2019年高中数学第4章点数统计案例4.4一元线性回归案例讲义（含解析）湘教版选修1_2.doc

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1、144 一元线性回归案例读教材填要点1相关系数(1)定义：样本量是 n 的成对观测数据用( x1， y1)，( x2， y2)，( xn， yn)表示，用表示数据 x1， x2， xn，用 表示数据 y1， y2， ， yn，用 与 分别表示 和xi yi x y xi的均值，用 sx表示 的标准差，用 sy表示 的标准差，再引入yi xi yisxy .x1y1 x2y2 xnynn xy当 sxsy0 时，称 rxy 为 和 的相关系数sxysxsy xi yi当 rxy0，我们称 和 正相关；xi yi当 rxy0.8 时，认为有很强的相关关系2在一元线性回归模型中，变量 y 由变量 x

2、 唯一确定吗？2提示：不唯一 y 值由 x 和随机误差 e 共同确定，即自变量 x 只能解释部分 y 的变化3随机误差 e 产生的主要原因有哪些？提示：随机误差 e 产生的主要原因有：(1)所用的确定性函数不恰当引起的误差；(2)忽略了某些因素的影响；(3)存在观测误差4回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？为什么？提示：不一定是真实值利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食，是否喜欢运动等相关性检验在某种产品表面进行腐蚀性刻线实验，得到腐蚀深度 Y 与腐蚀时间 X 之间相应的一

3、组观察值，如下表：X(s) 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120Y(m) 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46用散点图及相关系数两种方法判断 X 与 Y 的相关性自主解答 (1)作出如图所示的散点图从散点图可看出腐蚀深度 Y(m)与腐蚀时间 X(s)之间存在着较强的线性相关关系(2)相关系数 rxy ，其中sxysxsysxy 362.562.x1y1 x2y2 x11y1111 xysx34.515 8，sy10.697 1.3 rxy 0.98.362.56234.515 810.697 1显然| rxy|0.8，所以腐蚀深度 Y 与腐

4、蚀时间 X 之间有很强的线性相关关系判断两个变量 X 和 Y 线性相关的方法：(1)画出散点图，呈条状分布，则 X 与 Y 线性相关(2)用公式求出相关系数，据其判断 X 与 Y 的相关性如果| rxy|0.8，则有很强的线性相关关系1要分析学生初中升学的数学成绩对高中一年级数学学习有什么影响，在高中一年级学生中随机抽选 10 名学生，分析他们入学的数学成绩( x)和高中一年级期末数学考试成绩(y)(如表)：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75用散点图及相关系数

5、两种方法判断 x 与 y 的相关性解：(1)入学成绩( x)与高一期末考试成绩( y)两组变量的散点图(如图)，从散点图看，这两组变量具有线性相关关系(2)因为 70， 76，x ysxy189.4， sx15.729， sy14.339.由 rxy ，得 rxy0.839 80.8.sxysxsy所以 x 与 y 有较强的线性关系线性回归分析为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的系列情况，得如下实验数据：天数 t(天 ) 3 4 5 6 7繁殖个数 y(千个) 2.5 3 4 4.5 6(1)求 y 关于 t 的线性回归方程；4(2)利用(1)中的回归方程，预测 t8 时，细菌繁殖个数自主

6、解答 (1)由表中数据得 5， 4， yi108.5，t y5i 1ti则 Sty t 1.7， S 2.5i 1tiyi5 y 2t b 0.85， a b 0.25，StyS2t y t回归方程式为 y0.85 t0.25.(2)将 t8 代入(1)的回归方程中得y0.8580.256.55.故预测 t8 时，细菌繁殖个数为 6.55 千个进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图，确定出变量具有线性相关关系，再求出回归直线方程如果 x， y 的线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作预测和控制2某饮料店的日销售收入 y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：摄氏度)之间有下列

7、数据：x 2 1 0 1 2y 5 4 2 2 1甲、乙、丙三位同学对上述数据进行了研究，分别得到了 x 与 y 之间的三个线性回归方程： y x2.8， y x3， y1.2 x2.6.其中正确的是( )A B C D解析：回归方程 y bx a 表示的直线必过点( ， )，即必过点(0,2.8)，而给出的三x y个线性回归方程中，只有表示的直线过点(0,2.8)，故正确的是.答案：A一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10 次试验，测得数据如下：零件数x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100加工时间 62 68 75 81 89

