2016年河南省信阳市中考一模数学.docx

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1、2016年河南省信阳市中考一模数学 一、选择题： 1. 下列各组数中，互为倒数的是 ( ) A.2和 -2 B.-2和 12C.-2和 -12D.-12和 2 解析：根据乘积为 1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数 .2 (12)=1， 故 C正确 . 答案： C. 2. 下列不是三棱柱展开图的是 ( ) A. B. C. D. 解析：三棱柱展开图有 3个四边形， 2个三角形， C选项不是三棱柱展开图 . 答案： C. 3. 据统计，今年春节期间 (除夕到初五 )，微信红包总收发次数达 321 亿次，几乎覆盖了全国 75%的网民，数据“ 321亿”用科学记数法可表示为 ( ) A.3.21 1

2、08 B.321 108 C.321 109 D.3.21 1010 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 . 答案： D. 4. 如图，把等腰直角三角板的直角顶点放在刻度尺的一边上，若 1=60，则 2 的度数为 ( ) A.30 B.40 C.50 D.60 解析：直尺的两边互相平行， 1=60， 3= 1=60 . 3+ 2=90， 2=90 - 3=90 -60 =30 .

3、答案： A. 5. 为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区 10户居民进行调查，下表是这 10 户居民2015年 4月份用电量的调查结果： 那么关于这 10户居民月用电量 (单位：度 )，下列说法错误的是 ( ) A.中位数是 50 B.众数是 51 C.方差是 42 D.极差是 21 解析： 10户居民 2015 年 4月份用电量为 30， 42， 42， 50， 50， 50， 51， 51， 51， 51， 平均数为 110(30+42+42+50+50+50+51+51+51+51)=46.8， 中 位 数 为 50 ； 众 数 为 51 ， 极 差 为 51-30=21 ， 方 差

4、 为 110(30-46.8)2+2(42-46.8)2+3(50-46.8)2+4(51-46.8)2=42.96. 答案： C. 6. 一次函数 y=kx+b的图象如图，则当 0 x 1时， y的范围是 ( ) A.y 0 B.-2 y 0 C.-2 y 1 D.无法判断 解析：因为一次函数 y=kx+b 的图象与两坐标轴的交点分别为 (1， 0)、 (0， -2)， 所以当 0 x 1，函数 y的取值范围是： -2 y 0. 答案： B. 7. 如图， ABCD中， AE平分 BAD，若 CE=3cm， AB=4cm，则 ABCD的周长是 ( ) A.20cm B.21cm C.22cm

5、 D.23cm 解析：四边形 ABCD 是平行四边形， AD=BC=10， AB=DC， AD BC， DAE= BEA， AE平分 BCD， BAE= DAE， BEA= BAE， BE=AB=4cm， BC=BE+CE=7cm， ABCD的周长 =2(DC+BC)=2(4+7)=22cm. 答案： C. 8. 如图，平面直角坐标系中，直线 y=-x+a 与 x、 y 轴的正半轴分别交于点 B 和点 A，与反比例函数 y=-3x的图象交于点 C，若 BA： AC=2： 1，则 a的值为 ( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 解析：作 CE x轴于 E， AO CE， BA： AC=2：

6、 1， AO=OB=a， 2= = =3A B B O A OB C E B C E， EB=32a， CE=32a， 点 C坐标 (-12a， 32a)， 又点 C在 y=-3x上， -34a2=-3， a 0， a=2. 答案： A. 二、填空题：每小题 3 分，共 21分 . 9. 计算： -14+ 12 -4cos30 =_. 解析： -14+ 12 -4cos30 =-1+2 3 -4 32=-1. 答案： -1. 10. 不等式组 3012xx x的解集为 _. 解析： 3012xx x ， 由得： x -3， 由得： x -2， 则不等式组的解集为 -3 x -2. 答案： -3

7、 x -2. 11. 某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中“立定跳远”、“ 1000 米跑”、“篮球运球”为必测项目，另一项从“掷实心球”、“一分钟跳绳”中选一项测试 .则甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的概率是 _. 解析：分别用 A， B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”， 画树状图得： 共有 8种等可能的结果，甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的有 2种情况， 其概率是： 28=14. 答案： 14. 12. 如图， ABC中， D是 BC上一点， AC=AD=DB， BAC=102，则 ADC=_度 . 解析： A

8、C=AD=DB， B= BAD， ADC= C， 设 ADC=2， B= BAD=2， BAC=102， DAC=102 -2， 在 ADC中， ADC+ C+ DAC=180， 2 +102 -2=180， 解得： =52 . 答案： 52. 13. 在平面直角坐标系中，点 A(2， 3)， B(5， -2)，以原点 O为位似中心，位似比为 1： 2，把 ABO缩小，则点 B 的对应点 B的坐标是 _. 解析：以原点 O为位似中心，位似比为 1： 2，把 ABO缩小， B(5， -2)， 点 B的对应点 B的坐标是： (52， -1)或 (-52， 1). 答案： (52， -1)或 (-5

