2019高考数学二轮复习专题四立体几何第三讲空间向量与立体几何教案理.doc

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1、1第三讲 空间向量与立体几何年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养卷 面面垂直及线面角求法T 18卷 线面垂直及线面角求法T 202018卷 面面垂直及二面角求法T 19卷 面面垂直与二面角求法T 18异面直线所成角求法T 10卷线面平行与二面角求法T 19线与线所成角问题T 162017卷面面垂直与二面角求法T 19卷面面垂直的证明及二面角的求解T 18卷 线面垂直证明及二面角的求解T 192016卷线面平行的证明及线面角的求解T 19命题分析高考中此部分命题较为稳定，以解答题的形式考查空间平行关系和垂直关系的证明，空间几何体表面积和体积的计算，异面直线所成的角、线面角和二面角的

2、求解，简单的空间距离的求解，难度中等偏上其中解答题的基本模式是既有证明也有计算，其中的计算离不开证明，以考查证明为主学科素养几何中的向量方法主要是通过向量法求解空间角问题，重点考查了学生直观想象与数学运算素养能力.向量法证明线面平行、垂直关系授课提示：对应学生用书第40页悟通方法结论1用向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；直线的方向向量与平面内两不共线向量共面(3)面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题2用向量证明垂直的方法(1)线线垂

3、直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零2(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示全练快速解答1在直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC90， BC2， CC14，点 E在线段 BB1上，且 EB11， D， F， G分别为 CC1， C1B1， C1A1的中点求证：(1) B1D平面 ABD；(2)平面 EGF平面 ABD.证明：(1)以 B为坐标原点， BA， BC， BB1所在的直线分别为 x轴， y轴， z轴建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，

4、则 B(0,0,0)， D(0,2,2)， B1(0,0,4)，设 BA a，则 A(a,0,0)，所以 ( a,0,0，)， (0,2,2)，BA BD (0,2，2)，B1D 0， 0440，B1D BA B1D BD 所以 ， ，B1D BA B1D BD 即 ， .B1D BA B1D BD 又 BA BD B， BA平面 ABD， BD平面 ABD，因此 B1D平面 ABD.(2)由(1)知， E(0,0,3)， G( ，1,4)， F(0,1,4)，a2则 ( ，1,1)， (0,1,1)，EG a2 EF 3 0220，B1D EG 0220，B1D EF 所以 ， ，B1D E

5、G B1D EF 即 B1D EG， B1D EF.又 EG EF E， EG平面 EGF， EF平面 EGF，因此 B1D平面 EGF.结合(1)可知平面 EGF平面 ABD.2如图所示，在底面是矩形的四棱锥 PABCD中， PA底面 ABCD， E， F分别是 PC， PD的中点， PA AB1， BC2.(1)求证： EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.证明：以 A为原点， AB， AD， AP所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E

6、， F ，(12， 1， 12) (0， 1， 12) ， (0,0,1)， (0,2,0)， (1,0,0)， (1,0,0)EF ( 12， 0， 0) AP AD DC AB (1)因为 ，所以 ，EF 12AB EF AB 即 EF AB.又 AB平面 PAB， EF平面 PAB，所以 EF平面 PAB.(2)因为 (0,0,1)(1,0,0)0，AP DC (0,2,0)(1,0,0)0，AD DC 所以 ， ，AP DC AD DC 即 AP DC， AD DC.又因为 AP AD A， AP平面 PAD， AD平面 PAD，4所以 DC平面 PAD.因为 DC平面 PDC，所以平

7、面 PAD平面 PDC.向量法证明平行与垂直的步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系；(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；(3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系；(4)根据运算结果解释相关问题向量法求空间角大小授课提示：对应学生用书第41页悟通方法结论1向量法求异面直线所成的角若异面直线 a， b的方向向量分别为 a， b，异面直线所成的角为 ，则cos |cos a， b| .|ab|a|b|2向量法求线面所成的角求出平面的法向量 n，直线的方向向量 a，设线面所成的角为 ，则s

8、in |cos n， a| .|na|n|a|3向量法求二面角求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量 n1， n2，若二面角 l 所成的角 为锐角，则cos |cos n1， n2| ；若二面角 l 所成的角 为钝角，则cos |n1n2|n1|n2| |cos n1， n2| .|n1n2|n1|n2|(2017高考全国卷)(12分)如图，四面体 ABCD中，5(1) (2)过 AC的平面交 BD于点 E，若 ，求二面角平 面 AEC把 四 面 体 ABCD分 成 体 积 相 等 的 两 部 分 DAEC的余弦值学审题条件信息 想到方法 注意什么信息： ABC为正三角形， ACD是直角三

