴上表示出来即可 . 答案 ： 解不等式 得： x 3； 解不等式 得： x -1. 则不等式组的解集是： -1x 3. 19.(9 分 )化简求值： ，其中 a= -2. 解 析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可 . 答案 ： 原式 = 当 a= -2 时，原式 = . 四、本大题共 3小题，每小题 10 分，共 30分 . 20.(10 分 )如图，将矩形纸片 ABCD 沿对

14、角线 BD 折叠，使点 A 落在平面上的 F 点处， DF交BC 于点 E. (1)求证： DCEBFE ； (2)若 CD=2， ADB=30 ，求 BE 的长 . 解 析 ： (1)由 ADBC ，知 ADB=DBC ，根据折叠的性质 ADB=BDF ，所以 DBC=BDF ，得 BE=DE，即可用 AAS 证 DCEBFE ； (2)在 RtBCD 中， CD=2， ADB=DBC=30 ，知 BC=2 ，在 RtBCD 中， CD=2， EDC=30 ，知 CE= ，所以 BE=BC-EC= . 答案 ： (1)ADBC ， ADB=DBC ， 根据折叠的性质 ADB=BDF ， F=

15、A=C=90 ， DBC=BDF ， BE=DE ， 在 DCE 和 BFE 中， ， DCEBFE ； (2)在 RtBCD 中， CD=2 ， ADB=DBC=30 ， BC=2 ， 在 RtBCD 中， CD=2 ， EDC=30 ， DE=2EC ， (2EC) 2-EC2=CD2， CE= ， BE=BC -EC= . 21.(10 分 )某班开展安全知识竞赛活动，班长将所有同学的成绩分成四类，并制作了如下的统计图表： 根据图表信息，回答下列问题： (1)该班共有学生 _人；表中 a=_； (2)将丁类的五名学生分别记为 A、 B、 C、 D、 E，现从中随机挑选两名学生参加学校的决

16、赛，请借助树状图、列表或其他方式求 B 一定能参加决赛的概率 . 解 析 ： (1)根据丙的人数除以占的百分比求出学生总数，进而求出 a 的值即可； (2)列表得出所有等可能的情况数，找出 B 一定参加的情况数，即可求出所求的概率 . 答案 ： (1)根据题意得： 1025%=40( 人 )， a=40-5-10-5=20； 故答案为： 40； 20； (2)列表如下： 所有等可能的情况有 20 种，其中 B 一定参加的情况有 8 种， 则 P(B 一定参加 )= = . 22.(10 分 )“ 六一 ” 期间，小张购进 100 只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表： (1)

17、小张如何进货，使进货款恰好为 1300 元？ (2)要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的 40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值 . 解 析 ： (1)设 A 文具为 x 只，则 B 文具为 (100-x)只，根据题意列出方程解答即可； (2)设 A 文具为 x 只，则 B 文具为 (100-x)只，根据题意列出函数解答即可 . 答案 ： (1)设 A 文具为 x 只，则 B 文具为 (100-x)只，可得： 10x+15(100-x)=1300， 解得： x=40. 答： A 文具为 40 只，则 B 文具为 100-40=60 只； (2)设 A 文具

18、为 x 只，则 B 文具为 (100-x)只，可得 (12-10)x+(23-15)(100-x)40%10x+15(100 -x)， 解得： x50 ， 设利润为 y，则可得： y=(12-10)x+(23-15)(100-x)=2x+800-8x=-6x+800， 因为是减函数，所以当 x=50 时，利润最大，即最大利润 =-506+800=500 元 . 五、本大题共 2小题，每小题 10 分，共 20分 . 23.(10 分 )如图 1，四边形 ABCD 中， B=D=90 ， AB=3， BC=2， tanA= . (1)求 CD 边的长； (2)如图 2，将直线 CD 边沿箭头方向

19、平移，交 DA 于点 P，交 CB 于点 Q(点 Q 运动到点 B 停止 ).设 DP=x，四边形 PQCD 的面积为 y，求 y 与 x的函数关系式，并求出自变量 x的取值范围 . 解 析 ： (1)分别延长 AD、 BC 相交于 E，在 RtABE 中，由 tanA= ， AB=3， BC=2，得到 BE=4，EC=2， AE=5，通过等角的余角相等得到 A=ECD ，由 tanA= ，得 cosA= ，于是得到 cosECD= ，即问题可得； (2)由 (1)可知 tanECD= ，得到 ED= ，如图 4，由 PQDC ，可知 EDC EPQ，得到比例式 ，求得 ，由 S 四边形 PQ

