【考研类试卷】考研数学一（向量）-试卷2及答案解析.doc

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1、考研数学一（向量）-试卷 2 及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 k 2 2 k s s 0，则 1 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 k 2 2 k s s 0C. 1 ， 2 ，

2、s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关3.设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 A0 仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关4.设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2 ， 3 线性无关C.r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关5.设 1 ， 2 ， 3 是 3 维向量空间 R 3 的一组基，则由基 1 ， （分

3、数：2.00）A.B.C.D.6.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 与 2 ( )（分数：2.00）A.线性无关B.线性相关C.即线性相关又线性无关D.不确定7.已知向量组 （分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 5 D. 1 ， 3 ， 5 8.设 1 (1，2，3，1) T ， 2 (3，4，7，1) T ， 3 (2，6，a，6) T ， 4 (0，1，3，a) T ，那么 a8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件9.设向量

4、 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则( )（分数：2.00）A. m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可以由()线性表示C. m 可以由()线性表示，也可以由()线性表示D. m 可以由()线性表示，侣不能由()线性表示10.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 1 3 4 ， 2 2 4 ， 3 3 4 ， 4 2 3 ， 5 2 1 2 3 则 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )( )（分数：2.00）A.

5、1B.2C.3D.411.设 A 是 n 阶方阵，且A0，则 A 中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合D.任一列向量是其余列向量的线性组合12.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 m X n 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， 3 线性无

6、关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.如果 (1，2，t) T 可以由 1 (2，1，1) T ， 2 (1，2，7) T ， 3 (1，1，4) T 线性表示，则 t 的值是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E T 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.向量组 1 (1，0，0)， 2 (1，1，0)， 3 (5，2，0)的秩是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ，)r，r( 1 ， 2 ， s ，

7、)r1，则 r( 1 ， 2 ， s ，) 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 1 (1，2，1) T ， 2 (2，3，a) T ， 3 (1，a2，2) T ，若 1 (1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 (0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 1 (1，4，2) T ， 2 (2，7，3) T ， 3 (0，1，a) T 可以表示任意一个 3 维向量，则 a 的取值是 1（分数：2.00）填空项 1:_19.与 1 (1，2，3，1) T ， 2 (0，1，1，2) T ， 3

8、 (2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_20.向量 (1，2，4) T 在基 1 (1，2，4) T ， 2 (1，1，1) T ， 3 (1，3，9) T 的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.设向量组 1 (1，0，1) T ， 2 (0，1，1) T ， 3 (1，3，5) T 不能由向量组 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (3，4，a) T 线性表示 (1)求 a 的值； (2)将 1 ， 2

9、， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_23.已知 r(a 1 ，a 2 ，a 3 )2，r(a 2 ，a 3 ，a 4 )3，证明： (1)a 1 能由 a 2 ，a 3 线性表示； (2)a 4 不能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示（分数：2.00）_24.设 a 1 ，a 2 线性无关，a 1 b，a 2 b 线性相关，求向量 b 用 a 1 ，a 2 线性表示的表达式（分数：2.00）_25.设 b 1 a 1 ，b 2 a 1 a 2 ，b r a 1 a 2 a r ，且向量组 a 1 ，a 2 ，a r 线性无关，证明：向量组 b 1 ，b 2 ，b

10、r 线性无关（分数：2.00）_26. * 是非齐次线性方程组 Ab 的一个解， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明： (1) * ， 1 ， n-r 线性无关； (2) * ， * 1 ， * n-r 线性无关（分数：2.00）_27.设非齐次线性方程组 Ab 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， n-r+1 是它的 nr1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 k 1 1 k n-r+1 n-r+1 (其中 k 1 k n-r+1 1)（分数：2.00）_28.由 a 1 (1，1，0，0) T ，a 2 (1，0，1，1) T 所生成的向量空间记作 L 1 ，由 b 1

11、(2，1，3，3) T ，b 2 (0，1，1，1) T 所生成的向量空间记作 L 2 ，试证 L 1 L 2 （分数：2.00）_29.已知 R 3 的两个基为 （分数：2.00）_考研数学一（向量）-试卷 2 答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（分数：2.00）A.若对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 k 2 2 k s s 0，则 1

12、 ， 2 ， s 线性无关B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，都有 k 1 1 k 2 2 k s s 0 C. 1 ， 2 ， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 sD. 1 ， 2 ， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关解析：解析：选项 A 的条件即齐次线性方程组 1 1 2 2 s s 0 只有零解，故 1 ， 2 ， s 线性无关，选项 A 正确 对于选项 B，由 1 ， 2 ， s 线性相关知，齐次线性方程组 1 1 2 2 s s 0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均

