2019届高考数学二轮复习专题三第1讲空间几何体的表面积和体积（文）学案.docx

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1、1第 1 讲空间几何体的表面积和体积1三视图的识别和简单应用；2简单几何体的表面积与体积计算1空间几何体的三视图(1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等(2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体2空间几何体的两组常用公式(1)正柱体、正锥体、正台体的侧面积公式： S 柱侧 ch(c 为底面周长， h 为高)； S 锥侧 ch( c 为底面周长， h为斜高/母线)；12 S 台侧 (c c) h( c， c 分别为上下底面的周长， h为斜高/母线)；12 S 球表 4 R2(R 为球的半径)(2)柱体、锥体和球的体积公式：

2、V 柱体 Sh(S 为底面面积， h 为高)； V 锥体 Sh(S 为底面面积， h 为高)；13 V 球 R343热点一 空间几何体的三视图与直观图【例 1】 (1) (2018张家口期中)如图所示，在正方体 1ABCD中， M为 1D的中点，则图中阴影部分 1BCM在平面 1B上的正投影是（ ）考向预测2A B C D(2)(2017泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于( )A4 B C D52 34 41 2解析 (1)由题意，点 M在平面 1上的投影是 1的中点，B、 1C在平面 1上的投影是它本身，所以 BM 在平面 1CB上的正投影是

3、C 中阴影部分，故选 C.(2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥P ABC(如图所示)棱锥最长的棱长 PA 25 16 41答案 (1)C (2)C探究提高 1由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认二要熟悉常见几何体的三视图2由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置(3)确定几何体的直观图形状【训练 1】 (1)(2017兰州模拟)如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，点 P

4、是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图的面积之和为( )3A1 B2 C3 D4(2)(2016天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析 (1)设点 P 在平面 A1ADD1的射影为 P，在平面 C1CDD1的射影为 P，如图所示三棱锥 P BCD 的正视图与侧视图分别为 P AD 与 P CD，因此所求面积 S S P AD S P CD 12 12212 12(2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图，故其侧视图为图答案 (1)B (2)B热点二 几何体的表面积与体积

5、【例 2】 (1)(2018上饶期末)如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）4A 6B 4C 86D 46(2)(2017山东卷)由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_14解析 (1)根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个 14圆柱所得，作出几何体的直观图（如图） ，则该几何体的表面积为 22186S故选 C(2)该几何体由一个长、宽、高分别为 2，1，1 的长方体和两个半径为 1，高为 1 的 圆柱体构成，所以14V2112 1 212 14 2答案 (1)C (2)2 2探究提高 1由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定

6、几何体中各元素之间的位置关系及度量大小(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式2(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用3求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解【训练 2】 (1) (2017枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是 ，则它的表面积是_135(2)(2016山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为( )A B C D1 13 23 13 23 13 26 26解析 (1)由题设

7、及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去 4 个三棱锥后剩余的内接正三棱锥B A1C1D(如图所示)设正方体的棱长为 a，则几何体的体积是 V a34 a2a a3 ，13 12 13 13 a1，三棱锥的棱长为 ，2因此该三棱锥的表面积为 S4 ( )22 34 2 3(2)由三视图知该四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为 ，从而该几何22体的体积为 121 13 12 43 ( 22)3 13 26答案 (1)2 ;(2) C3热点三 多面体与球的切、接问题【例 3】 (2019广东一模)九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“

8、阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）6A 6B 863C 86D 24解析 如图所示，该几何体为四棱锥 PABCD，底面 为长方形.其中 PD底面 ABC， 1， 2， 1.易知该几何体与变成为 ,2的长方体有相同的外接球，则该阳马的外接球的直径为 2216P.球体积为：3462.答案 A.探究提高 1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点” 、 “接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题2若球面上四点 P， A， B，

9、C， PA， PB， PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题【训练 3】(2017济南一中月考)已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB90， C 为该球面上的动点若三棱锥 O ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( )A36 B64 C144 D256解析 因为 AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 O ABC 的体积取得最大值由 R2R36，得 R6从而球 O 的表面积 S4 R214413 12答案 C71(2018全国 I 卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则

10、 截此正方体所 得截面面积的最大值为（）A 34B 23C 324D 322(2018全国 I 卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 1O， 2，过直线 1O的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为A 1B 12C 82D 03(2018全国 III 卷)设 AD， ， ， 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 9，则三棱锥 C体积的最大值为（）A 123B 183C 243D 5434(2018全国 II 卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 A， SB所成角的余弦值为 78， SA与圆锥底面所成角为45，若 S 的面积为 51，则该圆锥

11、的侧面积为_1(2018全国 III 卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A B C D2(2017浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )8A 1 B 3 C 1 D 3 2 2 32 323(2016四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为 2 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是_4(2017江苏卷)如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下面及

12、母线均相切记圆柱 O1O2的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是_V1V25(2015全国卷)如图，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB16， BC10， AA18，点 E， F 分别在 A1B1， D1C1上， A1E D1F4过点 E， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值91(2018郑州质检)如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为( )A 153B 93C 06 D 182(2017衡阳联考)如图所示，某空间几何体的

