【考研类试卷】考研数学一（向量）模拟试卷5及答案解析.doc

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1、考研数学一（向量）模拟试卷 5 及答案解析(总分：88.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则

2、A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。3.已知 n 维列向量组()： 1 ， 2 ， r (rn)线性无关，则 n 维列向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关的充分必要条件为( )。（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， r 可由 1 ， 2 ， r 线性表示。B. 1 ， 2 ， r 可由 1 ， 2 ， r 线性表示。C. 1 ， 2 ， r 和 1 ， 2 ， r 等价。D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， r )与 B=( 1 ， 2 ， r )等价。4.设 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 1 ， 2 ， 3 线性无关。C.R

3、( 1 ， 2 ， 3 )=R( 1 ， 2 )。D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关。5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是( )（分数：2.00）A.如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关。B.如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么 1 ， 2 ， 4 也线性相关。C.如果 3 不能由 1 ， 2 线性表出， 4 不能由 2 ， 3 线性表出，则 1 可以由 2 ， 3 ， 4 线性表出。D.如果秩 R( 1 ，+，+)=R( 4 ， 1 + 4 ， 2

4、 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。6.设向量组 1 =(6，+1，7) T ， 2 =(，2，2) T ， 3 =(，1，0) T 线性相关，则( )（分数：2.00）A.a=1 或 =4。B.=2 或 =4。C.=3 或 =4。D.=7.下列说法不正确的是( )。（分数：2.00）A.s 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，则加入 k 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 后的向量组仍然线性无关。B.s 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，则每个向量增加 k 维分量后得到的向量组仍然线性无关。C.s 个 n 维向量 1 ， 2 ，

5、s 线性相关，则加入 k 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 后得到的向量组仍然线性相关。D.s 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关。8.设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。9.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 -

6、3 ， 3 ， 1 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 -2 2 ， 2 -2 3 ， 3 -2 1 。D. 1 +2 2 ， 2 +2 3 ， 3 +2 1 。10.设 1 = ， 2 = ， 3 = ， 4 = （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 。B. 1 ， 2 ， 4 。C. 1 ， 3 ， 4 。D. 2 ， 3 ， 4 。11.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则( )（分数：2.00）A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价。B.矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。C.矩阵 C 的行向量组与矩

7、阵 B 的行向量组等价。D.矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价。12.设 1 ， 2 ， 3 是 3 维向量空间 R 3 的一组基，则由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 的过渡矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 1 ， 2 ， 3 是 3 维向量空间 R 3 中的一组基。则由基 2 ， 1 - 2 ， 1 + 3 到基 1 + 2 ， 3 ， 2 - 1 的过渡矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.14.已知 4 维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，若非零向量 i (i=1，2，3，4)与 1 ， 2 ，

8、 3 均正交，则 R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。15.设 A、B 均为 n 阶正交矩阵，则下列矩阵中不是正交矩阵的是( )（分数：2.00）A.AB -1 。B.kA(k=1)。C.A -1 B -1 。D.A-B。16.设 1 ， 2 ， n-1 是 R n 中线性无关的向量组， 1 ， 2 与 1 ， 2 ， n-1 正交，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， n-1 ， 1 必线性相关。B. 1 ， 2 ， n-1 ， 1 ， 2 必线性无关。C. 1 ， 2 必线性相关。D. 1 ， 2 必线性无关。二、填空题(

9、总题数：11，分数：22.00)17.设 R 3 中的两个基 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3 之间满足 1 = 1 - 2 ， 2 = 2 - 3 ， 3 =2 3 ，向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 x=(2，-1，3) T ，则 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.已知向量组 1 =(1，2，-1，1) T ， 2 =(2，0，t，0) T ， 3 =(0，-4，5，t) T 线性无关，则 t 的取值为 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.向量组 1 =(1，0，1，2)， 2 =(0，1，2，1)， 3 =(-2，0

10、，-2，-4)， 4 =(0，1，0，1)， 5 =(0，0，0，-1)，则向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的秩为 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.向量组 1 =(1，1，2，3) T ， 2 =(-1，1，4，-1) T 的施密特正交规范化向量组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.向量组 1 =(1，-2，0，3) T ， 2 =(2，-5，-3，6) T ， 3 =(0，1，3，0) T ， 4 =(2，-1，4，7) T 的一个极大线性无关组是 1。（分数：2.00）填空项 1:_22.设 1 =(1，2，-1，0) T ， 2 =(1，1，0，2) T