13、是它的解，因此选项 B 是错误的 选项 C 是教材中的定理 由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的 综上可知，应选 B3.设 A 是 mn 矩阵，则齐次线性方程组 A0 仅有零解的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：齐次线性方程组 A0 的向量形式为 1 1 2 2 n n 0， 其中 1 ， 2 ， n 为 A 的 n 个 m 维的列向量 由 A0 只有零解 4.设 （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关B. 1 ， 2

14、 ， 3 线性无关C.r( 1 ， 2 ， 3 )=r( 1 ， 2 )D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关 解析：解析：三直线交于一点的充分必要条件是以下线性方程组 或 1 y 2 3 0 (2) 有唯一解由(2)式可得 3 1 y 2 而方程组(2)(或(1)有唯一解 3 可由 1 ， 2 线性表示，且表示式唯一 5.设 1 ， 2 ， 3 是 3 维向量空间 R 3 的一组基，则由基 1 ， （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因为( 1 ， 2 ， n )( 1 ， 2 ， n )A，则 A 称为基 1 ， 2 ， n 到 1 ， 2 ， n 的过渡矩

15、阵 则由基 1 ， 到 1 2 ， 2 3 ， 3 1 的过渡矩阵 M 满足 6.若 1 ， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1 与 2 ( )（分数：2.00）A.线性无关B.线性相关C.即线性相关又线性无关D.不确定 解析：解析：例如，令 1 (1，1)， 2 (0，2)，(1，1)，则 1 ， 2 线性无关，而 1 (0，0)与 2 (1，1)线性相关如果设 (0，0)，那么 1 与 2 却是线性无关的故选 D7.已知向量组 （分数：2.00）A. 1 ， 3 B. 1 ， 2 C. 1 ， 2 ， 5 D. 1 ， 3 ， 5 解析：解析：对以 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5

16、为列向量的矩阵作初等行变换，有 8.设 1 (1，2，3，1) T ， 2 (3，4，7，1) T ， 3 (2，6，a，6) T ， 4 (0，1，3，a) T ，那么 a8 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关的( )（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分而非必要条件 C.必要而非充分条件D.既不充分也非必要条件解析：解析：n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1 ， 1 ， n 是否为零去判断 因为 1 ， 1 ， 4 9.设向量 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表示，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， m-1 线性表示，记向量组()： 1 ， 2 ， m-1 ，则(

17、)（分数：2.00）A. m 不能由()线性表示，也不能由()线性表示B. m 不能由()线性表示，但可以由()线性表示 C. m 可以由()线性表示，也可以由()线性表示D. m 可以由()线性表示，侣不能由()线性表示解析：解析：按题意，存在组实数 k 1 ，k 2 ，k m 使得 k 1 1 k 2 2 k m m ， (*) 且必有 k m 0否则与 不能由 1 ， 2 ， m-1 线性表示相矛盾，从而 10.已知四维向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，且向量 1 1 3 4 ， 2 2 4 ， 3 3 4 ， 4 2 3 ， 5 2 1 2 3 则 r( 1 ， 2 ， 3

18、 ， 4 ， 5 )( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：将表示关系合并成矩阵形式有 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )C 因 4 个四维向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 0A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是可逆矩阵，A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r(C)r(AC)r(AC)r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ) 11.设 A 是 n 阶方阵，且A0，则 A 中( )（分数：2.00）A.必有一列元素全为 0B.必有两列元

19、素对应成比例C.必有一列向量是其余列向量的线性组合 D.任一列向量是其余列向量的线性组合解析：解析：对于方阵 A，因为A0 r(A)nc12.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 m X n 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关D.若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关解析：解析：记 B( 1 ， 2

20、， s )，则(A 1 ，A 2 ，A s )AB 若向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，则 r(B)s，从而 r(AB)r(B)s，向量组 A 1 ，A 2 ，A s 也线性相关，故应选 A二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.如果 (1，2，t) T 可以由 1 (2，1，1) T ， 2 (1，2，7) T ， 3 (1，1，4) T 线性表示，则 t 的值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析： 可以由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组 1 1 2 2 3 3 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得

21、14.设 为 3 维单位列向量，E 为 3 阶单位矩阵，则矩阵 E T 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由题设知，矩阵 T 的特征值为 0，0，1，故 E T 的特征值为 1，1，0又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r(E T )215.向量组 1 (1，0，0)， 2 (1，1，0)， 3 (5，2，0)的秩是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：对向量组构成的矩阵进行初等变换，变为阶梯形矩阵，其不全为 0 的行向量的个数就是向量组的秩，即16.已知 r( 1 ， 2