9、角形特殊三角形中的特殊的边角： ABC中三边相等， ACD中的直角信息： ABD CBD， AB BD边角相等关系可证两三角形全等，进而可证 ADD C， ADC90信息：证明：平面 ACD平面 ABC面面垂直的证明方法：几何法或定义法信息：体积相等由体积的大小关系转化到点到面的距离的大小关系，进而知点 E为 DB的中点(1)建系时要证明哪三条线两两垂直，进而可作为坐标轴(2)两平面法向量的夹角不一定是所求的二面角，也有可能是两法向量夹角的补角，因此必须说明角的范围规范解答 (1)证明：由题设可得， ABD CBD，从而 AD DC.又 ACD是直角三角形，所以 ADC90.取 AC的中点 O

10、，连接 DO， BO，则 DO AC， DO AO.又因为 ABC是正三角形，所以 BO AC.所以 DOB为二面角 DACB的平面角 (2分)在Rt AOB中， BO2 AO2 AB2.又 AB BD，所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2，故 DOB90.所以平面 ACD平面 ABC. (4分)(2)由题设及(1)知， OA， OB， OD两两垂直以 O为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，|OA 6|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz，OA 则 A(1,0,0)， B(0， ，0)， C(1,0,0)， D(0，0,1)3(5分)由题设知，四面体 ABCE的体积

11、为四面体 ABCD的体积的 ，从而 E到平面 ABC的距离为 D到12平面 ABC的距离的 ，即 E为 DB的中点，得 E .12 (0， 32， 12)6分故 (1,0,1)， (2,0,0)， .AD AC AE ( 1， 32， 12)设 n( x1， y1， z1)是平面 DAE的法向量，则Error!即Error!可取 n . (8分)(1，33， 1)设 m( x2， y2， z2)是平面 AEC的法向量，则Error!即Error!可取 m(0，1， )3则cos n， m . (10分)nm|n|m| 33 3213 2 77由图知二面角 DAEC为锐角，所以二面角 DAEC的

12、余弦值为 . (12分)771用向量法求解空间角的四个要点：(1)“建系”，构建恰当的空间直角坐标系，如本题利用线面垂直关系构建空间直角坐标系；(2)“求坐标”，准确求解相关点的坐标；(3)“求法向量”，求出平面的法向量；(4)“应用公式”，熟记空间角的公式，即可求出空间角2利用向量法求直线与平面所成角时易混淆直线与平面所成角与直线方向向量和平面的法向量的夹角的关系，一定要注意线面角 与夹角 的关系为sin |cos |.73求二面角 ，主要通过两平面的法向量 n， m的夹角求得，即先求|cos n， m|，再根据所求二面角是钝角还是锐角写出其余弦值若 为锐角，则cos |cos n， m|；

13、若 为钝角，则cos |cos n， m|.练通即学即用(2018郑州一模)在如图所示的多面体中，四边形 ABCD是平行四边形，四边形 BDEF是矩形， ED平面 ABCD， ABD ， AB2 AD. 6(1)求证：平面 BDEF平面 ADE；(2)若 ED BD，求直线 AF与平面 AEC所成角的正弦值解析：(1)证明：在 ABD中， ABD ， AB2 AD，由余弦定理，得 BD AD， 6 3从而 BD2 AD2 AB2，故 BD AD，因为 DE平面 ABCD， BD平面 ABCD，所以 DE BD.又 AD DE D，所以 BD平面 ADE.因为 BD平面 BDEF，所以平面 BD

14、EF平面 ADE.(2)由(1)可得，在Rt ABD中， BAD ， BD AD，又由 ED BD， 3 3设 AD1，则 BD ED .因为 DE平面 ABCD， BD AD，3所以可以点 D为坐标原点， DA， DB， DE所在直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，如图所示则 A(1,0,0)， C(1， ，0)， E(0,0， )， F(0， ， )，3 3 3 3所以 (1,0， )， (2， ，0)AE 3 AC 3设平面 AEC的法向量为 n( x， y， z)，则Error!即Error!令 z1，得 n( ，2,1)，为平面 AEC的一个法向量3因为 (1， ，

15、)，AF 3 3所以cos n， ，AF nAF |n|AF | 4214所以直线 AF与平面 AEC所成角的正弦值为 .42148立体几何中的探索性问题授课提示：对应学生用书第43页悟通方法结论解决立体几何中探索性问题的3个步骤及1个注意点(1)3个步骤通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理；若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在(2)1个注意点探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用(2016高考北京卷)(12分)如图，在四棱锥 PABCD中， ABAD，

