[考研类试卷]考研数学一（向量）模拟试卷5及答案与解析.doc

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1、考研数学一（向量）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关。（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关。（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关。（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关。2 已知 n 维列向量组() ： 1， 2， r(rn)线性无关，则 n 维列向量组()：1， 2， r 线

2、性无关的充分必要条件为( ) 。（A） 1， 2， r 可由 1， 2， r 线性表示。（B） 1， 2， r 可由 1， 2， r 线性表示。（C） 1， 2， r 和 1， 2， r 等价。（D）矩阵 A=(1， 2， r)与 B=(1， 2， r)等价。3 设 1= ， 2= ， 3= ，则 3 条直线a1x+b1y+c1=0，a 2x+b2y+c2=0，a 3x+b3y+c3=0(其中 ai2+bi20，i=1 ，2，3)交于一点的充要条件是( )（A） 1， 2， 3 线性相关。（B） 1， 2， 3 线性无关。（C） R(1， 2， 3)=R(1， 2)。（D） 1， 2， 3 线

3、性相关， 1， 2 线性无关。4 已知 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是( )（A）如果 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关。（B）如果 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，那么 1， 2， 4 也线性相关。（C）如果 3 不能由 1， 2 线性表出， 4 不能由 2， 3 线性表出，则 1 可以由2， 3， 4 线性表出。（D）如果秩 R(1，+，+)=R( 4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由1， 2， 3 线性表出。5 设向量组 1=(6，+1，7) T， 2=(，2，2) T， 3=(，1，0

4、) T 线性相关，则( )（A）a=1 或 =4。（B） =2 或 =4。（C） =3 或 =4。（D）= 或 =4。6 下列说法不正确的是( )。（A）s 个 n 维向量 1， 2， s 线性无关，则加入 k 个 n 维向量1， 2， s 后的向量组仍然线性无关。（B） s 个 n 维向量 1， 2， s 线性无关，则每个向量增加 k 维分量后得到的向量组仍然线性无关。（C） s 个 n 维向量 1， 2， s 线性相关，则加入 k 个 n 维向量1， 2， s 后得到的向量组仍然线性相关。（D）s 个 n 维向量 1， 2， s 线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关。7 设

5、A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。8 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1-2， 2-3， 3， 1。（B） 1+2， 2+3， 3+1。（C） 1-22， 2-23， 3-21。（D） 1+22， 2+23， 3+21。9 设 1= ， 2= ， 3= ， 4= ，其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，

6、则下列向量组线性相关的是( )（A） 1， 2， 3。（B） 1， 2， 4。（C） 1， 3， 4。（D） 2， 3， 4。10 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则 ( )（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价。（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价。（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价。11 设 1， 2， ， 3 是 3 维向量空间 R3 的一组基，则由基 1， 2， 3 到基1+2， 2+3， 3+1 的过渡矩阵为( )12 设 1， 2， ， 3 是 3 维

7、向量空间 R3 中的一组基。则由基 2， 1-2， 1+3 到基 1+2， 3， 2-1 的过渡矩阵为( )13 已知 4 维列向量组 1， 2， 3 线性无关，若非零向量 i(i=1，2，3，4)与1， 2， 3 均正交，则 R(1， 2， 3， 4)=( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。14 设 A、B 均为 n 阶正交矩阵，则下列矩阵中不是正交矩阵的是 ( )（A）AB -1。（B） kA(k=1)。（C） A-1B-1。（D）A-B。15 设 1， 2， ， n-1 是 Rn 中线性无关的向量组， 1， 2 与 1， 2， n-1 正交，则( )（A） 1， 2， n-1

8、， 1 必线性相关。（B） 1， 2， n-1， 1， 2 必线性无关。（C） 1， 2 必线性相关。（D） 1， 2 必线性无关。二、填空题16 设 R3 中的两个基 1， 2， 3 和 1， 2， 3 之间满足 1=1-2， 2=2-3， 3=23，向量 在基 1， 2， 3 下的坐标为 x=(2，-1，3) T，则 在基1， 2， 3 下的坐标为_。17 已知向量组 1=(1，2，-1，1) T， 2=(2，0，t，0) T， 3=(0，-4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为_。18 向量组 1=(1，0，1，2)， 2=(0，1，2，1) ， 3=(-2，0，-2，-4)，4=