11、， 3 =(2，1，1，) T ，若由 1 ， 2 ， 3 形成的向量空间的维数是 2，则 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_23.向量组 1 =(1，-1，2，4) T ， 2 =(0，3，1，2) T ， 3 =(3，0，7，a) T ， 4 =(1，-2，2，0) T 线性无关，则未知数 a 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_24.设 1 =(1，2，1) T ， 2 =(2，3，a) T ， 3 =(1，a+2，-2) T ，若 1 =(1，3，4) T 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但是 2 =(0，1，2) T 不可以由 1 ， 2 ， 3 线性表示，

12、则a= 1。（分数：2.00）填空项 1:_25.已知 1 ， 2 ， 3 是三维向量空间的一个基，若 1 = 1 + 2 + 3 ， 2 =3 2 + 3 ， 3 = 1 - 2 ，则由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵是 1。（分数：2.00）填空项 1:_26.与 1 =(1，2，3，-1) T ， 2 =(0，1，1，2) T ， 3 =(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是 1。（分数：2.00）填空项 1:_27.向量 =(1，-2，4) T 在基 1 =(1，2，4) T ， 2 =(1，-1，1) T ， 3 =(1，3，9) T 下的坐标是 1。

13、（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_29.确定常数 a，使向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(1，a，1) T ， 3 =(a，1，1) T 可由向量组 1 =(1，1，a) T ， 2 =(-2，a，4) T ， 3 =(-2，a，a) T 线性表示，但向量组 1 ， 2 ， 3 不能由向量组 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数：2.00）_30.设 1 ， 2 ， n 是 n 个 n 维的线性无关向量组，a n+1 =k 1 1 +k 2 2 +k n n ，其中 k

14、 1 ，k 2 ，k n 全不为零。证明： 1 ， 2 ， n ， n+1 中任意 n 个向量线性无关。（分数：2.00）_31.已知 1 = ， 2 = ， 3 = 与 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：2.00）_32.设有向量组 1 =(1，3，2，0)， 2 =(7，0，14，3)， 3 =(2，-1，0，1)， 4 =(5，1，6，2)， 5 =(2，-1，4，1)。()求向量组的秩；()求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示。（分数：2.00）_33.设向量组()可以由向量组()线性表示，且 R()=R()，证明：向量组()与()等价。（分数

15、：2.00）_34.设 R 3 中两组基分别为 1 = ， 2 = ， 3 = ； 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：2.00）_35.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_36.设 为 n 维非零列向量，E 为 n 阶单位阵，试证：A=E-(2 T ) T 为正交矩阵。（分数：2.00）_37.设向量组 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(1，3，5) T 不能由向量组 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，3) T ， 3 =(3，4，a) T 线性表示。 ()求 a 的值； ()将 1 ， 2 ， 3 由 1 ， 2 ， 3 线性表示。（分数

16、：2.00）_38.已知 1 =(1，3，5，-1) T ， 2 =(2，7，a，4) T ， 3 =(5，17，-1，7) T 。 ()若 1 ， 2 ， 3 线性相关，求 a 的值； ()当 a=3 时，求与 1 ， 2 ， 3 都正交的非零向量 4 ； ()当 a=3 时，利用()的结果，证明 1 ， 2 ， 3 ， 4 可表示任一个 4 维列向量。（分数：2.00）_39.设 1 ， 2 ， 1 ， 2 均是三维向量，且 1 ， 2 线性无关， 1 ， 2 线性无关，证明存在非零向量 ，使得 既可由 1 ， 2 线性表出，又可由 1 ， 2 线性表出。 当 1 = ， 2 = ， 1

17、= ， 2 = （分数：2.00）_40.设有向量组()： 1 =(1，0，2) T ， 2 =(1，1，3) T ， 3 =(1，-1，a+2) T 和向量组()： 1 =(1，2，a+3) T ， 2 =(2，1，a+6) T ， 3 =(2，1，a+4) T 。试问：当 a 为何值时()与()等价，当 a 为何值时()与()不等价。（分数：2.00）_41.已知向量 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) T 可以由 1 =(1，0，0，1) T ， 2 =(1，1，0，0) T ， 3 =(0，2，-1，-3) T ， 4 =(0，0，3，3) T 线性表出。 ()求 a 1 ，

18、a 2 ，a 3 ，a 4 应满足的条件； ()求向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出； ()把向量 分别用 1 ， 2 ， 3 ， 4 和它的极大线性无关组线性表出。（分数：2.00）_42.设 4 维向量组 1 =(1+a，1，1，1) T ， 2 =(2，2+a,2，2) T ， 3 =(3，3，3+a，3) T ， 4 =(4，4，4，4+a) T ，问 a 为何值时， 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关。当 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。（分数：2.