20、CD=SEPQ -SEDC ，于是得到，于是当 Q 点到达B 点时，点 P 在 M 点处，由 EC=BC， DCPQ ，得到 DM=ED= ，于是结论可得 . 答案 ： (1)如图 (3)，分别延长 AD、 BC 相交于 E， 在 RtABE 中， tanA= ， AB=3， BC=2， BE=4 ， EC=2， AE=5， 又 E+A=90 ， E+ECD=90 ， A=ECD ， 由 tanA= ，得 cosA= ， cosECD= = ， CD= ； (2)如图 4，由 (1)可知 tanECD= ， ED= ， 如图 4，由 PQDC ，可知 EDC EPQ， ， ，即 ， S 四边形

21、 PQCD=SEPQ -SEDC ， ， 当 Q 点到达 B 点时，点 P 在 M点处， 由 EC=BC， DCPQ ， DM=ED= ， 自变量 x 的取值方范围为： 0 x . 24.(10 分 )如图，正比例函数 y=2x 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A、 B 两点，过点 A作 AC 垂直 x 轴于点 C，连结 BC.若 ABC 的面积为 2. (1)求 k 的值； (2)x 轴上是否存在一点 D，使 ABD 为直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知 A、 B 两点关于原点对称，则O 为

22、线段 AB 的中点，故 BOC 的面积等于 AOC 的面积，都等于 1，然后由反比例函数 y= 的比例系数 k 的几何意义，可知 AOC 的面积等于 |k|，从而求出 k 的值 ； (2)先将 y=2x与 y= 联立成方程组，求出 A、 B两点的坐标，然后分三种情况讨论： 当 ADAB时，求出直线 AD 的关系式，令 y=0，即可确定 D 点的坐标； 当 BDAB 时，求出直线 BD的关系式，令 y=0，即可确定 D 点的坐标； 当 ADBD 时，由 O 为线段 AB 的中点，可得 OD=AB=OA，然后利用勾股定理求出 OA 的值，即可求出 D 点的坐标 . 答案 ： (1) 反比例函数与正

23、比例函数的图象相交于 A、 B 两点， A 、 B 两点关于原点对称， OA=OB ， BOC 的面积 =AOC 的面积 =22=1 ， 又 A 是反比例函 数 y= 图象上的点，且 ACx 轴于点 C， AOC 的面积 = |k|， |k|=1， k 0， k=2. 故这个反比例函数的解析式为 y= ； (2)x 轴上存在一点 D，使 ABD 为直角三角形 . 将 y=2x 与 y= 联立成方程组得： ， 解得： ， ， A(1 ， 2)， B(-1， -2)， 当 ADAB 时，如图 1， 设直线 AD 的关系式为 y=- x+b， 将 A(1， 2)代入上式得： b= ， 直线 AD 的

24、关系式为 y=- x+ ， 令 y=0 得： x=5， D(5 ， 0)； 当 BDAB 时，如图 2， 设直线 BD 的关系式为 y=- x+b， 将 B(-1， -2)代入上式得： b=- ， 直线 AD 的关系式为 y=- x- ， 令 y=0 得： x=-5， D( -5， 0)； 当 ADBD 时，如图 3， O 为线段 AB 的中点， OD= AB=OA， A(1 ， 2)， OC=1 ， AC=2， 由勾股定理得： ， OD= ， D( ， 0). 根据对称性，当 D 为直角顶点，且 D 在 x 轴负半轴时， D(- ， 0). 故 x 轴上存在一点 D，使 ABD 为直角三角形

25、，点 D 的坐标为 (5， 0)或 (-5， 0)或 ( ， 0)或 (- ， 0. 六、本大题共 2小题，第 25 题 12 分，第 26题 13 分，共 25 分 . 25.(12 分 )已知 RtABC 中， AB 是 O 的弦，斜边 AC 交 O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB 交 O于点 E. (1)图 1 的 A、 B、 C、 D、 E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 CE 的长？请说明理由； (2)如图 2，过点 E 作 O 的切线，交 AC 的延长线于点 F. 若 CF=CD 时，求 sinCAB 的值； 若 CF=aCD(a 0)时，试猜想 sinCAB 的值