8、 95 102 108 115 1225y(分)(1)y 与 x 是否具有线性相关关系？(2)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求回归直线方程巧思 (1)利用相关系数 rxy判断；(2)利用最小二乘法求得 a， b 的值，进而求得回归方程妙解 (1)列出下表，并用科学计算器进行计算.i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122xiyi 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 64010 35012 200于是 r

9、xy 0.999 8.55 950 105591.738 500 1055287 777 1091.72所以 y 与 x 具有线性相关关系(2)设所求的回归直线方程为 y bx a，那么由上表可得 b 0.668，sxys2xa b 91.70.6685554.96，y x即所求的回归直线方程为 y0.668 x54.96.1在对两个变量 x， y 进行线性回归分析时，有下列步骤：对所求出的回归直线方程作出解释；收集数据( xi， yi)， i1,2， n；求线性回归方程；求相关系数；根据所搜集的数据绘制散点图如果根据可行性要求能够作出变量 x， y 具有线性相关的结论，则在下列操作顺序中正确

10、的是( )6A BC D解析：对两个变量进行回归分析时，首先收集数据( xi， yi)， i1,2， n；根据所搜集的数据绘制散点图观察散点图的形状，判断线性相关关系的强弱，求相关系数，写出线性回归方程，最后依据所求出的回归直线方程作出解释；故正确顺序是， 故选 D.答案：D2已知变量 x 和 y 满足关系 y0.1 x1，变量 y 与 z 正相关下列结论中正确的是( )A x 与 y 正相关， x 与 z 负相关B x 与 y 正相关， x 与 z 正相关C x 与 y 负相关， x 与 z 负相关D x 与 y 负相关， x 与 z 正相关解析：因为 y0.1 x1 的斜率小于 0，故 x

11、 与 y 负相关因为 y 与 z 正相关，故 x 与 z 负相关答案：C3相关变量 x， y 的样本数据如下表：x 1 2 3 4 5y 2 2 3 5 6经回归分析可得 y 与 x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为 y1.1 x a，则 a( )A0.1 B0.2C0.3 D0.4解析：回归直线经过样本中心点( ， )，且由题意得( ， )(3,3.6)，x y x y3.61.13 a， a0.3.答案：C4在关于两个变量的回归分析中，作散点图的目的是_答案：观察两个变量之间是否存在线性相关关系5某服装厂的产品产量 x(万件)与单位成本 y(元/件)之间的回归直线方程是y52.1

12、519.5 x，当产量每增加一万件时，单位成本下降_元解析：由回归系数的意义得下降 19.5 元答案：19.56在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格 x(万元)和需求量 y(t)之间的一组数据为：71 2 3 4 5价格 x 1.4 1.6 1.8 2 2.2需求量 y 12 10 7 5 3已知 iyi62， 16.6.5i 1x5i 1x2i(1)画出散点图；(2)求出 y 对 x 的回归方程；(3)如价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少？(精确到 0.01 t)解：(1)散点图如下图所示：(2)因为 91.8， 377.4，x15 y 15iyi62， 16.6，5i 1x

13、5i 1x2isxy 12.413.320.92.5i 1xiyi5 xy所以 b 11.5，sxys2x 0.920.08a b 7.411.51.828.1，y x故 y 对 x 的回归方程为 y28.111.5 x.(3)y28.111.51.96.25(t)8一、选择题1下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程必过( )x 0 1 2 3y 1 3 5 7A.点(2,2) B点(1.5,2)C点(1,2) D点(1.5,4)解析： 1.5， 4，x0 1 2 34 64 y 1 3 5 74线性回归方程必过点(1.5,4)答案：D2已知变量 x 与 y 正相