19、00）_43.设 R 3 的两组基为： 1 =(1，1，1) T ， 2 =(0，1，1) T ， 3 =(0,0，1) T ； 1 =(1，0，1) T ， 2 =(0，1，-1) T ， 3 =(1，2，O) T ，求 1 ， 2 ， 3 到 1 ， 2 ， 3 的过渡矩阵 C，并求 =(-1，2，1) T 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标。（分数：2.00）_44.设 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，-1，-1) T ，求与 1 ， 2 均正交的单位向量 并求与向量组 1 ， 2 ， 等价的正交单位向量组。（分数：2.00）_考研数学一（向量）模拟试卷 5 答案解析(总分：8

20、8.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：16，分数：32.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 1 ， 2 ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。 B.若 1 ， 2 ， s 线性相关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。C.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。D.若 1 ， 2 ， s 线性无关，则 A 1 ，A 2 ，A s 线性无关。解析：

21、解析：设 1 ， 2 ， s 线性相关，则存在不全为零的数 k 1 ，k 2 ，k s ，使得 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0。 于是 k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=0， 所以，A 1 ，A 2 ，A s 线性相关。 因此本题选(A)。3.已知 n 维列向量组()： 1 ， 2 ， r (rn)线性无关，则 n 维列向量组()： 1 ， 2 ， r 线性无关的充分必要条件为( )。（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， r 可由 1 ， 2 ， r 线性表示。B. 1 ， 2 ， r 可由 1 ， 2 ， r

22、 线性表示。C. 1 ， 2 ， r 和 1 ， 2 ， r 等价。D.矩阵 A=( 1 ， 2 ， r )与 B=( 1 ， 2 ， r )等价。 解析：解析：对于选项(A)，由已知条件只能得 R()R()=r，但得不到 R()=R()=r， 故(A)不正确。 对于选项(B)，由已知条件知 r=R()R()r，于是 R()=r，即 1 ， 2 ， r 线性无关。 因而(B)是充分条件。但若 1 ， 2 ， r 线性无关，是不能得出 1 ， 2 ， r 可由 1 ， 2 ， r 线性表出的结论。例如，()：e 1 =(1，0，0) T ，e 2 =(0，1，0) T ； ()e 2 =(0，1

23、，0) T ，e 3 =(0，0，1) T ， ()()均线性无关，但()不可由()线性表出，故(B)错误。 对于选项(C)，由于(B)不是必要条件，则(C)就不可能是必要条件。 对于选项(D)，注意到两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等，由题设知 R(A)=R()=r，则 A 与 B 等价 (B)=r 4.设 1 = ， 2 = ， 3 = （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 线性相关。B. 1 ， 2 ， 3 线性无关。C.R( 1 ， 2 ， 3 )=R( 1 ， 2 )。D. 1 ， 2 ， 3 线性相关， 1 ， 2 线性无关。 解析：解析：(A) 1 ， 2 ， 3 线性

24、相关，当 1 = 2 = 3 时，方程组 Ax=b 的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数，则方程组有无穷多解，根据解的个数和直线的位置关系可得 3 条直线重合，(A)不成立。 (B) 1 ， 2 ， 3 线性无关， 3 不能由 1 ， 2 线性表出，方程组Ax=b 的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等，方程组无解，根据解的个数与直线的位置关系得出 3 条直线无公共交点，(B)不成立。 (C)R( 1 ， 2 ， 3 )=R( 1 ， 2 )，当 R( 1 ， 2 ， 3 )=R( 1 ， 2 )=1 时，3 条直线重合，故(C)不成立。 由排除法可知，应选(D)。5.已知 1 ， 2 ，

