(浙江专用)2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第3讲导数及其应用学案.doc
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1、1第 3 讲 导数及其应用考情考向分析 1.导数的意义和运算是导数应用的基础,是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型热点一 导数的几何意义1函数 f(x)在 x0处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线的斜率,曲线 f(x)在点P 处的切线的斜率 k f( x0),相应的切线方程为 y f(x0) f( x0)(x x0)2求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的不同例 1 (1)(2018全国)设函数 f(x) x3( a1) x2 ax,若 f(x)为奇函数,则曲线y f(x)在点(0,0)处的切线方程为
2、( )A y2 x B y xC y2 x D y x答案 D解析 方法一 f(x) x3( a1) x2 ax, f( x)3 x22( a1) x a.又 f(x)为奇函数, f( x) f(x)恒成立,即 x3( a1) x2 ax x3( a1) x2 ax 恒成立, a1, f( x)3 x21, f(0)1,曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x.故选 D.2方法二 f(x) x3( a1) x2 ax 为奇函数, f( x)3 x22( a1) x a 为偶函数, a1,即 f( x)3 x21, f(0)1,曲线 y f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y x
3、.故选 D.(2)若直线 y kx b 是曲线 yln x1 的切线,也是曲线 yln( x2)的切线,则实数b_.答案 ln 2解析 设直线 y kx b 与曲线 yln x1 和曲线 yln( x2)的切点分别为( x1,ln x11),(x2,ln( x22)直线 y kx b 是曲线 yln x1 的切线,也是曲线 yln( x2)的切线, ,即 x1 x22.1x1 1x2 2切线方程为 y(ln x11) (x x1),1x1即为 y ln x1xx1或 yln( x22) (x x2),1x2 2即为 y ln x1,xx1 2 x1x1 0,则 x12,2 x1x1 bln 2
4、.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点 P 的切线”与“在点 P 处的切线”的差异,过点P 的切线中,点 P 不一定是切点,点 P 也不一定在已知曲线上,而在点 P 处的切线,必以点P 为切点(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解跟踪演练 1 (1)(2018全国)曲线 y2ln( x1)在点(0,0)处的切线方程为_答案 2 x y0解析 y2ln( x1), y .令 x0,得 y2,由切线的几何意义得切线斜率2x 1为 2,又切线过点
5、(0,0),切线方程为 y2 x,即 2x y0.3(2)若函数 f(x)ln x(x0)与函数 g(x) x22 x a(x0),则切线方程为 yln x1 (x x1)1x1设公切线与函数 g(x) x22 x a 切于点 B(x2, x 2 x2 a)(x2h(2)ln 21ln ,12e a .(ln12e, )热点二 利用导数研究函数的单调性1 f( x)0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数 f(x) x3在(,)上单调递增,但 f( x)0.2 f( x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件,如函数在某个区间内恒有 f( x)0 时,则 f(x)为常函数,函数不具有
6、单调性例 2 已知函数 f(x)2e x kx2.(1)讨论函数 f(x)在(0,)内的单调性;(2)若存在正数 m,对于任意的 x(0, m),不等式| f(x)|2x 恒成立,求正实数 k 的取值范4围解 (1)由题意得 f( x)2e x k, x(0,),因为 x0,所以 2ex2.当 k2 时, f( x)0,此时 f(x)在(0,)内单调递增当 k2 时,由 f( x)0 得 xln ,此时 f(x)单调递增;k2由 f( x)2 时, f(x)在 内单调递减,(0, lnk2)在 内单调递增(lnk2, )(2)当 00.这时| f(x)|2x 可化为 f(x)2x,即 2ex(
7、 k2) x20.设 g(x)2e x( k2) x2,则 g( x)2e x( k2),令 g( x)0,得 xln 0,k 22所以 g(x)在 内单调递减,且 g(0)0,(0, lnk 22 )所以当 x 时, g(x)2 时,由(1)可得 f(x)在 内单调递减,且 f(0)0,(0, lnk2)所以存在 x00,使得对于任意的 x(0, x0)都有 f(x)2x 可化为 f(x)2x,即2e x x20.(k 2)设 h(x)2e x x2,(k 2)则 h( x)2e x .(k 2)()若 24,令 h( x)0,得 x0,(0, lnk 22 )此时取 mmin ,则对于任意