16、 AB1， AD2，(1)求证： PD平面 PAB；(2)求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值；(3)在 ，使得 若存在，求 的值；若不存在，说明棱 PA上 是 否 存 在 点 M BM 平 面 PCD？ AMAP理由学审题条件信息 想到方法 注意什么信息：平面 PAD平面 ABCD面面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直，即可证 AB平面 PAD(1)直线和平面所成角的正弦值等于平面法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值9信息： PA PD， PA PD PAD为等腰直角三角形及斜边中线即为高线信息： AC CD ACD为等腰三角形及其性质信息：棱 PA上是否存在点M三点共线的应用信息：

17、BM平面 PCD直线与平面平行时，直线的方向向量与平面的法向量的关系： 垂直于平面 PBM CD的法向量(2)向量法解决立体几何问题的关键是准确表达出各点及相关量的坐标规范解答 (1)证明：因为平面 PAD平面 ABCD， AB AD，所以 AB平面 PAD，所以 AB PD. (2分)又因为 PA PD，所以 PD平面 PAB. (3分)(2)取 AD的中点 O，连接 PO， CO.因为 PA PD，所以 PO AD.因为 PO平面 PAD，平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD. (5分)因为 CO平面 ABCD，所以 PO CO.因为 AC CD，所以 CO AD.如图，建

18、立空间直角坐标系 Oxyz.由题意得， A(0,1,0)， B(1,1,0)， C(2,0,0)， D(0，1,0)， P(0,0,1) (6分)设平面 PCD的法向量为 n( x， y， z)，则Error!即 Error!令 z2，则 x1， y2，所以 n(1，2,2)又 (1,1，1)，所以cos n， .PB PB nPB |n|PB | 33所以直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值为 .3310(8分)(3)设 M是棱 PA上一点，则存在 0,1，使得 .AM AP 因此点 M(0,1 ， )， (1， ， )BM 因为 BM平面 PCD，所以要使 BM平面 PCD，则 n0，B

19、M (10分)即(1， ， )(1，2,2)0，解得 .14所以在棱 PA上存在点 M，使得 BM平面 PCD，此时 .AMAP 14(12分)利用空间向量巧解探索性问题(1)空间向量最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无须进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断(2)解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题提醒 探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用.练通即学即用(2018福州四校联考)如图，在梯形 ABCD中， AB CD， AD

20、 DC CB1， BCD120，四边形 BFED是直角梯形， DE BD， BF DE， DE2 BF2，平面 BFED平面 ABCD.(1)求证： AD平面 BFED；(2)在线段 EF上是否存在一点 P，使得平面 PAB与平面 ADE所成的锐二面角的余弦值为5728？若存在，求出点 P的位置；若不存在，说明理由解析：(1)证明：在梯形 ABCD中，11 AB CD， AD DC CB1， BCD120， AB2， BD2 AB2 AD22 ABADcos 603， AB2 AD2 BD2， BD AD，平面 BFED平面 ABCD，平面 BFED平面 ABCD BD， AD平面 BFED.

21、(2) AD平面 BFED， AD DE，以 D为原点，分别以 DA， DB， DE所在直线为 x轴、 y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(0， ，0)， E(0,0,2)， F(0，3， 1)， (0， ，1)， (1， ，0)， ( 1,03 EF 3 AB 3 AE ,2)设 (0， ， )(0 1)EP EF 3则 (1， ，2 )AP AE EF 3取平面 ADE的一个法向量为 n(0,1,0)，设平面 PAB的法向量为 m( x， y， z)，由 m0， m0得AB AP Error!令 y2 ，得 x2 ， z ， m(2 ，

22、2 ， 3 3 3 3 3 3 3 )为平面 PAB的一个法向量，3|cos m， n| ，|mn|m|n| 5728解得 ，当 P为线段 EF靠近点 E的三等分点时满足题意.13授课提示：对应学生用书第138页1(2018高考全国卷)如图，四边形 ABCD为正方形， E， F分别为 AD， BC的中点，以DF为折痕把 DFC折起，使点 C到达点 P的位置，且 PE BF.12(1)证明：平面 PEF平面 ABFD；(2)求 DP与平面 ABFD所成角的正弦值解析：(1)证明：由已知可得 BF PF， BF EF，所以 BF平面 PEF.又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD.