22、， s )r( 1 ， 2 ， s ，)r，r( 1 ， 2 ， s ，)r1，则 r( 1 ， 2 ， s ，) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r1）解析：解析：已知 r( 1 ， 2 ， s )r( 1 ， 2 ， s ，)r，表明向量 可以由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，但是 r( 1 ， 2 ， s ，)r1，则表明向量 y 不能由向量组 1 ， 2 ， s 线性表示，因此通过对向量组 1 ， 2 ， s ， 作初等列变换，可得 ( 1 ， 2 ， s ，)( 1 ， 2 ， s ，0，)，因此可得 r( 1 ， 2 ， s ，)r117.设 1 (

23、1，2，1) T ， 2 (2，3，a) T ， 3 (1，a2，2) T ，若 1 (1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 (0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则 a 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据题意， 1 (1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 1 1 2 2 3 3 1 有解， 2 T (0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，则方程组 1 1 2 2 3 3 2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起做矩阵的初等变换，即 18

24、.已知 1 (1，4，2) T ， 2 (2，7，3) T ， 3 (0，1，a) T 可以表示任意一个 3 维向量，则 a 的取值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 ，可以表示任一个 3 维向量，因此向量 1 ， 2 ， 3 与 1 (1，0，0) T ， 2 (0，1，0) T ， 3 (0，0，1) T 是等价向量，因此 1 ， 2 ， 3 的秩为 3，即 1 ， 2 ， 3 0，于是 19.与 1 (1，2，3，1) T ， 2 (0，1，1，2) T ， 3 (2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1（分数：2.0

25、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：已知，若向量 ， 正交，则内积 T 0，设 ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ) T 与 1 ， 2 ， 3 均正交，那么 对以上齐次方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是(1，1，1，0) T ，将这个向量单位化得 20.向量 (1，2，4) T 在基 1 (1，2，4) T ， 2 (1，1，1) T ， 3 (1，3，9) T 的坐标是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：如果 1 ， 2 ， 3 是空间的基，而 1 2 2 2 3 3 ，则称向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标是

26、( 1 ， 2 ， 3 ) T ，对于方程组 可解出 1 ， 2 ， 3 1，因此 在基 1 ， 2 ， 3 的坐标是 三、解答题(总题数：9，分数：18.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.设向量组 1 (1，0，1) T ， 2 (0，1，1) T ， 3 (1，3，5) T 不能由向量组 1 (1，1，1) T ， 2 (1，2，3) T ， 3 (3，4，a) T 线性表示 (1)求 a 的值； (2)将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由于 1 ， 2 ， 3 不

27、能由 1 ， 2 ， 3 表示，则由 1 ， 2 ， 3 10，知 1 ， 2 ， 3 线性无关， 因此， 1 ， 2 ， 3 线性相关，即 1 ， 2 ， 3 a50，解得 a5 (2)本题等价于求三阶矩阵 C，使得( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )C 可知 C( 1 ， 2 ， 3 ) -1 ( 1 ， 2 ， 3 ) 计算可得 C 因此( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 ) )解析：23.已知 r(a 1 ，a 2 ，a 3 )2，r(a 2 ，a 3 ，a 4 )3，证明： (1)a 1 能由 a 2 ，a 3 线性表示； (2)a 4 不能由 a 1

28、，a 2 ，a 3 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)r(a 1 ，a 2 ，a 3 )23 a 1 ，a 2 ，a 3 线性相关； 假设 a 1 不能由 a 2 ，a 3 线性表示，则 a 1 与 a 2 ，a 3 线性无关 a 2 ，a 3 线性相关 而由 r(a 2 ，a 3 ，a 4 )3 a 2 ，a 3 ，a 4 线性无关 a 2 ，a 3 线性无关，与假设矛盾 综上所述，a 1 必能由 a 2 ，a 3 线性表示 (2)由(1)的结论，a 1 可由 a 2 ，a 3 线性表示，则 若 a 4 能由 a 1 ，a 2 ，a 3 线性表示 )解析：24.设 a

29、1 ，a 2 线性无关，a 1 b，a 2 b 线性相关，求向量 b 用 a 1 ，a 2 线性表示的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a 1 b，a 2 b 线性相关，故存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 使 k 1 (a 1 b)k 2 (a 2 b)0，则有(k 1 k 2 )bk 1 a 1 k 2 a 2 又因为 a 1 ，a 2 线性无关，若 k 1 a 1 k 2 a 2 0，则 k 1 k 2 0 这与 k 1 ，k 2 不全为零矛盾，于是有 k 1 a 1 k 2 a 2 0，(k 1 k 2 )b0 由 a 1 ，a 2 线性无关，a 1 b，a 2