9、(0， 1，0， 1)， 5=(0， 0，0，-1) ，则向量组 1， 2， 3， 4， 5 的秩为_。19 向量组 1=(1，1，2，3) T， 2=(-1，1，4，-1) T 的施密特正交规范化向量组是_。20 向量组 1=(1，-2 ，0，3) T， 2=(2，-5，-3，6) T， 3=(0，1，3，0) T， 4=(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是_。21 设 1=(1， 2，-1 ，0) T， 2=(1，1，0，2) T， 3=(2，1，1，) T，若由 1， 2， 3形成的向量空间的维数是 2，则 =_。22 向量组 1=(1，-1 ，2，4) T， 2=(0，3，

10、1，2) T， 3=(3，0，7，a) T， 4=(1，-2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是_ 。23 设 1=(1， 2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2 ，-2) T，若 1=(1，3，4) T 可以由1， 2， 3 线性表示，但是 2=(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则a=_。24 已知 1， 2， 3 是三维向量空间的一个基，若 1=1+2+3， 2=32+3， 3=1-2，则由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵是_。25 与 1=(1， 2，3，-1) T， 2=(0，1，1，2) T， 3=(2，1

11、，3，0) T 都正交的单位向量是_。26 向量 =(1，-2 ，4) T 在基 1=(1，2，4) T， 2=(1，-1，1) T， 3=(1，3，9) T 下的坐标是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(-2，a，4) T， 3=(-2，a，a) T 线性表示，但向量组 1， 2， 3不能由向量组 1， 2， 3 线性表示。28 设 1， 2， ， n 是 n 个 n 维的线性无关向量组，a n+1=k11+k22+knn，

12、其中 k1，k 2，k n 全不为零。证明： 1， 2， n， n+1 中任意 n 个向量线性无关。29 已知 1= ， 2= ， 3= 与 1= ， 2= ， 3= 具有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表示，求 a，b 的值。30 设有向量组 1=(1，3，2，0)， 2=(7，0，14， 3)， 3=(2，-1，0，1)，4=(5， 1，6， 2)， 5=(2， -1，4，1)。()求向量组的秩；()求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示。31 设向量组() 可以由向量组() 线性表示，且 R()=R( )，证明：向量组()与()等价。32 设

13、 R3 中两组基分别为1= ， 2= ， 3= ； 1= ， 2= ， 3= 求由基 1， 2， 3到基 1， 2， 3 的过渡矩阵。33 求齐次线性方程组 的通解，并将其基础解系单位正交化。34 设 为 n 维非零列向量，E 为 n 阶单位阵，试证：A=E-(2 T)T 为正交矩阵。35 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示。 ()求 a 的值； ()将1， 2， 3 由 1， 2， 3 线性表示。36 已知 1=(1，3，5，-1) T， 2=(

14、2，7，a，4) T， 3=(5，17，-1，7) T。 ()若1， 2， 3 线性相关，求 a 的值； ()当 a=3 时，求与 1， 2， 3 都正交的非零向量 4； ()当 a=3 时，利用()的结果，证明 1， 2， 3， 4 可表示任一个 4 维列向量。37 设 1， 2， 1， 2 均是三维向量，且 1， 2 线性无关， 1， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1， 2 线性表出，又可由 1， 2 线性表出。当 1=， 2= ， 1= ， 2= 时，求出所有的向量 。38 设有向量组() ： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，-1，a+2)