13、正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为( )A6 B C4 D223 3 33(2017衡水中学调研)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A B C4 D41 4148 414 434体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_5(2017沈阳质检)在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 AA1C1C底面 ABC， AA1 A1C AC AB BC2，且点 O为 AC 中点10(1)证明： A1O平面 ABC；(2)求三棱锥 C1 ABC 的体积11参考答案1 【解题思路】首先利用正方体的棱是 3 组每组有互相平行的 4 条棱，所以与 12 条棱所成

14、角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【答案】 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体 1ABCD中，平面 1ABD与线 11,ABD所成的角是相等的，所以平面 1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 1ABD与 1C中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为 2，所以其面积为233644S，故选 A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面

15、积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.2 【解题思路】首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.【答案】根据题意，可得截面是边长为 2的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是 的圆，且高为 2，所以其表面积为 221S，故选 B.点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意

16、是两个底面圆与侧面积的和.3 【解题思路】作图， D为 MO与球的交点，点 M为三角形 ABC的重心，判断出当 DM平面 ABC时，三棱锥 DABC体积最大，然后进行计算可得；【答案】如图所示，12点 M为三角形 ABC的重心， E为 AC中点，当 D平面 时，三棱锥 DB体积最大，此时， 4ODBR， 2394ABCS ， 6，点 为三角形 的重心， 23ME， Rt 中，有 2OB， 426DOM， max19368DABCV故选 B4 【解题思路】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.【答案】因为母线 SA， B所成角的余弦值为

17、78，所以母线 SA， B所成角的正弦值为 158，因为 SAB 的面积为 51，设母线长为 l，所以 2151l， 280l，因为 S与圆锥底面所成角为 45，所以底面半径为 cos4ll，因此圆锥的侧面积为 20rll.点睛：本题考查线面角，圆锥的侧面积，三角形面积等知识点，考查学生空间想象与运算能力1 【解题思路】观察图形可得【答案】：观擦图形图可知，俯视图为 ，故答案为 A.2 【解题思路】该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，分别求其体积即可【答案】 由三视图可知该几何体为半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为 1，高为 3，三棱锥的底面积为 211，高为 3故该几何体体

18、积为： V 1 23 13 1故选 A12 12 13 13 23 【解题思路】由正视图的底边长和腰长为 2 的等腰三角形确定俯视图形状【答案】 由题可知，三棱锥每个面都是腰为 2 的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为 h1，13则体积 V Sh 1 故填 13 13 (122 31) 33 334 【解题思路】由图确定球的半径与圆柱高和底面半径之间的关系，进而求其体积之比【答案】 设球半径为 R，则圆柱底面圆半径为 R，母线长为 2R又 V1 R22R2 R3， V2 R3，所以 故填 43 V1V2 2 R343 R3 32 325 【解题思路】(1)过 EF 往下作截面；(

19、2)由正方形的边长关系确定底面的交点在棱上的位置，进而求棱柱的体积【答案】解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示(2)如图，作 EM AB，垂足为 M，则 AM A1E4， EB112， EM AA18因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH EF BC10于是 MH 6， AH10， HB6EH2 EM2故 1(410)85AS四 边 形 ， 1(26)87EBHS四 边 形 因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97(79也 正 确 )1 【解题思路】由三视图知原图是一个底面为边长为 3 的正方形，高为 3的斜四棱柱，【答案】 393Vsh.2 【解

20、题思路】该几何体由一个圆锥和一个半球组合而成【答案】 此几何体为一个组合体，上为一个圆锥，下为一个半球组合而成表面积为S 224故选 C42 123 【解题思路】该几何体是一个四棱锥，球心在底面中心的正上方，确定球心的位置【答案】 由三视图知该几何体为四棱锥，侧面 PBC 为侧视图， PE平面 ABC， E， F 分别是对应边的中点，底面 ABCD 是边长是 2 的正方形，如图所示14设外接球的球心到平面 ABCD 的距离为 h，则 h221 2(2 h)2， h ， R2 34 4116几何体的外接球的表面积 S4 R2 故选 B4144 【解题思路】正方体的体对角线即为其外接球的直径【答案

21、】 设正方体的棱长为 a，则 a38，解得 a2设球的半径为 R，则 2R a，即 R 所以球3 3的表面积 S4 R212故填 125 【解题思路】(1)面面垂直的性质定理；(2)顶点转换法，以 A1为顶点【答案】(1)证明 因为 AA1 A1C，且 O 为 AC 的中点，所以 A1O AC，又平面 AA1C1C平面 ABC，平面 AA1C1C平面 ABC AC，且 A1O平面 AA1C1C， A1O平面 ABC(2)解 A1C1 AC， A1C1平面 ABC， AC平面 ABC， A1C1平面 ABC，即 C1到平面 ABC 的距离等于 A1到平面 ABC 的距离由(1)知 A1O平面 ABC 且 A1O ，3 11233CBCBVS