25、3 ， 4 是 3 维非零向量，则下列命题中错误的是( )（分数：2.00）A.如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关。B.如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，那么 1 ， 2 ， 4 也线性相关。 C.如果 3 不能由 1 ， 2 线性表出， 4 不能由 2 ， 3 线性表出，则 1 可以由 2 ， 3 ， 4 线性表出。D.如果秩 R( 1 ，+，+)=R( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。解析：解析：设 1 =(1，0，0) T ， 2 =(0，

26、1，0) T ， 3 =(0，2，0) T ， 4 =(0，0，1) T ，可知(B)不正确。应选(B)。 关于(A)：用其逆否命题判断。若 1 ， 2 ， 3 线性无关，则 1 ， 2 ， 3 ， 4 必线性相关(因为 n+1 个 n 维向量必线性相关)，所以 4 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出。 关于(C)由已知条件，有 ()R( 1 ， 2 )R( 1 ， 2 ， 3 )，()R( 2 ， 3 )R( 2 ， 3 ， 4 )。 若 R( 2 ， 3 )=1，则必有 R( 1 ， 2 )=R( 1 ， 2 ， 3 )，与条件()矛盾，故必有 R( 2 ， 3 )=2。 那么由()知 R

27、( 2 ， 3 ， 4 )=3，从而 R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3。因此 1 可以由 2 ， 3 ， 4 线性表出。 关于(D)：经初等变换有 ( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )( 1 ， 2 ， 2 + 3 )( 1 ， 2 ， 3 )， ( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )( 4 ， 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )， 从而 R( 1 ， 2 ， 3 )=R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，因此 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出。6.设向量组 1 =(6，+1，7) T ， 2 =(，2，2) T ， 3 =(，1

28、，0) T 线性相关，则( )（分数：2.00）A.a=1 或 =4。B.=2 或 =4。C.=3 或 =4。D.= 解析：解析： 1 ， 2 ， 3 线性相关，故行列式( 1 ， 2 ， 3 )= =2 2 -5-12=0，解得 = 7.下列说法不正确的是( )。（分数：2.00）A.s 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，则加入 k 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 后的向量组仍然线性无关。 B.s 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，则每个向量增加 k 维分量后得到的向量组仍然线性无关。C.s 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性相关，则加入 k 个 n 维向量

29、 1 ， 2 ， s 后得到的向量组仍然线性相关。D.s 个 n 维向量 1 ， 2 ， s 线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关。解析：解析：(A)不正确，因为如果 s+Kn，则增加向量个数后的向量组线性相关。 选项(B)、(C)说明的是向量组中高维向量和低维向量的线性相关性之间的关系。 选项(D)说明一个向量组整体无关，则这个向量组的部分向量也无关，说法正确。8.设 A，B 为满足 AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关。 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。C.A 的行向量组线性相关，B

30、 的行向量组线性相关。D.A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。解析：解析：由 AB=O 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，而 B 为非零矩阵，即 Ax=0 存在非零解，可见 A 的列向量组线性相关。 同理，由 AB=D 知，B T A T =D，于是有 B T 的列向量组线性相关，从而曰的行向量组线性相关， 故应选(A)。9.设向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（分数：2.00）A. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 ， 1 。 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 。C. 1 -2 2 ， 2 -2 3 ， 3 -2 1 。D.

31、 1 +2 2 ， 2 +2 3 ， 3 +2 1 。解析：解析：用向量组线性相关的定义进行判定。令 x 1 ( 1 - 2 )+x 2 ( 2 - 3 )+x 3 ( 3 - 1 )=0， 得 (x 1 -x 3 ) 1 +(-x 1 +x 2 ) 2 +(-x 2 +x 3 ) 3 =O。 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以 因上述方程组系数矩阵的行列式 10.设 1 = ， 2 = ， 3 = ， 4 = （分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 。B. 1 ， 2 ， 4 。C. 1 ， 3 ， 4 。 D. 2 ， 3 ， 4 。解析：解析：由行列式( 1 ， 2 ， 3 )=

32、 =c 1 11.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且 B 可逆，则( )（分数：2.00）A.矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价。B.矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价。 C.矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价。D.矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价。解析：解析：把矩阵 A，C 列分块：A=( 1 ， 2 ， 3 )B=(b ij ) nn C=( 1 ， 2 ， n )。 由于 AB=C，即 12.设 1 ， 2 ， 3 是 3 维向量空间 R 3 的一组基，则由基 1 ， 2 ， 3 到基 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3

