1、1(五)空间向量与立体几何1(2018盐城模拟)如图，已知四棱锥 P ABCD的底面是正方形， PA平面 ABCD，且PA AD2，点 M， N分别在 PD， PC上， ， PM MD.PN 12NC (1)求证： PC平面 AMN；(2)求二面角 B AN M的余弦值(1)证明 以 A为坐标原点， AB， AD， AP所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系又 PA AD2， P(0,0,2)， D(0,2,0)，B(2,0,0)， M(0,1,1)， C(2,2,0) (2,2，2)， (0,1,1)PC AM 0220，PC AM 2 PC AM.设 N(x，
2、y， z)， ，PN 12NC 求得 N .(23， 23， 43) 0， AN PC.PC AN 43 43 83又 AM AN A， AM， AN平面 AMN， PC平面 AMN.(2)解 设平面 BAN的法向量为 n( x， y， z)，Error! 即Error!令 z1， n(0,2，1) (2,2，2)是平面 AMN的法向量，PC cos n， .PC nPC |n|PC | 155由图知二面角 B AN M为钝二面角，二面角 B AN M的余弦值为 .1552.如图，已知三棱锥 O ABC的侧棱 OA， OB， OC两两垂直，且 OA1， OB OC2， E是 OC的中点(1)求
3、异面直线 BE与 AC所成角的余弦值；(2)求二面角 A BE C的正弦值解 (1)以 O为原点，分别以 OB， OC， OA所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,1)， B(2,0,0)， C(0,2,0)， E(0,1,0)(2，1,0)， (0,2，1)，EB AC 3cos ， ，EB AC 25又异面直线所成的角为锐角或直角，异面直线 BE与 AC所成角的余弦值为 .25(2) (2,0，1)， (0,1，1)，AB AE 设平面 ABE的法向量为 n1( x， y， z)，则由 n1 ， n1 ，AB AE 得Error! 取 n1(1,2,2)，平面
4、 BEC的法向量为 n2(0,0,1)，cos n1， n2 ，23二面角 A BE C的余弦值的绝对值为 ，23sin ，53即二面角 A BE C的正弦值为 .533.三棱柱 ABC A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知 AB2， AC4， AA13， D是BC的中点(1)求直线 DB1与平面 A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角 B1 A1D C1的正弦值解 (1)由题意知， B(2,0,0)， C(0,4,0)， D(1,2,0)， A1(0,0,3)， B1(2,0,3)， C1(0,4,3)，则 (1,2，3)， (0,4,0)， (1，2,3)A1D A1C1 DB
5、1 设平面 A1C1D的一个法向量为 n( x， y， z)由 n x2 y3 z0， n 4 y0，A1D A1C1 得 y0， x3 z，令 z1，得 x3， n(3,0,1)设直线 DB1与平面 A1C1D所成的角为 ，则 sin |cos ， n| .DB1 |3 3|1014 335354(2)设平面 A1B1D的一个法向量为 m( a， b， c)， (2,0,0)A1B1 由 m a2 b3 c0， m 2 a0，A1D A1B1 得 a0,2 b3 c，令 c2，得 b3， m(0,3,2)设二面角 B1 A1D C1的大小为 ，|cos |cos m， n| ，|mn|m|n
6、| 265sin .3765 345565所以二面角 B1 A1D C1的正弦值为 .3455654.如图，在三棱锥 S ABC中，底面是边长为 2 的正三角形，点 S在底面 ABC上的射影 O3是 AC的中点，侧棱 SB和底面成 45角(1)若 D为棱 SB上一点，当 为何值时， CD AB；SDDB(2)求二面角 S BC A的余弦值的大小解 连结 OB，由题意得 OS， OB， OC两两垂直以 O为坐标原点，分别以 OB， OC， OS所在直线为 x， y， z轴建立空间直角坐标系由题意知 SBO45， SO3.所以 O(0,0,0)， C(0， ，0)， A(0， ，0)， S(0,0
7、,3)，3 3B(3,0,0)(1)设 (0 1)，连结 OD，BD BS 则 (1 ) (3(1 )，0,3 )，OD OB OS 所以 (3(1 )， ，3 )CD 35因为 (3， ，0)， CD AB，AB 3所以 9(1 )30，解得 .CD AB 23故当 时， CD AB.SDDB 12(2)平面 ACB的法向量为 n1(0,0,1)设平面 SBC的法向量 n2( x， y， z)，由Error! 得Error!解得Error! 取 z1，则 n2(1， ，1)，3所以 cos n1， n2 ，10 30 1112 12 32 15显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为 .55