15、 T 和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2， 1，a+4) T。试问：当 a 为何值时()与() 等价，当 a 为何值时()与()不等价。39 已知向量 =(a1，a 2，a 3，a 4)T 可以由 1=(1，0，0，1) T， 2=(1，1，0，0)T， 3=(0，2，-1 ，-3) T， 4=(0，0，3，3) T 线性表出。 ()求 a1，a 2，a 3，a 4 应满足的条件； () 求向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出； ()把向量 分别用 1， 2， 3， 4 和它的极大线性无关组

16、线性表出。40 设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a,2，2) T， 3=(3，3，3+a ，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3， 4 线性相关。当1， 2， 3， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。41 设 R3 的两组基为： 1=(1，1，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(0,0，1) T； 1=(1，0，1)T， 2=(0，1，-1) T， 3=(1，2，O) T，求 1， 2， 3 到 1， 2， 3 的过渡矩阵 C，并求 =(-1，2，1) T 在基 1，

17、 2， 3 下的坐标。42 设 1=(1， 1，1) T， 2=(1，-1，-1) T，求与 1， 2 均正交的单位向量 并求与向量组 1， 2， 等价的正交单位向量组。考研数学一（向量）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 设 1， 2， s 线性相关，则存在不全为零的数k1，k 2，k s，使得 k 11+k22+kss=0。 于是 k1A1+k2A2+ksAs=A(k11+k22+kss)=0， 所以，A 1，A 2，A s 线性相关。 因此本题选(A) 。【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【试题解析】

18、 对于选项(A)，由已知条件只能得 R()R()=r，但得不到 R()=R()=r，故(A) 不正确。 对于选项(B)，由已知条件知 r=R()R()r，于是R( )=r，即 1， 2， r 线性无关。因而(B)是充分条件。但若 1， 2， r线性无关，是不能得出 1， 2， r 可由 1， 2， r 线性表出的结论。例如，( )：e 1=(1，0，0) T， e2=(0，1，0) T；()e 2=(0，1，0) T，e 3=(0，0，1) T，()()均线性无关，但 ()不可由 ()线性表出，故(B)错误。 对于选项(C) ，由于(B)不是必要条件，则(C) 就不可能是必要条件。 对于选项

19、(D)，注意到两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等，由题设知 R(A)=R()=r，则 A 与 B 等价 (B)=r1， 2， r 线性无关，所以选项(D)是正确的。【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 1， 2， 3 线性相关，当 1=2=3 时，方程组 Ax=b 的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数，则方程组有无穷多解，根据解的个数和直线的位置关系可得 3 条直线重合，(A)不成立。 (B)1， 2， 3 线性无关， 3 不能由 1， 2 线性表出，方程组 Ax=b 的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等，方程组无解，根据解的个数与直线的位置关系得出 3 条直线无

20、公共交点，(B)不成立。 (C)R(1， 2， 3)=R(1， 2)，当 R(1， 2， 3)=R(1， 2)=1 时，3 条直线重合，故(C)不成立。 由排除法可知，应选 (D)。【知识模块】 向量4 【正确答案】 B【试题解析】 设 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T， 3=(0，2，0) T， 4=(0，0，1) T，可知(B) 不正确。应选(B) 。 关于(A) ：用其逆否命题判断。若 1， 2， 3 线性无关，则 1， 2， 3， 4 必线性相关(因为 n+1 个 n 维向量必线性相关)，所以 4 可由1， 2， 3 线性表出。 关于(C) 由已知条件，有 ()R( 1

21、， 2)R(1， 2， 3)，()R(2， 3)R(2， 3， 4)。 若 R(2， 3)=1，则必有 R(1， 2)=R(1， 2， 3)，与条件( )矛盾，故必有 R(2， 3)=2。 那么由() 知 R(2， 3， 4)=3，从而R(1， 2， 3， 4)=3。因此 1 可以由 2， 3， 4 线性表出。 关于(D) ：经初等变换有 ( 1， 1+2， 2+3)( 1， 2， 2+3)( 1， 2， 3)， (4， 1+4， 2+4， 3+4)( 4， 1， 2， 3)( 1， 2， 3， 4)， 从而R(1， 2， 3)=R(1， 2， 3， 4)，因此 4 可以由 1， 2， 3 线