8、的 x(0, m),不等式| f(x)|2x 恒成立x0, lnk 22 综上可得 k 的取值范围为 .(4, )思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤(1)确定函数的定义域(2)求导函数 f( x)(3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f( x)0 或f( x)1 时,ln x0,要使 f( x)0 恒成立,则 x a0 恒成立 x a1 a,1 a0,解得 a1,当 0f( x),则关于 x 的不等式 f(x2) 的解集为( )1exA(,3) B(3,)C(,0) D(0,)答案 B解析 f(x)是偶函数, f(x) f( x), f( x) f(
9、 x),f x f( x) f( x), f(x)f( x) f( x),即 f(x) f( x)0,设 g(x)e xf(x),则 e x 0,exfx fx f x g(x)在(,)上单调递增,由 f f(x1)0,(x12)得 f(x) f 0, f f 0,(x32) (x 32) (x 3)相减可得 f(x) f , f(x)的周期为 3,(x 3)e 3f e 3f(2)1, g(2)e 2f(2) , f(x2) ,结合 f(x)的周期为 3 可化为(2 018)1e 1exex1 f(x1) e 2f(2), g(x1) g(2), x12, x3,1e不等式的解集为 ,故选
10、B.(3, )热点三 利用导数求函数的极值、最值1若在 x0附近左侧 f( x)0,右侧 f( x)0,则 f(x0)为函数 f(x)的极小值2设函数 y f(x)在 a, b上连续,在( a, b)内可导,则 f(x)在 a, b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例 3 (2018北京)设函数 f(x) ax2(4 a1) x4 a3e x.(1)若曲线 y f(x)在点(1, f(1)处的切线与 x 轴平行,求 a;(2)若 f(x)在 x2 处取得极小值,求 a 的取值范围解 (1)因为 f(x) ax2(4 a1) x4 a3e x,所以 f( x) ax2(2 a1) x2e
11、 x.所以 f(1)(1 a)e.由题设知 f(1)0,即(1 a)e0,解得 a1.此时 f(1)3e0.所以 a 的值为 1.(2)由(1)得 f( x) ax2(2 a1) x2e x7( ax1)( x2)e x.若 a ,则当 x 时, f( x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值若 a ,则当 x(0,2)时, x20.所以 2 不是 f(x)的极小值点综上可知, a 的取值范围是 .(12, )思维升华 (1)求函数 f(x)的极值,则先求方程 f( x)0 的根,再检查 f( x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程 f( x)0 根
12、的大小或存在情况来求解(3)求函数 f(x)在闭区间 a, b上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a), f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练 3 (2018浙江省重点中学联考)已知函数 f(x)ln( x b) a(a, bR)(1)若 y f(x)的图象在点(2, f(2)处的切线方程为 y x3,求 a, b 的值;(2)当 b0 时, f(x) 对定义域内的 x 都成立,求 a 的取值范围2x 1解 (1)由 f(x)ln( x b) a,得 f( x) ,1x b所以Error!解得Error!(2)当 b0 时, f(x) 对定义域内的 x
13、 都成立,即ln x a2x 1恒成立,2x 1(x12)所以 aln x ,则 a(ln x )max.2x 1 2x 1令 g(x)ln x ,2x 1则 g( x) .1x 12x 1 2x 1 xx2x 1令 m(x) x,2x 1则 m( x) 1 ,12x 1 1 2x 12x 1令 m( x)0,得 1,128所以 m(x)在 上单调递增,在(1,)上单调递减,则 m(x)max m(1)0,12, 1)所以 g( x)0,即 g(x)在定义域上单调递减,所以 g(x)max g ln ,即 aln .(12) 12 12真题体验1(2017浙江改编)函数 y f(x)的导函数
14、y f( x)的图象如图所示,则函数 y f(x)的图象可能是_(填序号)答案 解析 观察导函数 f( x)的图象可知, f( x)的函数值从左到右依次为小于 0,大于 0,小于 0,大于 0,对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增观察图象可知,排除.如图所示, f( x)有 3 个零点,从左到右依次设为 x1, x2, x3,且 x1, x3是极小值点, x2是极大值点,且 x20,故正确2(2017全国改编)若 x2 是函数 f(x)( x2 ax1)e x1 的极值点,则 f(x)的极小值为_答案 1解析 函数 f(x)( x2 ax1)e x1 ,则 f( x)(2 x
15、 a)ex1 ( x2 ax1)e x1e x1 x2( a2) x a1由 x2 是函数 f(x)的极值点,得9f(2)e 3 (42 a4 a1)( a1)e 3 0,所以 a1,所以 f(x)( x2 x1)e x1 ,f( x)e x1 (x2 x2)由 ex1 0 恒成立,得当 x2 或 x1 时, f( x)0,且当 x0;当21 时, f( x)0.所以 x1 是函数 f(x)的极小值点所以函数 f(x)的极小值为 f(1)1.3(2017山东改编)若函数 exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上单调递增,则称函数 f(x)具有 M 性质,下列函数
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