14、关，且由观测数据算得样本平均数 3， 3.5，则由该观测x y数据算得的线性回归方程可能为( )A y0.4 x2.3 B y2 x2.4C y2 x9.5 D y0.3 x4.4解析：依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除 C、D.且直线必过点(3,3.5)代入 A、B 得 A 正确答案：A3某咖啡厅为了了解热饮的销售量 y(个)与气温 x()之间的关系，随机统计了某 4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温() 18 13 10 1销售量(个) 24 34 38 64由表中数据，得线性回归方程 y2 x a.当气温为4 时，预测销售量约为( )A68 B66C72 D70解析： (18

15、13101)10， (24343864)40，x14 y 1440210 a， a60，当 x4 时， y2(4)6068.答案：A4为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表：9收入 x(万元 ) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 y(万元 ) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程 y bx a，其中 b0.76， a b .据此估计，该社区一y x户年收入为 15 万元家庭的年支出为( )A11.4 万元 B11.8 万元C12.0 万元 D12.2 万元解析：由题意知， 10，x8.2 8.6 1

16、0.0 11.3 11.95 8，y6.2 7.5 8.0 8.5 9.85 a80.76100.4，当 x15 时， y0.76150.411.8(万元)答案：B二、填空题5调查了某地若干户家庭的年收入 x(单位：万元)和年饮食支出 y(单位：万元)，调查显示年收入 x 与年饮食支出 y 具有线性相关关系，并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程： y0.254 x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加 1 万元，年饮食支出平均增加_万元解析：以 x1 代 x，得 y0.254( x1)0.321，与 y0.254 x0.321 相减可得，年饮食支出平均增加 0.254 万元答

17、案：0.2546下表是某厂 14 月份用水量(单位：百吨)的一组数据，月份 x 1 2 3 4用水量 y 4.5 4 3 2.5由某散点图可知，用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y0.7 x a，则 a_.解析： 2.5， 3.5， b0.7， a3.50.72.55.25.x y答案：5.257已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是_解析：由斜率的估计值为 1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得 y51.23( x4)，即 y1.23 x0.08.答案： y1.23 x0.08108在研究硝酸钠的可

18、溶性程度时，观察它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果 如下：温度( x) 0 10 20 50 70溶解度( y) 66.7 76.0 85.0 112.3 128.0由此，得到回归直线的斜率是_解析：根据 sxy ，及 b ，得 b0.880 9. n i 1xiyin xy sxys2x答案：0.880 9三、解答题9在关于人体的脂肪含量(百分比)和年龄关系研究中，研究人员获得了如下一组数据：年龄 x 22 26 38 41 45 48 50 53 54 56 57脂肪含量 y 9.4 17.8 21.2 24.9 26.5 27.1 28.2 29.4 30.2 31.4 32.6(1

19、)画出散点图；(2)求 y 与 x 之间的回归方程；(3)预测 39 岁的人脂肪含量(保留四位有效数字)解：(1)画出散点图(2)由散点图可以看出 y 与 x 之间有较强的线性相关关系，可算得 i44.545 5，x11111i 1x i25.336 4， iyi13 205， 23 224，y11111i 1y 11i 1x 11i 1x2i b 0.565 7， a b 0.137 0.sxys2x y x y 与 x 之间的线性回归方程为 y0.565 7 x0.137 0.11(3)当 x39 时， y0.565 7390.137 022.20，39 岁的人的脂肪含量约为 22.20%

20、.10随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2013 2014 2015 2016 2017时间代号 t 1 2 3 4 5储蓄存款 y(千亿元) 5 6 7 8 10(1)求 y 关于 t 的回归方程 t ；y b a (2)用所求回归方程预测该地区 2018 年( t6)的人民币储蓄存款附：回归方程 t 中， ， ，y b a b ni 1tiyi ntyni 1t2i nt2 a y b t解：(1)列表计算如下：i ti yi t2i tiyi1 1 5 1 52 2 6 4 123 3 7 9 214 4 8 16 325 5 10 25 50 15 36 55 120这里 n5， I 3， i 7.2.t1nni 1t 155 y 1nni 1y 365又 ltt n 25553 210，ni 1t2i tlty iyi n 120537.212，ni 1t ty从而 1.2， 7.21.233.6，b ltyltt 1210 a y b t故所求回归方程为 1.2 t3.6.y 12(2)将 t6 代入回归方程可预测该地区 2018 年的人民币储蓄存款为1.263.610.8(千亿元)y