9、2， 1). 14. 如图，在矩形 ABCD中， AB=4， BC=2，以 A为圆心， AB的长为半径画弧，交 DC于点 E，交 AD延长线于点 F，则图中阴影部分的面积为 _. 解析：在矩形 ABCD 中， AB=4， BC=2， AB=2DA， AB=AE(扇形的半径 )， AE=2DA， AED=30， 1=90 -30 =60， DA=2 AB=2DA=4， AE=4， DE= 22AE DA =2 3 ， 阴影 FDE的面积 S1=S 扇形 AEF-S ADE= 260 4360-12 2 2 3 =83 -2 3 . 阴影 ECB的面积 S2=S 矩形 -S ADE-S 扇形 AB

10、E=2 4-12 2 2 3 - 230 4360=8-2 3 -43； . 则图中阴影部分的面积为 =8-2 3 -43 +83 -2 3 =8-4 3 +43 . 答案： 8-4 3 +43 . 15. 如图，有一张长为 8cm，宽为 7cm的矩形纸片 ABCD，现要剪下一个腰长为 6cm的等腰三角形 (要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上 )，则剪下的等腰三角形的面积为 _cm2. 解析：分三种情况计算： (1)当 AE=AF=6时，如图： S AEF=12AE AF=12 6 6=18(cm2)； (2)当 AE=EF=6时，如图： 则 BE=7-

11、6=1， BF= 2 2 2 26 1 3 5E F B E ， S AEF=12 AE BF=12 6 35 =3 35 (cm2)； (3)当 AE=EF=6时，如图： 则 DE=8-6=2， DF= 2 2 2 26 2 4 2E F D E ， S AEF=12AE DF=12 6 4 2 =12 2 (cm2)； 答案： 18或 3 35 或 12 2 . 三、解答题：本大题 8 个小题，共 75分 . 16. 先化简分式： ( 11xx)2222xx ，若该分式的值为 2，求 x的值 . 解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由该分式的值为 2，求出 x的值即可 . 答案

12、：原式 = 2 1 1111 1 2xxxxx x x = 42x， 该分式的值为 2， 42x=2，即 2(x+2)=4，解得 x=0，经检验 x=0 是分式方程的解 . 17. 如图， AB 是 O 的直径， C、 D 为半圆 O 上的两点， CD AB，过点 C 作 CE AD，交 AD的延长线于点 E， tanA= 3 . (1)求证： CE 是 O的切线； (2)猜想四边形 AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想 . 解析： (1)连接 OD，由锐角三角函数得出 A=60，证出 OAD 是等边三角形，得出 ADO= AOD=60，再证明 COD是等边三角形，得出 COD=60 =

13、 ADO，证出 OC AE，由已知条件得出 CE OC，即可得出结论； (2)由 (1)得： OAD 和 COD 是等边三角形，得出 OA=AD=OD=CD=OC，即可证出四边形 AOCD是菱形 . 答案： (1)证明：连接 OD，如图所示： tanA= 3 ， A=60， OA=OD， OAD是等边三角形， ADO= AOD=60， CD AB， ODC=60， OC=OD， COD是等边三角形， COD=60 = ADO， OC AE， CE AE， CE OC， CE是 O的切线； (2)解：四边形 AOCD是菱形；理由如下： 由 (1)得： OAD和 COD是等边三角形， OA=AD=

14、OD=CD=OC， 四边形 AOCD是菱形 . 18. 手机给人们的生活带来了很多的方便，但也出现了过度使用手机的现象，出现了所谓的“手机控”、“低头族”等，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图 .依据图中信息，解答下列问题： (1)本次调查的学生家长有 _名，“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是 _； (2)请补全报“无所谓”态度的家长所对应的条形统计图 (标上柱高数值 )； (3)请你对初中生是否应该带手机上学提出一个合理化的建议 . 解析： (1)根据赞同的人数和所占的百分比求出总人数，

15、再乘以无所谓所占的百分比求出无所谓的人数，用总人数减去其它的人数求出很赞同的人数，然后乘以 360求出“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角的度数； (2)根据 (1)求出无所谓的人数可直接画出条形统计图； (3)根据学生现在正需要好好地学习，不应该带手机，网络这么发达，会影响学习 . 答案： (1)本次调查的学生家长有 5025%=200(名 )， 无所谓的人数是： 200 20%=40(人 )， 很赞同的人数是： 200-50-40-90=20(人 )， 则“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是 360 20200=36； 故答案为： 200， 36； (2)根据 (