33、+ 1 的过渡矩阵为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由基 1 ， 2 ， 3 到 1 + 2 ， 1 + 2 ， 3 + 1 的过渡矩阵 M 满足 ( 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 1 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 13.设 1 ， 2 ， 3 是 3 维向量空间 R 3 中的一组基。则由基 2 ， 1 - 2 ， 1 + 3 到基 1 + 2 ， 3 ， 2 - 1 的过渡矩阵为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设( 1 + 2 ， 3 ， 2 - 1 )=( 2 ， 1 - 2 ， 1 + 3 )C，则 ( 1 ， 2 ， 3 )

34、=( 1 ， 2 ， 3 ) 由于 1 ， 2 ， 3 是 R 3 中的一组基，故( 1 ， 2 ， 3 )可逆，则 14.已知 4 维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，若非零向量 i (i=1，2，3，4)与 1 ， 2 ， 3 均正交，则 R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=( )（分数：2.00）A.1。 B.2。C.3。D.4。解析：解析：设 1 =(a 11 ，a 12 ，a 13 ，a 14 ) T ， 2 =(a 21 ，a 22 ，a 23 ，a 24 ) T ， 3 =(a 31 ，a 32 ，a 33 ，a 34 ) T 。 由题设知， i 与 1 ， 2 ， 3

35、均正交，即内积 i T j =0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)， 亦即 i (i=1，2，3，4)是齐次方程组 15.设 A、B 均为 n 阶正交矩阵，则下列矩阵中不是正交矩阵的是( )（分数：2.00）A.AB -1 。B.kA(k=1)。C.A -1 B -1 。D.A-B。 解析：解析：由题设条件，则 选项(A)， (AB -1 ) T AB -1 =(B -1 ) T A T AB -1 =(B -1 ) T EB -1 =(B T ) T B T =BB T =E， AB -1 是正交矩阵； 选项(B)， (kA) T (kA)=k 2 A T A=E， kA(k=1)是正交

36、矩阵；选项(C)， (A -1 B -1 ) T A -1 B -1 =(B -1 ) T (A -1 ) T A -1 B -1 =BAA -1 B -1 =E， A -1 B -1 是正交矩阵。 选项(D)， (A-B) T =A T -B T =A -1 -B -1 ， 故 (A-B) T (A-B)=(A -1 -B -1 )(A-B)=2E-B -1 A-A -1 BE， A-B 不是正交矩阵。应选(D)。16.设 1 ， 2 ， n-1 是 R n 中线性无关的向量组， 1 ， 2 与 1 ， 2 ， n-1 正交，则( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， n-1 ， 1 必

37、线性相关。B. 1 ， 2 ， n-1 ， 1 ， 2 必线性无关。C. 1 ， 2 必线性相关。 D. 1 ， 2 必线性无关。解析：解析：由 n+1 个 n 维向量必线性相关可知 B 选项错； 若 i (i=1，2，n-1)是第 i 个分量为1，其余分量全为 0 的向量， 1 是第 n 个分量为 1，其余分量全为 0 的向量， 2 是第 n 个分量为 2，其余分量全为 0 的向量，则 1 ， 2 ， n-1 ， 1 线性无关， 2 =2 1 ，所以选项 A 和 D错误；故选 C。 下证 C 选项正确： 因 1 ， 2 ， n-1 ， 1 ， 2 必线性相关，所以存在n+1 个不全为零的常数

38、 k 1 ，k 2 ，k n-1 ，l 1 ，l 2 ， 使 k 1 1 +k 2 2 +k n-1 n-1 +l 1 1 +l 2 2 =0， 又因为 1 ， 2 ， n-1 线性无关，所以 l 1 ，l 2 一定不全为零，否则 1 ， 2 ， n-1 线性相关，产生矛盾。 在上式两端分别与 1 ， 2 作内积，有 (l 1 1 +l 2 2 ， 1 )=0， (l 1 1 +l 2 2 ， 2 )=0， 联立两式，l 1 +l 2 可得 (l 1 1 +l 2 2 ，l 1 1 +l 2 2 )=0， 从而可得 l 1 1 +l 2 2 =0， 故 1 ， 2 必线性相关。二、填空题(总题数：11，分数：22.00)17.设 R 3 中的两个基 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3 之间满足 1 = 1 - 2 ， 2 = 2 - 3 ， 3 =2 3 ，向量 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 x=(2，-1，3) T ，则 在基 1 ， 2 ， 3 下的坐标为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y