30、b 线性相关，因此 b0 综上 k 1 k 2 0，因此由(k 1 k 2 )bka 1 k 2 a 2 b )解析：25.设 b 1 a 1 ，b 2 a 1 a 2 ，b r a 1 a 2 a r ，且向量组 a 1 ，a 2 ，a r 线性无关，证明：向量组 b 1 ，b 2 ，b r 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据已知，可得 (b 1 ，b 2 ，b r )(a 1 ，a 2 ，a r )K， 其中 向量组 a 1 ，a 2 ，a r 线性无关，则 r(a 1 ，a 2 ，a r )r， 又因为 )解析：26. * 是非齐次线性方程组 Ab 的一个解， 1 ，

31、 n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系证明： (1) * ， 1 ， n-r 线性无关； (2) * ， * 1 ， * n-r 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)假设 * ， 1 ， n-r 线性相关，则存在不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c n-r 使得下式成立 c 0 * c 1 1 c n-r n-r 0， (1) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0A(c 0 * c 1 1 c n-r n-r )c 0 A * c 1 A 1 c n-r A n-r c 0 b， 其中 b0，则由上式 c 0 0，于是(1)式变为 c 1 1 c n-r n-r 0，

32、1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， n-r 线性无关，因此 c 1 c 2 c n-r 0，与线性相关矛盾 因此由定义知， * ， 1 ， n-r 线性无关 (2)假设 * ， * 1 ， * n-r 线性相关，则存在不全为零的数 c 0 ，c 1 ，c n-r 使得下式成立 c 0 * c 1 ( * 1 )c n-r ( * n-r )0， 即(c 0 c 1 c n-r ) * c 1 1 c n-r n-r 0 (2) 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0A(c 0 c 1 c n-r ) * c 1 1 c n-r n-r (c 0 c 1 c n-r )A

33、 * c 1 A 1 c n-r A n-r (c 0 c 1 c n-r )b， 因为 b0，故 c 0 c 1 c n-r 0，代入(2)式，有 c 1 1 c n-r n-r 0， 1 ， n-r 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1 ， n-r 线性无关，因此 c 1 c 2 c n-r 0，即得 c 0 0与假设矛盾 综上，所给向量组 * ， * 1 ， * n-r 线性无关)解析：27.设非齐次线性方程组 Ab 的系数矩阵的秩为 r， 1 ， n-r+1 是它的 nr1 个线性无关的解试证它的任一解可表示为 k 1 1 k n-r+1 n-r+1 (其中 k 1 k n-r

34、+1 1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 为 Ab 的任一解，由题设知 1 ， 2 ， n-r+1 线性无关且均为Ab 的解 取 1 2 1 ， 2 3 1 ， n-r n-r+1 1 ，根据线性方程解的结构，则它们均为对应齐次方程 A0 的解 下面用反证法证： 设 1 ， 2 ， n-r 线性相关，则存在不全为零的数 l 1 ，l 2 ，l n-r 使得 l 1 1 l 2 2 l n-r n-r 0， 即 l 1 ( 2 1 )l 2 ( 3 1 )l n-r ( n-r+1 1 )0， 亦即(l 1 l 2 l n-r ) 1 l 1 2 l 2 3 l n-r n-r+1

35、 0 由 1 ， 2 ， n-r+1 线性无关知 (l 1 l 2 l n-r )l 1 l 2 l n-r 0，与 与 l 1 ，l 2 ，l n-r 不全为零矛盾，故假设不成立因此 1 ， 2 ， n-r 线性无关，是 A0 的一组基 由于， 1 均为 Ab 的解，所以 1 ，为 A0 的解，因此 1 ，可由 1 ， 2 ， n-r ，一线性表示，设 1 k 2 1 k 3 2 k n-r+1 n-r k 2 ( 2 1 )k 3 ( 3 1 )k n-r+1 ( n-r+1 1 )， 则 1 (1k 2 k 3 k n-r+1 )k 2 2 k 3 3 k n-r+1 n-r+1 0，

36、令 k 1 1k 2 k 3 k n-r+1 ，则 k 1 k 2 k 3 k n-r+1 1，从而 k 1 1 k 2 2 k n-r+1 n-r+1 恒成立)解析：28.由 a 1 (1，1，0，0) T ，a 2 (1，0，1，1) T 所生成的向量空间记作 L 1 ，由 b 1 (2，1，3，3) T ，b 2 (0，1，1，1) T 所生成的向量空间记作 L 2 ，试证 L 1 L 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a 1 (1，1，0，0) T ，a 2 (1，0，1，1) T ，二者不成比例，因此 r(a 1 ，a 2 )2 同理 r(b 1 ，b 2 )2，又 )解析：29.已知 R 3 的两个基为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记矩阵 A(a 1 ，a 2 ，a 3 )，B(b 1 ，b 2 ，b 3 )因 a 1