22、性表出。【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 1， 2， 3 线性相关，故行列式( 1， 2， 3)= =22-5-12=0，解得 = 或 =4。【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 (A) 不正确，因为如果 s+Kn，则增加向量个数后的向量组线性相关。选项(B) 、(C)说明的是向量组中高维向量和低维向量的线性相关性之间的关系。选项(D)说明一个向量组整体无关，则这个向量组的部分向量也无关，说法正确。【知识模块】 向量7 【正确答案】 A【试题解析】 由 AB=O 知， B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向

23、量组线性相关。 同理，由 AB=D 知，B TAT=D，于是有 BT 的列向量组线性相关，从而曰的行向量组线性相关， 故应选(A)。【知识模块】 向量8 【正确答案】 A【试题解析】 用向量组线性相关的定义进行判定。令 x 1(1-2)+x2(2-3)+x3(3-1)=0， 得 (x1-x3)1+(-x1+x2)2+(-x2+x3)3=O。因 1， 2， 3 线性无关，所以因上述方程组系数矩阵的行列式 =0，故上述齐次线性方程组有非零解，即 1-2， 2-3， 3-1 线性相关。 同理可判断(B) 、(C) 、(D)中的向量组都是线性无关的。【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】

24、由行列式( 1， 2， 3)= =c1 =0，可知1， 3， 4 线性相关。 可采用相同的方法判断，其他选项的向量组线性无关。故选(C)。【知识模块】 向量10 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A，C 列分块：A=( 1， 2， 3)B=(bij)nnC=(1， 2， n)。由于 AB=C，即于是得到矩阵 C 的列向量组可用矩阵 A 的列向量组线性表示。同时由于 B 可逆，即A=CB-1。 同理可知矩阵 A 的列向量组可用矩阵 C 的列向量组线性表示，所以矩阵C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。应该选(B)。【知识模块】 向量11 【正确答案】 A【试题解析】 由基 1， 2， 3

25、 到 1+2， 1+2， 3+1 的过渡矩阵 M 满足(1+2， 2+3， 3+1)=(1， 2， 3) 所以应选(A)。【知识模块】 向量12 【正确答案】 C【试题解析】 设( 1+2， 3， 2-1)=(2， 1-2， 1+3)C，则( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) 由于 1， 2， 3 是 R3 中的一组基，故(1， 2， 3)可逆，则【知识模块】 向量13 【正确答案】 A【试题解析】 设 1=(a11，a 12，a 13，a 14)T， 2=(a21，a 22，a 23，a 24)T， 3=(a31， a32，a 33，a 34)T。 由题设知， i 与 1， 2， 3 均

26、正交，即内积iTj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)，亦即 i(i=1， 2，3，4)是齐次方程组的非零解。 由于 1， 2， 3 线性无关，故系数矩阵的秩为 3。所以基础解系中含有 4-3=1 个解向量。从而 R(1， 2， 3， 4)=1。故应选(A)。【知识模块】 向量14 【正确答案】 D【试题解析】 由题设条件，则 选项(A)， (AB -1)TAB-1=(B-1)TATAB-1 =(B-1)TEB-1=(BT)TBT=BBT=E， AB -1 是正交矩阵； 选项(B)， (kA) T(kA)=k2ATA=E， kA(k =1) 是正交矩阵； 选项(C)， (A -1B-1)

27、TA-1B-1=(B-1)T(A-1)TA-1B-1=BAA-1B-1=E， A -1B-1 是正交矩阵。 选项(D)， (A-B) T=AT-BT=A-1-B-1， 故 (A-B) T(A-B)=(A-1-B-1)(A-B)=2E-B-1A-A-1BE， A-B 不是正交矩阵。应选(D) 。【知识模块】 向量15 【正确答案】 C【试题解析】 由 n+1 个 n 维向量必线性相关可知 B 选项错； 若 i(i=1，2，n-1)是第 i 个分量为 1，其余分量全为 0 的向量， 1 是第 n 个分量为 1，其余分量全为 0 的向量， 2 是第 n 个分量为 2，其余分量全为 0 的向量，则 1