23、(2)如图，作 PH EF，垂足为 H.由(1)得， PH平面 ABFD.以 H为坐标原点， 的方向为 y轴正方向，| |为单位长，建HF BF 立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz.由(1)可得， DE PE.又 DP2， DE1，所以 PE .3又 PF1， EF2，所以 PE PF.所以 PH ， EH .32 32则 H(0,0,0)， P ， D ，(0， 0，32) ( 1， 32， 0) ， .DP (1， 32， 32) HP (0， 0， 32)又 为平面 ABFD的法向量，HP 设 DP与平面 ABFD所成角为 ，则sin .|HP DP HP |DP |343 34所以

24、DP与平面 ABFD所成角的正弦值为 .342(2018长春模拟)如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为菱形， PA平面 ABCD， E为 PD的中点13(1)证明： PB平面 ACE；(2)设 PA1， ABC60，三棱锥 EACD的体积为 ，求二面角 DAEC的余弦值38解析：(1)证明：连接 BD交 AC于点 O，连接 OE(图略)在 PBD中， PE DE， BO DO，所以 PB OE.又 OE平面 ACE， PB平面 ACE，所以 PB平面 ACE.(2)由题易知 VPABCD2 VPACD4 VEACD ，设菱形 ABCD的边长为 a，32则 VPABCD SABCDPA

25、(2 a2)1 ，则 a .13 13 34 32 3取 BC的中点为 M，连接 AM，则 AM AD.以点 A为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为 x轴， y AM AD AP 轴， z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， E(0， ， )， C( ， ，0)， (0， ，32 12 32 32 AE 32)， ( ， ，0)，12 AC 32 32设 n1( x， y， z)为平面 AEC的法向量，则Error!即Error!取 x1，则 n1(1， ，3)3为平面 AEC的一个法向量又易知平面 AED的一个法向量为 n2(1,0,0)，所以cos n1， n2

26、 ，n1n2|n1|n2| 11 3 9 1313由图易知二面角 DAEC为锐二面角，所以二面角 DAEC的余弦值为 .13133(2018高考全国卷)如图，在三棱锥 PABC中， AB BC2 ， PA PB PC AC24， O为 AC的中点14(1)证明： PO平面 ABC；(2)若点 M在棱 BC上，且二面角 MPAC为30，求 PC与平面 PAM所成角的正弦值解析：(1)证明：因为 PA PC AC4， O为 AC的中点，所以 OP AC，且 OP2 .3如图，连接 OB.因为 AB BC AC，22所以 ABC为等腰直角三角形，且 OB AC， OB AC2.12由 OP2 OB2

27、 PB2知 PO OB.由 OP OB， OP AC， OB AC O，得 PO平面 ABC.(2)如图，以 O为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，建立空间OB 直角坐标系 Oxyz.由已知得 O(0,0,0)， B(2,0,0)， A(0，2,0)， C(0,2,0)， P(0,0,2 )， (0,2,2 )3 AP 3取平面 PAC的一个法向量 (2,0,0)OB 设 M(a,2 a,0)(0 a2)，则 ( a,4 a,0)AM 设平面 PAM的法向量为 n( x， y， z)由 n0， n0得AP AM Error!可取 y a，得平面 PAM的一个法向量为 n( (a 4)， a，

28、a)，3 3 3所以cos ， n .OB 23a 423a 42 3a2 a2由已知可得|cos ， n|cos 30 ，OB 32所以 ，23|a 4|23a 42 3a2 a2 32解得 a4(舍去)或 a .4315所以 n .(833， 433， 43)又 (0,2，2 )，所以cos ， n .PC 3 PC 34所以 PC与平面 PAM所成角的正弦值为 .344(2018青岛模拟)如图，在四棱锥 PABCD中， PA平面 ABCD， AC AD， AB BC，BCA45 ， AP AD AC2， E为 PA的中点(1)设平面 PAB平面 PCD l，求证： CD l；(2)求二面

29、角 BCED的余弦值解析：(1)证明：在四边形 ABCD中， AC AD， AD AC2， ACD45， BCA45 ， BCD BCA ACD 90，即 DC BC.又 AB BC， AB CD. AB平面 PAB， CD平面 PAB， CD平面 PAB. CD平面 PCD，平面 PAB平面 PCD l， CD l.(2) PA平面 ABCD， AC AD，以 A为原点，以 AD所在的直线为 x轴， AC所在的直线为 y轴， AP所在的直线为 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,2)， E(0,0,1)， D(2,0,0)， C(0,2,0)， B(1,1,0)，设平面 DCE的法向量为 n1( x1， y1， z1)， (0，2,1)， (2,0,1)，CE DE 由Error! 得Error!，令 x11，则 y11， z12， n1(1,1,2)是平面 DCE的一个法向量设平面 BCE的法向量为 n2( x2， y2， z2)，(1,1,0)， (0，2,1)，BC CE 由Error! 得Error!，令 x21，则 y21， z22， n2(1，1，2)是平面 BCE的一个法向量16则cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 466 23又二面角 BCED为钝角，二面角 BCED的余弦值为 .23