江苏省2019高考数学总复习优编增分练:高考附加题加分练(五)空间向量与立体几何.doc
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1、1(五)空间向量与立体几何1(2018盐城模拟)如图,已知四棱锥 P ABCD的底面是正方形, PA平面 ABCD,且PA AD2,点 M, N分别在 PD, PC上, , PM MD.PN 12NC (1)求证: PC平面 AMN;(2)求二面角 B AN M的余弦值(1)证明 以 A为坐标原点, AB, AD, AP所在直线分别为 x轴, y轴, z轴,建立如图所示的空间直角坐标系又 PA AD2, P(0,0,2), D(0,2,0),B(2,0,0), M(0,1,1), C(2,2,0) (2,2,2), (0,1,1)PC AM 0220,PC AM 2 PC AM.设 N(x,
2、y, z), ,PN 12NC 求得 N .(23, 23, 43) 0, AN PC.PC AN 43 43 83又 AM AN A, AM, AN平面 AMN, PC平面 AMN.(2)解 设平面 BAN的法向量为 n( x, y, z),Error! 即Error!令 z1, n(0,2,1) (2,2,2)是平面 AMN的法向量,PC cos n, .PC nPC |n|PC | 155由图知二面角 B AN M为钝二面角,二面角 B AN M的余弦值为 .1552.如图,已知三棱锥 O ABC的侧棱 OA, OB, OC两两垂直,且 OA1, OB OC2, E是 OC的中点(1)求
3、异面直线 BE与 AC所成角的余弦值;(2)求二面角 A BE C的正弦值解 (1)以 O为原点,分别以 OB, OC, OA所在直线为 x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,1), B(2,0,0), C(0,2,0), E(0,1,0)(2,1,0), (0,2,1),EB AC 3cos , ,EB AC 25又异面直线所成的角为锐角或直角,异面直线 BE与 AC所成角的余弦值为 .25(2) (2,0,1), (0,1,1),AB AE 设平面 ABE的法向量为 n1( x, y, z),则由 n1 , n1 ,AB AE 得Error! 取 n1(1,2,2),平面
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