26、 .(用含 a 的代数式表示，直接写出结果 ) 解 析 ： (1)连接 AE、 DE，如图 1，根据圆周角定理可得 ADE=ABE=90 ，由于 AD=DC，根据垂直平分线的性质可得 AE=CE； (2)连接 AE、 ED，如图 2，由 ABE=90 可得 AE是 O 的直径，根据切线的性质可得 AEF=90 ，从而可证到 ADEAEF ，然后运用相似三角形的性质可得 AE2=ADAF. 当 CF=CD 时，可得 AE2=3CD2，从而有 EC=AE= CD，在 RtDEC 中运用三角函数可得 sinCED= = ，根据圆周角定理可得 CAB=DEC ，即可求出 sinCAB 的值； 当 CF

27、=aCD(a 0)时，同 即可解决问题 . 答案 ： (1)AE=CE. 理由：连接 AE、 DE，如图 1， ABC=90 ， ABE=90 ， ADE=ABE=90. AD=DC ， AE=CE ； (2)连接 AE、 ED，如图 2， ABE=90 ， AE 是 O 的直径 . EF 是 OO 的切线， AEF=90 ， ADE=AEF=90. 又 DAE=EAF ， ADEAEF ， = ， AE 2=ADAF. 当 CF=CD 时， AD=DC=CF， AF=3DC， AE 2=DC3DC=3DC 2， AE= DC. EC=AE ， EC= DC. sinCAB=sinCED= =

28、 = ； 当 CF=aCD(a 0)时， sinCAB= . 提示： CF=aCD ， AD=DC， AF=AD+DC+CF=(a+2)CD ， AE 2=DC(a+2)DC=(a+2)DC 2， AE= DC. EC=AE ， EC= DC. sinCAB=sinCED= . 26.(13 分 )如图 1，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴分别交于 A、 B 两点，与 y 轴交于点C.若 tanABC=3 ，一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根为 -8、 2. (1)求二次函数的解析式； (2)直线 l 绕点 A 以 AB 为起始位置顺时针旋转到 AC位置停止， l 与线

29、段 BC 交于点 D， P 是AD 的中点 . 求点 P 的运动路程； 如图 2，过点 D 作 DE 垂直 x 轴于点 E，作 DFAC 所在直线于点 F，连结 PE、 PF，在 l运动过程中， EPF 的大小是否改变？请说明理由； (3)在 (2)的条件下，连结 EF，求 PEF 周长的最小值 . 解 析 ： (1)利用 tanABC=3 ，得出 C 但坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式； (2) 当 l 在 AB 位置时， P 即为 AB 的中点 H，当 l运动到 AC位置时， P 即为 AC 中点 K，则P 的运动路程为 ABC 的中位线 HK，再利用勾股定理得出答案； 首先利用等

30、腰三角形的性质得出 PAE=PEA= EPD ，同理可得： PAF=PFA= DPF ，进而求出 EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF) ，即可得出答案； (3)首先得出 CPEF =AD+EF，进而得出 EG= PE， EF= PE= AD，利用 CPEF =AD+EF=(1+ )AD= AD，得出最小值即可 . 答案 ： (1) 函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B 两点，且一元二次方程 ax2+bx+c=0 两根为：-8， 2， A( -8， 0)、 B(2， 0)，即 OB=2， 又 tanABC=3 ， OC=6 ，即 C(0， -6)， 将 A(-8， 0)、

31、 B(2， 0)代入 y=ax2+bx-6 中，得： ， 解得： ， 二次函数的解析式为： y= x2+ x-6； (2) 如图 1，当 l 在 AB 位置时， P 即为 AB的中点 H， 当 l 运动到 AC 位置时， P 即为 AC 中点 K， P 的运动路程为 ABC 的中位线 HK， HK= BC， 在 RtBOC 中， OB=2， OC=6， BC=2 ， HK= ， 即 P 的运动路程为： ； EPF 的大小不会改变， 理由如下：如图 2， DEAB ， 在 RtAED 中， P 为斜边 AD 的中点， PE= AD=PA， PAE=PEA= EPD ， 同理可得： PAF=PFA

32、= DPF ， EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF) ， 即 EPF=2EAF ， 又 EAF 大小不变， EPF 的大小不会改变； (3)设 PEF 的周长为 C，则 CPEF =PE+PF+EF， PE= AD， PF= AD， C PEF =AD+EF， 在等腰三角形 PEF 中，如图 2，过点 P 作 PGEF 于点 G， EPC= EPF=BAC ， tanBAC= = ， tanEPG= = ， EG= PE， EF= PE= AD， C PEF =AD+EF=(1+ )AD= AD， 又当 ADBC 时， AD 最小，此时 CPEF 最小， 又 SABC =30， BCAD=30 ， AD=3 ， C PEF 最小值为： AD= .