28、， 2， n-1， 1 线性无关， 2=21，所以选项 A 和 D 错误；故选 C。 下证 C 选项正确： 因1， 2， n-1， 1， 2 必线性相关，所以存在 n+1 个不全为零的常数k1，k 2，k n-1，l 1，l 2， 使 k 11+k22+kn-1n-1+l11+l22=0， 又因为1， 2， n-1 线性无关，所以 l1，l 2 一定不全为零，否则 1， 2， n-1 线性相关，产生矛盾。 在上式两端分别与 1， 2 作内积，有 (l11+l22， 1)=0， (l11+l22， 2)=0， 联立两式， l1+l2可得 (l 11+l22，l 11+l22)=0， 从而可得 l

29、 11+l22=0， 故 1， 2 必线性相关。【知识模块】 向量二、填空题16 【正确答案】 y=(2，1，2) T【试题解析】 由题设条件，有( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) 因此(1， 2， 3)=(1， 2， 3) 又 在基1， 2， 3 下的坐标为 x=(2，-1，3) T，故有 =2 1+2+33=(1， 2， 3)将(1)式代入(2)式中，得 =( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) 因此 在基 1， 2， 3 下的坐标为y=(2，1，2) T。【知识模块】 向量17 【正确答案】 (-，+)【试题解析】 由于向量的个数与维数不一样，因此不能用行列式去分析，而要用齐次方

30、程组只有零解，或矩阵的秩等于 n 来分析向量组的无关性。A=( 1， 2， 3)= 由于对任意的 t，R(A)=3恒成立，所以向量组 1， 2， 3 必线性无关。【知识模块】 向量18 【正确答案】 4【试题解析】 令 A=(1T， 2T， 3T， 4T， 5T)由秩的定义知 R(A)=R(1T， 2T， 3T， 4T， 5T)=4。【知识模块】 向量19 【正确答案】 (1，1，2，3，) T， (-2，1，5，-3) T【试题解析】 先正交化，有 1=1=(1，1，2，3) T， 2=2-(2， 1 1， 1)1=(-1，1，4，-1) T- (1，1，2，3) T= (-2，1，5，-3

31、) T。再单位化，有 1=1 1=(1，1，2，3) T， 2=2 2= (-2，1，5，-3) T。【知识模块】 向量20 【正确答案】 1， 2， 4【试题解析】 用已知向量组构成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有(1， 2， 3， 4)因为矩阵中有3 个非零行，所以向量组的秩为 3。在上述阶梯形矩阵的每一台阶各取一列，则1， 2， 3 或 1， 3， 4 是向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组。【知识模块】 向量21 【正确答案】 6【试题解析】 由题意可知向量组 1， 2， 3 的秩 R(1， 2， 3)=2，对向量组组成的矩阵作初等行变换所以有 a-6=0 a=6。【知

32、识模块】 向量22 【正确答案】 a14【试题解析】 n 个 n 维向量线性无关的充分必要条件是以 n 个向量组成的矩阵所对应的行列式不为 0。则 1， 2， 3， 4因此可得a14。【知识模块】 向量23 【正确答案】 -1【试题解析】 根据题意， 1=(1，3，4) T 可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=1 有解， 2=(0，1，2) T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此对增广矩阵作初等变换，即因此可知，当 a=-1 时，满足方程组 x11+x22+x33=1 有解，而方程组x1

33、1+x22+x33=2 无解的条件。故 a=-1。【知识模块】 向量24 【正确答案】 【试题解析】 依过渡矩阵定义，有( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)【知识模块】 向量25 【正确答案】 (1，1，-1，0) T【试题解析】 若列向量 ， 正交，则内积 T=0，设 =(x1，x 2，x 3，x 4)T 与1， 2， 3 均正交，那么 对以上齐次方程组Ax=0 的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(-1，-1， 1，0) T，将这个向量单位化，即 (1，1，-1，0) T。【知识模块】 向量26 【正确答案】 【试题解析】 设向量 在基 1， 2， 3 下的坐标是(x 1，x 2，