16、1)求出的无所谓的人数是 40，补图如下： (3)初中生不应该带手机，影响学习 . 19. 已知关于 x的一元二次方程 x2-(k+3)x+3k=0. (1)求证：不论 k取何实数，该方程总有实数根 . (2)若等腰 ABC的一边长为 2，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC的周长 . 解析： (1)求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明； (2)分 ABC的底边长为 2、 ABC的一腰长为 2两种情况解答 . 答案： (1)证明： =(k+3)2-4 3k=(k-3)2 0， 故不论 k取何实数，该方程总有实数根； (2)解：当 ABC的底边长为 2时，方程有两个相等的实数根， 则 (k-

17、3)2=0， 解得 k=3， 方程为 x2-6x+9=0， 解得 x1=x2=3， 故 ABC的周长为： 2+3+3=8； 当 ABC的一腰长为 2 时，方程有一根为 2， 方程为 x2-5x+6=0， 解得， x1=2， x2=3， 故 ABC的周长为： 2+2+3=7. 20. 如图 1，被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆 (俗称“玉米楼” )就坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑观光的游客留影的最佳景点 .学完了三角函数后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度 .如图 2，刘明在点 C处测得楼顶 B 的仰角为 45，王华在高台上测得楼顶的仰角为 30 .若高台高 DE为 5

18、米，点 D到点 C的水平距离 EC为 187.5米， A、 C、 E三点共线，求“玉米楼” AB 的高 ( 3 1.7，结果保留整数 ). 解析：作 DM AB 于 M，交 BC 于 F，作 CG DM 于 G，设 BM=x 米，根据题意和正切的定义表示出 DM、 FM，列出方程，计算即可 . 答案：作 DM AB 于 M，交 BC于 F，作 CG DM于 G， 设 BM=x米， 由题意得， DG=187.5米， CG=5米， BFM=45， BDM=30， 则 GF=CG=5米， DF=DG+GF=192.5米， FM=BM=x米， DM= BMtan BDM= 3 x， DM-FM=DF，

19、 3 x-x=192.5， 解得， x=1 9 2 .5 3 1 9 2 .52 275， 275+5=280(米 ). 答：“玉米楼” AB 的高约为 280米 . 21.“红星”中学准备为校“教学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具，已知 5 件甲种学习用具的进价与 3件乙种学习用具的进价的和为 231元， 2件甲种学习用具的进价与 3件乙种学习用具的进价的和为 141 元 . (1)求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？ (2)如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过 20件，超出部分可以享受 7折优惠，若购进 x(x 0)件甲种学习用具需要花费 y元，请你求出 y

20、与 x的函数关系式； (3)在 (2)的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过 20 件，请你帮助 学校判断购进哪种学习用具更省钱 . 解析： (1)设每件甲种学习用具的进价是 a元，每件乙种学习用具的进价是 b 元，根据花费钱数 =单价数量，结合两种不同购进方式可列出关于 a、 b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； (2)结合优惠政策对 x 进行分段考虑，由花费钱数 =单价数量，可得出 y关于 x的函数关系式； (3)找出购进乙种学习用具 x 件的花费，令乙种的花费甲种的花费找出关于 x 的一元一次不等式，解出不等式即可得出结论 . 答案： (1)设每件甲种学习

21、用具的进价是 a元，每件乙种学习用具的进价是 b元， 根据题意得： 5 3 2 3 12 3 1 4 1abab ，解得： 3027ab. 答：每件甲种学习用具的进价是 30元，每件乙种学习用具的进价是 27元 . (2)当 0 x 20时， y=30x； 当 x 20时， y=20 30+0.7 30(x-20)=21x+180. (3)购买 x件乙种学习用具的花费为 27x元，购买 x件甲种学习用具的花费为 (21x+180)元， 令 27x 21x+180，解得： x 30. 即：当 20 x 30 时，购进乙种学习用具更省钱；当 x=30时，两种学习用具的 花费一样；当 x 30时，购

22、买甲种学习用具更省钱 . 22. 阅读并完成下面的数学探究： (1)【发现证明】如图 (1)，点 E、 F 分别在正方形 ABCD的边 BC、 CD上， EAF=45，小颖把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图 (1)证明上述结论 . (2)【类比延伸】如图 (2)，四边形 ABCD 中， BAD 90， AB=AD， B+ D=180，点 E、F分别在边 BC、 CD上，则当 EAF与 BAD满足关系 _时，仍有 EF=BE+FD. (3)【结论应用】如图 (3)，四边形 ABCD中， AB=AD=80， B=60， ADC=120， BAD

23、=150，点 E、 F 分别在边 BC、 CD上，且 AE AD， DF=40( 3 -1)，连 E、 F，求 EF的长 (结果保留根号 ). 解析： (1)根据旋转变换的性质和正方形的性质证明 EAF GAF，得到 EF=FG，证明结论； (2)把 ABE绕点 A逆时针旋转至 ADH，使 AB与 AD重合，证明 EAF HAF，证明即可； (3)延长 BA 交 CD 的延长线于 P，连接 AF，根据四边形内角和定理求出 C 的度数，得到P=90，求出 PD、 PA，证明 EAF=12 BAD，又 (2)的结论得到答案 . 答案： (1)证明：由旋转的性质可知， ABE ADG， BE=DG，