34、x 3)T，由=x11+x22+x33 可得方程组 解得 x= ，x 2= ，x 3=1，因此 在基 1， 2， 3 下的坐标是【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 如果 1， 2， 3 线性无关，则 j(j=1，2，3)一定可由 3 个 3 维线性无关向量组 1， 2， 3 线性表示，不符合题设，故 1， 2， 3 线性相关，即( 1， 2， 3)=(a+2)-(a-1)2=-(a+2)(a-1)2=0，于是 a=-2 或 a=1。 当 a=-2 时，( 1， 2， 3， 1， 2， 3)显然 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示，所以

35、 a-2。 而当 a=1 时， 1=2=3=1，但 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示，即a=1 满足题意。【知识模块】 向量28 【正确答案】 选取 i 之外的 n 个向量为例。 令 11+ i-1i-1+i+1i+1+ nn+n+1n+1=0，即( 1+n+1k1)1+( i-1+n+1ki-1)i-1+n+1kii+(i+1+n+1ki+1)i+1+( n+n+1kn)n=0。 因为 1， 2， n 线性无关，所以必有 n+1ki=0，而 ki0，则 n+1=0，故由 1+n+1k1=0， i-1+n+1ki-1=0， i+1+n+1ki+1=0， n+n+1kn=0，立即得 1

36、=2= i-1=i+1= n+1=0，所以1， 2， i-1， i+1， n， n+1 线性无关。【知识模块】 向量29 【正确答案】 ( 1， 2， 33) 。因为 3 可由1， 2， 3 线性表示，所以 R(1， 2， 33)=R(1， 2， 3)=2 b=5。由 R(1， 2， 3)=R(1， 2， 3)=2，( 1， 2， 3)a=15。【知识模块】 向量30 【正确答案】 A=( 1T， 2T， 3T， 4T， 5T)=()从变换结果可知，向量组 1， 2， 3， 4， 5 的秩为 3。()在 B 中选对应向量，例如 1， 2， 3 或 1， 3， 5 或 1， 4， 5 均可作为极

37、大线性无关组。不妨选1， 2， 3 作为极大线性无关组，将 B 化为标准形故 4= 1+ 2+3， 5= 1+ 2。【知识模块】 向量31 【正确答案】 设 R()=R()=r，且 1， 2， ， r 与 1， 2， r 分别为向量组( )与()的极大线性无关组。由于向量组 ( )可以由( )线性表示，故1， 2， r 可以由 1， 2， r 线性表示。因此， R(1， 2， ， r， 1， 2， r)=R(1， 2， r)=r。 又 1， 2， r 线性无关，所以 1， 2， r 是向量组 1， 2， r， 1， 2， r 的极大线性无关组，从而 1， 2， ， r 可以由 1， 2， r

38、线性表示，于是向量组()可以由 1， 2， ， r 线性表示，所以向量组()可以由()线性表示。又已知向量组()可以由 ()线性表示，所以向量组 ()与()等价。【知识模块】 向量32 【正确答案】 由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵为 C=( 1， 2， 3)-1(1， 2， 3)。 对( 1， 2， 3， 1， 2， 3)作初等行变换，有( 1， 2， 31， 2， 3)= 所以过渡矩阵【知识模块】 向量33 【正确答案】 取 x3，x 4 为自由未知量，则方程组的基础解系为 1=(1，0，1，0)T， 2=(-1，1，0，1) T，所以该齐次线性方程组的通解为 k11

39、+k22，其中 k1，k 2 为任意常数。 对 1， 2 进行施密特正交化，令 1=1=(1，0，1，0) T。 2=2-(2， 1 1， 1)1=(-1，1，0，1) T- (1，0，1，0) T= (-1，2，1，2) T，单位化得1=1 1= (1，0，1，0) T， 2=2 2 (=1，2，1，2) T。【知识模块】 向量34 【正确答案】 因为 AT=E-(2 T)TT=E-(2 T).T，所以 AA T=E-(2 T)TE-(2 T).T=E-(4 T).T+(2 T)2.(T)T E-(4 T).T+(4 T)T=E。故 A 为正交矩阵。【知识模块】 向量35 【正确答案】 ()

40、4 个 3 维向量 1， 2， 3， i(i=1，2，3)必线性相关。若1， 2， 3 线性无关，则 i(i=1，2，3)可由 1， 2， 3 线性表示，这与题设矛盾。所以 1， 2， 3 线性相关，从而( 1， 2， 3)= =a-5=0，于是 a=5。此时， i(i=1，2，3) 不能由向量组 1， 2， 3 线性表示。()令 A=(1， 2， 31， 2， 3)。对 A 作初等行变换则 1=21+42-3， 2=1+22， 3=51+102-23。【知识模块】 向量36 【正确答案】 () 1， 2， 3 线性相关 秩 R(1， 2， 3)3。由于( 1， 2， 3)= 所以 a=-3。

41、 ()设4=(x1， x2， x3，x 4)T。由内积 1， 4=0， 2， 4=0， 3， 4=0，得方程组对力程组的系数矩阵作初等变换，即于是得同解方程组令 x4=1，则得基础解系(19，=6，0，1) T，所以 4=k(19，-6 ，0，1) T，其中 k0。( )由()知，a=3 时， 1， 2， 3 必线性无关，设 k 11+k22+k33+k44=0，用 4T 左乘上式两端并利用 4T1=4T2=4T3=0，则有 k44T4=0，又 40，故必有 k4=0，于是 k11+k22+k33=0。由 1， 2， 3 线性无关知，必有 k1=0，k 2=0，k 3=0，从而 1， 2， 3

42、， 4 必线性无关。而 5 个 4 维列向量必线性相关，因此任一个 4 维列向量都可由 1， 2， 3， 4 线性表出。【知识模块】 向量37 【正确答案】 四个三维向量 1， 2， 1， 2 必线性相关，故有不全为零的数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k 11+k22+l11+l22=0。 令 =k11+k22=-l11-l22，则必有k1，k 2 不全为零。否则，若 k1=k2=0，由 k1，k 2，l 1，l 2 不全为零知，l 1，l 2 不全为零，从而-l 11-l12=0，这与 1， 2 线性无关相矛盾，所以 k1，k 2 不全为 0。同理l1，l 2 亦不全为 0。从而 0，

43、且它既可由 1， 2 线性表出，又可由 1， 2 线性表出。 对已知的 1， 2， 1， 2，设 x11+x22+y11+y22=0，对 1， 2， 1， 2 组成的矩阵作初等行变换，有于是得方程组的通解为 k(0，-3 ，-2，1) T，即 x 1=0，x 2=-3k，y 1=-2k，y 2=k，所以 =-3k2=，l 为任意常数。【知识模块】 向量38 【正确答案】 令 xj11+xj22+xj33=j(j=1，2，3) ， (1) 对( 1， 2， 31， 2， 3)作初等行变换，即可见，当 a+10，即 a-1 时，(1)中的三个非齐次线性方程组都有解且为唯一解，此时 1， 2， 3

44、都可由 1， 2， 3 线性表示，即向量组()可由()线性表示。 当a+1=0，即 a=-1 时，由于 R(1， 2， 3)R(1， 2， 3， 1)，R( 1， 2， 3)R(1， 2， 3， 3)，故此时 1， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示，即向量组()不能由( )线性表示。 类似地，令 xi11+xi22+xi33=i(i=1，2，3)。 (2)对(1， 2， 31， 2， 3)作初等行变换，即可见，无论 a 取何值，总有 R(1， 2， 3)=R(1， 2， 3， 1， 2， 3)， 即1， 2， 3 都可由 1， 2， 3 线性表示，亦即向量组()可由()线性表示。 综上可知，当 a-1 时，