24、 AE=AG， BAE= DAG， ADG= ABE=90， G、 D、 F在同一条直线上， 四边形 ABCD是正方形， BAD=90， EAG=90，又 EAF=45， FAG=45， 在 EAF和 GAF中， A E A GE A F G A FA F A F ， EAF GAF， EF=FG， EF=BE+FD； (2)当 EAF=12 BAD时，仍有 EF=BE+FD. 证明：如图 (2)，把 ABE绕点 A逆时针旋转至 ADH，使 AB 与 AD重合， 则 BE=DH， BAE= DAH， ADH= B，又 B+ D=180， ADH+ D=180，即 F、 D、 H在同一条直线上，

25、 当 EAF=12 BAD时， EAF= HAF， 由 (1)得， EAF HAF， 则 EF=FH，即 EF=BE+FD， 故答案为： EAF=12 BAD； (3)如图 (3)，延长 BA 交 CD 的延长线于 P，连接 AF， B=60， ADC=120， BAD=150， C=30， P=90，又 ADC=120， ADP=60， PD=AD cos ADP=40， AP=AD sin ADP=40 3 ， PF=PD+DF=40 3 ， PA=PF， PAF=45，又 PAD=30， DAF=15， EAF=75， BAE=60， EAF=12 BAD， 由 (2)得， EF=BE+

26、FD，又 BE=BA=80， EF=BE+FD=40( 3 +1). 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=-12x+2 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，抛物线 y=ax2+bx+c关于直线 x=32对称，且经过 A、 C两点，与 x轴交于另一点为 B. (1)求点 B的坐标；求抛物线的解析式 . (2)若点 P为直线 AC上方的抛物线上的一点，连接 PA、 PC，若 PAC的面积是 ABC面积的35 ，求出此时点 P的坐标 . (3)在抛物线的对称轴上是否存在点 D，使 ADC为直角三角形？若存在，直接写出点 D的坐标；若不存在，请说明理 由 . 解析： (1)由

27、直线过点 A，可得出点 A 的坐标，由 A、 B 关于直线 x=32对称可找出 B 点的坐标； 由直线经过点 C可求出点 C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； (2)由 PAC 的面积是 ABC 面积的 35，结合同底三角形的面积公式即可得出点 P 到直线 AC的距离为点 B到直线 AC的距离的 35，设出 P点坐标，由点到直线的距离可列出关于 m的一元二次方程，解方程即可得出结论； (3)假设存在，设出 D 点坐标，由两点间的距离公式用 n 表示出各边长度，结合勾股定理分别讨论即可得出结论 . 答案： (1)令 y=-12x+2=0，解得： x=4， 即点 A的坐标为 (4， 0

28、). A、 B关于直线 x=32对称， 点 B的坐标为 (-1， 0). 令 x=0，则 y=2， 点 C的坐标为 (0， 2)， 抛物线 y=ax2+bx+c经过点 A、 B、 C， 有 2 01 6 4 0ca b ca b c，解得：12322abc. 故抛物线解析式为 y=-12x2+32+2. (2)直线 AC的解析式为 y=-12x+2，即 12x+y-2=0， 设点 P的坐标为 (m， -12m2+32m+2)， 点 P为直线 AC 上方的抛物线上的一点， 0 m 4. PAC的面积是 ABC面积的 35， 点 P到直线 AC 的距离为点 B到直线 AC的距离的 35. 由点到直

29、线的距离可知： |12m-12m2+32m+2-2|=35|-12-2|， 即 m2-4m+3=0，解得： m1=1， m2=3. 所以点 P的坐标为 (1， 3)或 (3， 2). (3)假设存在，设 D点的坐标为 (32， n). 由两点间的距离公式可知： AC= 224 0 2 2 5 ， AD= 2 23 42 n ， CD= 2 22 23 n ， ADC为直角三角形分三种情况： AC2+AD2=CD2，此时有 4n=-20， 解得： n=-5， 此时点 D的坐标为 (32， -5)； AC2+CD2=AD2，此时有 20-4n=0， 解得： n=5， 此时点 D的坐标为 (32， 5)； AD2+CD2=AC2，此时有 4n2-8n-15=0， 解得： n=1 192. 此时点 D的坐标为 (32， 1+ 192)和 (32， 1- 192). 综上可知：在抛物线的对称轴上存在点 D，使 ADC为直角三角形，点 D的坐标为 (32， -5)、(32， 5)、 (32， 1- 192)和 (32， 1+ 192).